Cálculo discreto

El cálculo discreto , o cálculo de funciones discretas , es el estudio matemático del cambio incremental , del mismo modo que la geometría estudia las formas y el álgebra , las generalizaciones de las operaciones aritméticas . La palabra «cálculo» proviene del latín y originalmente significa «piedra pequeña»; dado que estas piedras se utilizaban para calcular, su significado ha evolucionado y hoy en día suele referirse a un método de cálculo. Por otro lado, el cálculo , originalmente llamado cálculo infinitesimal o «cálculo de infinitesimales », es el estudio del cambio continuo .

El cálculo discreto tiene dos puntos de partida: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El cálculo diferencial se ocupa de las tasas de cambio incrementales y las pendientes de curvas lineales a trozos. El cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y las áreas bajo curvas constantes a trozos. Estos dos enfoques están relacionados entre sí por el teorema fundamental del cálculo discreto.

El estudio de los conceptos de cambio comienza con su forma discreta. El desarrollo depende de un parámetro, el incremento.${\displaystyle \Delta x}$de la variable independiente. Si así lo deseamos, podemos hacer que el incremento sea cada vez más pequeño y encontrar las contrapartes continuas de estos conceptos como límites . De manera informal, el límite del cálculo discreto como${\displaystyle \Delta x\to 0}$es el cálculo infinitesimal. Si bien sirve como fundamento discreto del cálculo, el valor principal del cálculo discreto reside en sus aplicaciones.

El cálculo diferencial discreto estudia la definición, las propiedades y las aplicaciones del cociente de diferencias de una función. El proceso de hallar el cociente de diferencias se denomina diferenciación . Dada una función definida en varios puntos de la recta real, el cociente de diferencias en cada punto permite describir el comportamiento de la función a pequeña escala (es decir, entre puntos consecutivos). Al hallar el cociente de diferencias de una función en cada par de puntos consecutivos de su dominio, se puede obtener una nueva función, denominada función cociente de diferencias o simplemente el cociente de diferencias de la función original. Formalmente, el cociente de diferencias es un operador lineal que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto resulta más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental , donde las funciones suelen recibir un número como entrada y producir otro como salida. Por ejemplo, si a la función de duplicar se le da como entrada el número tres, entonces produce seis, y si a la función de elevar al cuadrado se le da como entrada el número tres, entonces produce nueve. Sin embargo, la derivada puede tomar como entrada la función de elevación al cuadrado. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevación al cuadrado —como que dos se transforma en cuatro, tres en nueve, cuatro en dieciséis, y así sucesivamente— y utiliza esta información para producir otra función. La función resultante de derivar la función de elevación al cuadrado es muy similar a la función de duplicación.

Supongamos que las funciones están definidas en puntos separados por un incremento.${\displaystyle \Delta x=h>0}$:

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

La "función de duplicación" puede denotarse por${\displaystyle g(x)=2x}$y la "función de cuadratura" por${\displaystyle f(x)=x^{2}}$El "cociente de diferencias" es la tasa de cambio de la función en uno de los intervalos.${\displaystyle [x,x+h]}$definido por la fórmula:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Toma la función${\displaystyle f}$como entrada, es decir, toda la información, como que el dos se envía al cuatro, el tres al nueve, el cuatro al dieciséis, y así sucesivamente, y utiliza esta información para generar otra función, la función${\displaystyle g(x)=2x+h}$Como se verá más adelante, para mayor comodidad, la nueva función puede definirse en los puntos medios de los intervalos anteriores:

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,...,a+nh+h/2,...}$

Como la tasa de cambio es la de todo el intervalo${\displaystyle [x,x+h]}$, cualquier punto dentro de él puede usarse como tal referencia o, mejor aún, todo el intervalo que hace que el cociente de diferencias sea un${\displaystyle 1}$- cocadena .

La notación más común para el cociente de diferencias es:

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x+h/2)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces el cociente de diferencias representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si${\displaystyle f}$es una función que toma un tiempo como entrada y da la posición de una bola en ese tiempo como salida, luego el cociente de diferencias de${\displaystyle f}$es cómo cambia la posición en el tiempo, es decir, es la velocidad de la pelota.

