Complejo de cadena

En matemáticas , un complejo de cadena es una estructura algebraica que consiste en una secuencia de grupos abelianos (o módulos ) y una secuencia de homomorfismos entre grupos consecutivos, de tal manera que la imagen de cada homomorfismo está contenida en el núcleo del siguiente. Asociada a un complejo de cadena está su homología , que es (en términos generales) una medida de la falta de exactitud de un complejo de cadena .

Un complejo de cocadenas es similar a un complejo de cadenas, excepto que sus homomorfismos están en la dirección opuesta. La homología de un complejo de cocadenas se llama cohomología .

En topología algebraica , el complejo de cadenas singular de un espacio topológico X se construye utilizando aplicaciones continuas de un simplex a X, y los homomorfismos del complejo de cadenas describen cómo estas aplicaciones se restringen al límite del simplex. La homología de este complejo de cadenas se denomina homología singular de X y es un invariante comúnmente utilizado en espacios topológicos.

Los complejos de cadenas se estudian en álgebra homológica , pero se utilizan en diversas áreas de las matemáticas, como el álgebra abstracta , la teoría de Galois , la geometría diferencial y la geometría algebraica . Se pueden definir de forma más general en categorías abelianas .

Un complejo de cadena${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$es una secuencia de grupos o módulos abelianos${\displaystyle \cdots ,A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$conectados por homomorfismos (llamados operadores de frontera o diferenciales )${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$, de tal manera que la composición de cualesquiera dos mapas consecutivos sea el mapa cero. Explícitamente, los diferenciales satisfacen${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$a pesar de${\displaystyle n}$, o, concisamente,${\displaystyle d^{2}=0}$El complejo puede escribirse de la siguiente manera:

${\displaystyle \cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots }$

El complejo de cocadena${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$es la noción dual de un complejo de cadena. Consiste en una secuencia de grupos o módulos abelianos.${\displaystyle \cdots ,A^{0},A^{1},A^{2},\dots }$conectados por homomorfismos ( operadores de cofrontera )${\displaystyle d^{n}:A^{n}\to A^{n+1}}$satisfactorio${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$El complejo cochain puede escribirse de forma similar al complejo chain:

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots }$

En ambos casos, el índice${\displaystyle n}$Se denomina grado (o dimensión ). La diferencia entre los complejos de cadena y los complejos de cocadena radica en que, en los primeros, los diferenciales disminuyen la dimensión, mientras que en los segundos la aumentan. Todos los conceptos y definiciones de los complejos de cadena se aplican también a los complejos de cocadena, salvo que estos últimos seguirán una convención diferente para la dimensión, y a menudo se les añadirá el prefijo co- . En este artículo, se proporcionarán definiciones para los complejos de cadena cuando no sea necesaria esta distinción.

Un complejo de cadena acotada es aquel en el que casi todas las${\displaystyle A_{n}}$son 0; es decir, un complejo finito extendido a la izquierda y a la derecha por 0. Un ejemplo es el complejo de cadena que define la homología simplicial de un complejo simplicial finito . Un complejo de cadena está acotado superiormente si todos los módulos por encima de algún grado fijo${\displaystyle N}$son 0, y está acotado inferiormente si todos los módulos por debajo de algún grado fijo son 0. Claramente, un complejo está acotado tanto superior como inferiormente si y solo si el complejo está acotado.

Los elementos de los grupos individuales de un complejo de (co)cadenas se denominan (co)cadenas . Los elementos en el núcleo de${\displaystyle d}$se denominan (co)ciclos (o elementos cerrados ), y los elementos en la imagen de d se denominan (co)fronteras (o elementos exactos ). Desde la definición del diferencial, todas las fronteras son ciclos. El n -ésimo grupo de (co)homología H _n ( H ⁿ ) es el grupo de (co)ciclos módulo (co)fronteras en grado n , es decir,

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

Complejos de cadena de${\displaystyle K}$-Los módulos con mapas en cadena como morfismos forman una categoría${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}$, dónde${\displaystyle K}$es un anillo conmutativo.

Si${\displaystyle V=V_{*}}$y${\displaystyle W=W_{*}}$son complejos de cadena, su producto tensorial${\displaystyle V\otimes W}$es un complejo de cadena con grado${\displaystyle n}$elementos dados por

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j\mid i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

y diferencial dado por

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son cualesquiera dos vectores homogéneos en${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$respectivamente y${\displaystyle \left|a\right|}$denota el grado de${\displaystyle a}$.

Este producto tensorial hace que la categoría${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}$en una categoría monoidal simétrica . El objeto identidad con respecto a este producto monoidal es el anillo base.${\displaystyle K}$visto como un complejo de cadena en grado${\displaystyle 0}$El trenzado se da en tensores simples de elementos homogéneos mediante

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

La señal es necesaria para que el trenzado sea un mapa de cadena.

Además, la categoría de complejos de cadena de${\displaystyle K}$-Los módulos también tienen Hom interno : complejos de cadena dados${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, el Hom interno de${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, denotado${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$, es el complejo de cadena con grado${\displaystyle n}$elementos dados por${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$y diferencial dado por

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

Tenemos un isomorfismo natural

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

• Complejo Amitsur
• Un complejo utilizado para definir los grupos superiores de Chow de Bloch.
• Complejo Buchsbaum-Rim
• Complejo Čech
• complejo de primos
• complejo Eagon-Northcott
• complejo de Gersten
• Complejo de grafos ^{[ 1 ]}
• Complejo de Koszul
• complejo de Moore
• complejo Schur

• Álgebra diferencial graduada
• Álgebra de Lie diferencial graduada
• La correspondencia de Dold-Kan establece que existe una equivalencia entre la categoría de complejos de cadena y la categoría de grupos abelianos simpliciales .
• Criterio de aciclicidad de Buchsbaum-Eisenbud
• Módulo de calificación diferencial

• Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.