Si una función es lineal (es decir, si los puntos de la gráfica de la función se encuentran sobre una línea recta), entonces la función se puede escribir como${\displaystyle y=mx+b}$, dónde${\displaystyle x}$es la variable independiente,${\displaystyle y}$es la variable dependiente,${\displaystyle b}$es el${\displaystyle y}$-interceptar, y:

${\displaystyle m={\frac {\text{aumento}}{\text{recorrido}}}={\frac {{\text{cambio en }}y}{{\text{cambio en }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Esto proporciona un valor exacto para la pendiente de una línea recta.

Sin embargo, si la función no es lineal, entonces el cambio en${\displaystyle y}$dividido por el cambio en${\displaystyle x}$varía. El cociente de diferencias da un significado exacto a la noción de cambio en la salida con respecto al cambio en la entrada. Para ser más concretos, sea${\displaystyle f}$ser una función y fijar un punto${\displaystyle x}$en el dominio de${\displaystyle f}$.${\displaystyle (x,f(x))}$es un punto en la gráfica de la función. Si${\displaystyle h}$es el incremento de${\displaystyle x}$, entonces${\displaystyle x+h}$es el siguiente valor de${\displaystyle x}$. Por lo tanto,${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$es el incremento de${\displaystyle (x,f(x))}$La pendiente de la línea entre estos dos puntos es

${\displaystyle m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Entonces${\displaystyle m}$es la pendiente de la línea entre${\displaystyle (x,f(x))}$y${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$.

Aquí tenemos un ejemplo particular, el cociente de diferencias de la función de elevación al cuadrado. Sea${\displaystyle f(x)=x^{2}}$Sea la función de elevación al cuadrado. Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x)&={(x+h)^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={2hx+h^{2} \over {h}}\\&=2x+h.\end{aligned}}}$

El cociente de diferencias del cociente de diferencias se llama segundo cociente de diferencias y se define en

${\displaystyle a+h,a+2h,a+3h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

etcétera.

El cálculo integral discreto estudia las definiciones, propiedades y aplicaciones de las sumas de Riemann . El proceso de hallar el valor de una suma se denomina integración . En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia un operador lineal específico .

La suma de Riemann toma como entrada una función y produce como salida otra función, que da la suma algebraica de las áreas entre la parte de la gráfica de la entrada y el eje x .

Un ejemplo motivador son las distancias recorridas en un tiempo determinado.

${\displaystyle {\text{distancia}}={\text{velocidad}}\cdot {\text{tiempo}}}$

Si la velocidad es constante, solo se necesita la multiplicación, pero si la velocidad cambia, evaluamos la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos cortos, luego multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo, y luego tomando la suma (una suma de Riemann ) de la distancia recorrida en cada intervalo.

Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50  mph durante 3 horas resulta en una distancia total de 150 millas. En el diagrama de la izquierda, cuando se grafican la velocidad constante y el tiempo, estos dos valores forman un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad y el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que exhiba una velocidad que varía incrementalmente durante un período de tiempo dado. Si las barras en el diagrama de la derecha representan la velocidad a medida que varía de un intervalo al siguiente, la distancia recorrida (entre los tiempos representados por${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$) es el área de la región sombreada${\displaystyle s}$.

Entonces, el intervalo entre${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$se divide en varios segmentos iguales, la longitud de cada segmento está representada por el símbolo${\displaystyle \Delta x}$Para cada pequeño segmento, tenemos un valor de la función.${\displaystyle f(x)}$. Llama a ese valor${\displaystyle v}$. Entonces, el área del rectángulo con base${\displaystyle \Delta x}$y altura${\displaystyle v}$da la distancia (tiempo${\displaystyle \Delta x}$multiplicado por la velocidad${\displaystyle v}$) viajó en ese segmento. A cada segmento se le asocia el valor de la función que está encima de él,${\displaystyle f(x)=v}$La suma de todos esos rectángulos da como resultado el área entre el eje y la curva constante a trozos, que es la distancia total recorrida.

Supongamos que una función está definida en los puntos medios de${\displaystyle n}$intervalos de igual longitud${\displaystyle \Delta x=h>0}$, entonces${\displaystyle h={\frac {ab}{n}}}$:

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,\ldots ,a+nh-h/2.}$

Luego la suma de Riemann de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b=a+nh}$en notación sigma es:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x.}$

Como este cálculo se realiza para cada${\displaystyle n}$La nueva función se define en los puntos:

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los cocientes de diferencias con las sumas de Riemann. También puede interpretarse como una afirmación precisa de que la diferenciación es la inversa de la integración.

El teorema fundamental del cálculo: Si una función${\displaystyle f}$se define en una partición del intervalo${\displaystyle [a,b]}$,${\displaystyle b=a+nh}$y si${\displaystyle F}$es una función cuyo cociente de diferencias es${\displaystyle f}$, entonces tenemos:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

Además, por cada${\textstyle m=0,1,2,\ldots ,n-1}$, tenemos:

${\displaystyle {\frac {\Delta }{\Delta x}}\sum _{i=0}^{m}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=f(a+mh+h/2).}$

Esta es también una solución prototipo de una ecuación en diferencias . Las ecuaciones en diferencias relacionan una función desconocida con su diferencia o cociente de diferencias, y son omnipresentes en las ciencias.

La historia temprana del cálculo discreto es la historia del cálculo en sí . Ideas básicas como los cocientes de diferencias y las sumas de Riemann aparecen implícita o explícitamente en definiciones y demostraciones. Sin embargo, una vez tomado el límite, no vuelven a aparecer. No obstante, la ley de voltajes de Kirchhoff (1847) puede expresarse en términos de la derivada exterior discreta unidimensional.

Durante el siglo XX, el cálculo discreto se mantuvo interconectado con el cálculo infinitesimal, especialmente con las formas diferenciales, pero también comenzó a nutrirse de la topología algebraica a medida que ambos se desarrollaban. Las principales contribuciones provienen de los siguientes individuos: ^{[ 1 ]}

• Henri Poincaré : triangulaciones ( subdivisión baricéntrica , triangulación dual ), lema de Poincaré , la primera demostración del teorema general de Stokes y mucho más.
• LEJ Brouwer : teorema de aproximación simplicial
• Élie Cartan , Georges de Rham : la noción de forma diferencial , la derivada exterior como operador lineal independiente de coordenadas , exactitud/cerradura de las formas.
• Emmy Noether , Heinz Hopf , Leopold Vietoris , Walther Mayer : módulos de cadenas , el operador frontera , complejos de cadenas
• JW Alexander , Solomon Lefschetz , Lev Pontryagin , Andrey Kolmogorov , Norman Steenrod , Eduard Čech : las primeras nociones de cochain
• Hermann Weyl : las leyes de Kirchhoff enunciadas en términos de los operadores de frontera y cofrontera.
• WVD Hodge : el operador estrella de Hodge , la descomposición de Hodge
• Samuel Eilenberg , Saunders Mac Lane , Norman Steenrod , JHC Whitehead : el desarrollo riguroso de la teoría de homología y cohomología , incluyendo complejos de cadena y cocadena, el producto de copa
• Hassler Whitney : cocadenas como integrandos

El reciente desarrollo del cálculo discreto, que comenzó con Whitney, ha sido impulsado por las necesidades del modelado aplicado . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

El cálculo discreto se utiliza para modelar, ya sea directa o indirectamente, como una discretización del cálculo infinitesimal en todas las ramas de las ciencias físicas, la ciencia actuarial , la informática , la estadística , la ingeniería, la economía, los negocios, la medicina, la demografía y en otros campos donde un problema puede modelarse matemáticamente . Permite pasar de tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces, al estudiar un problema, conocemos una y tratamos de encontrar la otra.

La física hace un uso particular del cálculo; todos los conceptos discretos de la mecánica clásica y el electromagnetismo se relacionan mediante el cálculo discreto. La masa de un objeto de densidad conocida que varía incrementalmente, el momento de inercia de dichos objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un campo conservativo discreto, se pueden encontrar mediante el cálculo discreto. Un ejemplo del uso del cálculo discreto en mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton : históricamente enunciada, utiliza expresamente el término "cambio de movimiento", que implica el cociente diferencial, diciendo que el cambio de momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él y tiene la misma dirección. Comúnmente expresada hoy como Fuerza  =  Masa  ×  Aceleración, invoca el cálculo discreto cuando el cambio es incremental porque la aceleración es el cociente diferencial de la velocidad con respecto al tiempo o el segundo cociente diferencial de la posición espacial. Partiendo de saber cómo acelera un objeto, utilizamos las sumas de Riemann para derivar su trayectoria.

La teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividad general de Einstein se han expresado en el lenguaje del cálculo discreto.

La química utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción y la desintegración radiactiva ( desintegración exponencial ).

En biología, la dinámica de poblaciones comienza con las tasas de reproducción y mortalidad para modelar los cambios en la población ( modelado de poblaciones ).

En ingeniería, las ecuaciones en diferencias se utilizan para trazar la trayectoria de una nave espacial en entornos de gravedad cero, para modelar la transferencia de calor , la difusión y la propagación de ondas .

El análogo discreto del teorema de Green se aplica en un instrumento conocido como planímetro , que se utiliza para calcular el área de una superficie plana en un dibujo. Por ejemplo, se puede usar para calcular la superficie que ocupa un macizo de flores o una piscina de forma irregular al diseñar la distribución de una propiedad. También se puede usar para calcular de forma eficiente sumas de dominios rectangulares en imágenes, para extraer rápidamente características y detectar objetos; otro algoritmo que se podría utilizar es la tabla de suma de áreas .

En el ámbito de la medicina, el cálculo se utiliza para determinar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo y así maximizar el flujo. A partir de las leyes de eliminación de un fármaco del organismo, se emplea para derivar leyes de dosificación. En medicina nuclear, se utiliza para construir modelos de transporte de radiación en terapias dirigidas contra tumores.

En economía, el cálculo permite determinar el beneficio máximo calculando tanto el coste marginal como el ingreso marginal , así como modelar los mercados. ^{[ 5 ]}

En el procesamiento de señales y el aprendizaje automático, el cálculo discreto permite definiciones apropiadas de operadores (por ejemplo, convolución), optimización de conjuntos de nivel y otras funciones clave para el análisis de redes neuronales en estructuras de grafos. ^{[ 3 ]}

El cálculo discreto puede utilizarse junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, en la teoría de la probabilidad se puede emplear para determinar la probabilidad de una variable aleatoria discreta a partir de una función de densidad supuesta.

Supongamos una función (una${\displaystyle 0}$-cochain)${\displaystyle f}$se define en puntos separados por un incremento${\displaystyle \Delta x=h>0}$:

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

La diferencia (o la derivada exterior , o el operador de cofrontera) de la función viene dada por:

${\displaystyle {\big (}\Delta f{\big )}{\big (}[x,x+h]{\big )}=f(x+h)-f(x).}$

Se define en cada uno de los intervalos anteriores; es un${\displaystyle 1}$-cochain.

Supongamos que un${\displaystyle 1}$-cochain${\displaystyle g}$se define en cada uno de los intervalos anteriores. Entonces su suma es una función (una${\displaystyle 0}$-cocadena) definida en cada uno de los puntos por:

${\displaystyle \left(\sum g\right)\!(a+nh)=\sum _{i=1}^{n}g{\big (}[a+(i-1)h,a+ih]{\big )}.}$

Estas son sus propiedades:

• Regla constante : Si${\displaystyle c}$es una constante , entonces

${\displaystyle \Delta c=0}$

• Linealidad : si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son constantes ,

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g,\quad \sum (af+bg)=a\,\sum f+b\,\sum g}$

• Regla del producto :

${\displaystyle \Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g}$

• Teorema fundamental del cálculo I :

${\displaystyle \left(\sum \Delta f\right)\!(a+nh)=f(a+nh)-f(a)}$

• Teorema fundamental del cálculo II :

${\displaystyle \Delta \!\left(\sum g\right)=g}$

Las definiciones se aplican a los gráficos de la siguiente manera. Si una función (una${\displaystyle 0}$-cochain)${\displaystyle f}$se define en los nodos de un grafo:

${\displaystyle a,b,c,\ldots }$

entonces su derivada exterior (o diferencial) es la diferencia, es decir, la siguiente función definida en las aristas del grafo (${\displaystyle 1}$-cochain):

${\displaystyle \left(df\right)\!{\big (}[a,b]{\big )}=f(b)-f(a).}$

Si${\displaystyle g}$es un${\displaystyle 1}$-cocadena, entonces su integral sobre una secuencia de aristas${\displaystyle \sigma }$del gráfico es la suma de sus valores sobre todas las aristas de${\displaystyle \sigma }$("integral de trayectoria"):

${\displaystyle \int _{\sigma }g=\sum _{\sigma }g{\big (}[a,b]{\big )}.}$

Estas son las propiedades:

• Regla constante : Si${\displaystyle c}$es una constante , entonces

${\displaystyle dc=0}$

• Linealidad : si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son constantes ,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg,\quad \int _{\sigma }(af+bg)=a\,\int _{\sigma }f+b\,\int _{\sigma }g}$

• Regla del producto :

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df+df\,dg}$

• Teorema fundamental del cálculo I : si un${\displaystyle 1}$-cadena${\displaystyle \sigma }$consta de los bordes${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},a_{n}]}$, entonces para cualquier${\displaystyle 0}$-cochain${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{\sigma }df=f(a_{n})-f(a_{0})}$

• Teorema fundamental del cálculo II : si el grafo es un árbol ,${\displaystyle g}$es un${\displaystyle 1}$-cocadena y una función (${\displaystyle 0}$-cochain) se define en los nodos del grafo por

${\displaystyle f(x)=\int _{\sigma }g}$

donde un${\displaystyle 1}$-cadena${\displaystyle \sigma }$consta de${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},x]}$para algún fijo${\displaystyle a_{0}}$, entonces

${\displaystyle df=g}$

Véanse las referencias. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 3 ] [ 10 ]}

Un complejo simplicial${\displaystyle S}$es un conjunto de símplices que satisface las siguientes condiciones:

1. Cada cara de un simplex desde${\displaystyle S}$también está en${\displaystyle S}$.

2. La intersección no vacía de dos símplices cualesquiera${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in S}$es un rostro de ambos${\displaystyle \sigma _{1}}$y${\displaystyle \sigma _{2}}$.

Por definición, una orientación de un k -símplex viene dada por un ordenamiento de los vértices, escrito como${\displaystyle (v_{0},...,v_{k})}$Con la regla de que dos ordenamientos definen la misma orientación si y solo si difieren en una permutación par . Por lo tanto, cada símplex tiene exactamente dos orientaciones, y cambiar el orden de dos vértices modifica una orientación a la opuesta. Por ejemplo, elegir una orientación de un 1-símplex equivale a elegir una de las dos direcciones posibles, y elegir una orientación de un 2-símplex equivale a elegir qué significa "en sentido antihorario".

Dejar${\displaystyle S}$ser un complejo simplicial. Una k -cadena simplicial es una suma formal finita

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}$

donde cada c _i es un entero y σ _i es un k- símplex orientado. En esta definición, declaramos que cada símplex orientado es igual al negativo del símplex con la orientación opuesta. Por ejemplo,

${\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}$

El espacio vectorial de k -cadenas en${\displaystyle S}$está escrito${\displaystyle C_{k}}$. Tiene una base en correspondencia biunívoca con el conjunto de k- símplices en${\displaystyle S}$Para definir una base explícitamente, es necesario elegir una orientación para cada símplex. Una forma estándar de hacerlo es elegir un ordenamiento de todos los vértices y asignar a cada símplex la orientación correspondiente al ordenamiento inducido de sus vértices.

Dejar${\displaystyle \sigma =(v_{0},...,v_{k})}$ser un k -símplex orientado, visto como un elemento base de${\displaystyle C_{k}}$El operador de frontera

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

es el operador lineal definido por:

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}$

donde el simplex orientado

${\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}$

es el${\displaystyle i}$la cara de${\displaystyle \sigma }$, obtenido al eliminar su${\displaystyle i}$vértice.

En${\displaystyle C_{k}}$, elementos del subgrupo

${\displaystyle Z_{k}=\ker \partial _{k}}$

se denominan ciclos y el subgrupo

${\displaystyle B_{k}=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

Se dice que consta de límites .

Un cálculo directo muestra que${\displaystyle \partial ^{2}=0}$En términos geométricos, esto significa que el límite de cualquier cosa no tiene límite. De manera equivalente, los espacios vectoriales${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$formar un complejo de cadena . Otra afirmación equivalente es que${\displaystyle B_{k}}$está contenido en${\displaystyle Z_{k}}$.

Un complejo cúbico es un conjunto compuesto por puntos , segmentos de línea , cuadrados , cubos y sus contrapartes n- dimensionales . Se utilizan de forma análoga a los símplices para formar complejos. Un intervalo elemental es un subconjunto.${\displaystyle I\subset \mathbf {R} }$de la forma

${\displaystyle I=[\ell ,\ell +1]\quad {\text{or}}\quad I=[\ell ,\ell ]}$

para algunos${\displaystyle \ell \in \mathbf {Z} }$Un cubo elemental${\displaystyle Q}$es el producto finito de intervalos elementales, es decir

${\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subset \mathbf {R} ^{d}}$

dónde${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}$son intervalos elementales. De forma equivalente, un cubo elemental es cualquier traslación de un cubo unitario.${\displaystyle [0,1]^{n}}$incrustado en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$(para algunos${\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}$con${\displaystyle n\leq d}$). Un conjunto${\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}$Un conjunto es cúbico si puede escribirse como una unión de cubos elementales (o, posiblemente, es homeomorfo a dicho conjunto) y contiene todas las caras de todos sus cubos. El operador de frontera y el complejo de cadena se definen de forma similar a los de los complejos simpliciales.

Más generales son los complejos celulares .

Un complejo de cadena${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$es una secuencia de espacios vectoriales${\displaystyle \ldots ,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},\ldots }$conectados por operadores lineales (llamados operadores de frontera )${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$, de tal manera que la composición de cualesquiera dos mapas consecutivos sea el mapa cero. Explícitamente, los operadores de frontera satisfacen${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$o con índices suprimidos,${\displaystyle \partial ^{2}=0}$El complejo puede escribirse de la siguiente manera.

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {\partial _{0}}}C_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}C_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}C_{3}{\xleftarrow {\partial _{4}}}C_{4}{\xleftarrow {\partial _{5}}}\cdots }$

Un mapa simplicial es un mapa entre complejos simpliciales con la propiedad de que las imágenes de los vértices de un simplex siempre generan un simplex (por lo tanto, los vértices tienen vértices como imágenes). Un mapa simplicial${\displaystyle f}$de un complejo simplicial${\displaystyle S}$a otro${\displaystyle T}$es una función del conjunto de vértices de${\displaystyle S}$al conjunto de vértices de${\displaystyle T}$de tal manera que la imagen de cada simplex en${\displaystyle S}$(visto como un conjunto de vértices) es un simplex en${\displaystyle T}$. Genera un mapa lineal, llamado mapa de cadena , a partir del complejo de cadena de${\displaystyle S}$al complejo de cadena de${\displaystyle T}$Explícitamente, se da en${\displaystyle k}$-cadenas por

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

si${\displaystyle f(v_{0}),...,f(v_{k})}$son todos distintos, y de lo contrario se establece igual a${\displaystyle 0}$.

Un mapa de cadenas${\displaystyle f}$entre dos complejos de cadena${\displaystyle (A_{*},d_{A,*})}$y${\displaystyle (B_{*},d_{B,*})}$es una secuencia${\displaystyle f_{*}}$de homomorfismos${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$para cada${\displaystyle n}$que conmuta con los operadores de frontera en los dos complejos de cadena, por lo que${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$Esto se representa en el siguiente diagrama conmutativo :

Un mapa de cadena envía ciclos a ciclos y límites a límites.

Véanse las referencias. ^{[ 11 ] [ 10 ] [ 12 ]}

Para cada espacio vectorial C _i en el complejo de cadenas consideramos su espacio dual.${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},{\bf {R}}),}$y${\displaystyle d^{i}=\partial _{i}^{*}}$es su operador lineal dual

${\displaystyle d^{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$

Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo cochain.

${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {\partial _{i}^{*}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {\partial _{i-1}^{*}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$

El complejo de cocadena${\displaystyle (C^{*},d^{*})}$es la noción dual de un complejo de cadena. Consiste en una secuencia de espacios vectoriales${\displaystyle ...,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},...}$conectados por operadores lineales${\displaystyle d^{n}:C^{n}\to C^{n+1}}$satisfactorio${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$. El complejo cochain puede escribirse de manera similar al complejo chain.

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}C^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}C^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}C^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}C^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}C^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

El índice${\displaystyle n}$en cualquiera de los dos${\displaystyle C_{n}}$o${\displaystyle C^{n}}$Se denomina grado (o dimensión ). La diferencia entre los complejos de cadena y de cocadena es que, en los complejos de cadena, los diferenciales disminuyen la dimensión, mientras que en los complejos de cocadena la aumentan.

Los elementos de los espacios vectoriales individuales de un complejo de (co)cadenas se denominan cocadenas . Los elementos en el núcleo de${\displaystyle d}$se llaman cociclos (o elementos cerrados ), y los elementos en la imagen de${\displaystyle d}$Se denominan cofronteras (o elementos exactos ). Desde la definición del diferencial, todas las fronteras son ciclos.

El lema de Poincaré establece que si${\displaystyle B}$es una bola abierta en${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$, cualquier cerrado${\displaystyle p}$-forma${\displaystyle \omega }$definido en${\displaystyle B}$es exacto, para cualquier entero${\displaystyle p}$con${\displaystyle 1\leq p\leq n}$.

Cuando nos referimos a las cocadenas como formas discretas (diferenciales) , nos referimos a${\displaystyle d}$como la derivada exterior . También utilizamos la notación de cálculo para los valores de las formas:

${\displaystyle \omega (s)=\int _{s}\omega .}$

El teorema de Stokes es un enunciado sobre las formas diferenciales discretas en variedades , que generaliza el teorema fundamental del cálculo discreto para una partición de un intervalo:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\Delta F}{\Delta x}}(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

El teorema de Stokes dice que la suma de una forma${\displaystyle \omega }$sobre el límite de alguna variedad orientable${\displaystyle \Omega }$es igual a la suma de su derivada exterior${\displaystyle d\omega }$en todo el${\displaystyle \Omega }$, es decir,

${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.}$

Vale la pena examinar el principio subyacente considerando un ejemplo para${\displaystyle d=2}$dimensiones. La idea esencial se puede comprender mediante el diagrama de la izquierda, que muestra que, en un recubrimiento orientado de una variedad, los caminos interiores se recorren en direcciones opuestas; sus contribuciones a la integral de camino se cancelan mutuamente por pares. En consecuencia, solo permanece la contribución del borde.

Véanse las referencias. ^{[ 11 ] [ 10 ]}

En cálculo discreto, esta es una construcción que crea a partir de formas formas de orden superior: adjuntando dos cocadenas de grado${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$para formar una cocadena compuesta de grado${\displaystyle p+q}$.

Para los complejos cúbicos , el producto exterior se define en cada cubo visto como un espacio vectorial de la misma dimensión.

Para complejos simpliciales , el producto exterior se implementa como el producto de copa : si${\displaystyle f^{p}}$es un${\displaystyle p}$-cochain y${\displaystyle g^{q}}$es un${\displaystyle q}$-cochain, entonces

${\displaystyle (f^{p}\smile g^{q})(\sigma )=f^{p}(\sigma _{0,1,...,p})\cdot g^{q}(\sigma _{p,p+1,...,p+q})}$

dónde${\displaystyle \sigma }$es un${\displaystyle (p+q)}$- simplex y${\displaystyle \sigma _{S},\ S\subset \{0,1,...,p+q\}}$, es el simplex generado por${\displaystyle S}$en el${\displaystyle (p+q)}$-símplex cuyos vértices están indexados por${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$. Entonces,${\displaystyle \sigma _{0,1,...,p}}$es el${\displaystyle p}$-cara frontal y${\displaystyle \sigma _{p,p+1,...,p+q}}$es el${\displaystyle q}$-cara posterior de${\displaystyle \sigma }$, respectivamente.

El colímite del producto de copa de cocadenas${\displaystyle f^{p}}$y${\displaystyle g^{q}}$es dado por

${\displaystyle d(f^{p}\smile g^{q})=d{f^{p}}\smile g^{q}+(-1)^{p}(f^{p}\smile d{g^{q}}).}$

El producto de dos cociclos es de nuevo un cociclo, y el producto de un coborde con un cociclo (en cualquier orden) es un coborde.

La operación del producto de la taza satisface la identidad

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p}).}$

En otras palabras, la multiplicación correspondiente es conmutativa graduada .

Véanse las referencias. ^{[ 11 ]}

Sin embargo, el producto de cuña también puede definirse en complejos celulares, cuyas celdas de mayor dimensión son polígonos generales. Dicho producto de cuña se presentó en A simple and complete discrete exterior calculus on general polygonal meshes . Además, los autores emplean este producto de cuña poligonal para definir la derivada de Lie discreta en mallas poligonales generales. ^{[ 13 ]}

El operador de Laplace${\displaystyle \Delta f}$de una función${\displaystyle f}$en un vértice${\displaystyle p}$, es (hasta un factor) la tasa a la que el valor promedio de${\displaystyle f}$sobre un vecindario celular de${\displaystyle p}$se desvía de${\displaystyle f(p)}$El operador de Laplace representa la densidad de flujo del gradiente de una función. Por ejemplo, la velocidad neta a la que una sustancia química disuelta en un fluido se mueve hacia o desde un punto determinado es proporcional al operador de Laplace de la concentración química en ese punto; expresada simbólicamente, la ecuación resultante es la ecuación de difusión . Por estas razones, se utiliza ampliamente en las ciencias para modelar diversos fenómenos físicos.

El codiferencial

${\displaystyle \delta :C^{k}\to C^{k-1}}$

es un operador definido en${\displaystyle k}$-formularios por:

${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}{\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star },}$

dónde${\displaystyle d}$es la derivada o diferencial exterior y${\displaystyle \star }$es el operador estrella de Hodge .

El codiferencial es el adjunto de la derivada exterior según el teorema de Stokes:

${\displaystyle (\eta ,\delta \zeta )=(d\eta ,\zeta ).}$

Dado que el diferencial satisface${\displaystyle d^{2}=0}$, el codiferencial tiene la propiedad correspondiente

${\displaystyle \delta ^{2}={\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}{\star }d^{2}{\star }=0.}$

El operador de Laplace se define por:

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta .}$

Véanse las referencias. ^{[ 10 ]}

• Método de elementos discretos
• Diferencias divididas
• Coeficiente de diferencia finita
• Método de diferencias finitas
• Método de elementos finitos
• Método de volumen finito
• Diferenciación numérica
• Integración numérica
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

• Cálculo de diferencias finitas
• Cálculo en grafos ponderados finitos
• Autómata celular
• Geometría diferencial discreta
• Operador de Laplace discreto
• Cálculo de diferencias finitas, cálculo discreto o análisis discreto
• Teoría discreta de Morse