Glosario de topología algebraica

Este es un glosario de propiedades y conceptos de topología algebraica en matemáticas.

Véase también: glosario de topología , lista de temas de topología algebraica , glosario de teoría de categorías , glosario de geometría diferencial y topología , cronología de variedades .

• Convención : A lo largo del artículo, I denota el intervalo unitario, S ⁿ la n- esfera y D ⁿ el n -disco. Asimismo, se asume que los espacios son razonables ; esto puede interpretarse, por ejemplo, como un espacio complejo CW o un espacio débilmente Hausdorff generado de forma compacta . De igual modo, no se pretende definir de forma definitiva el concepto de espectro . Un conjunto simplicial no se considera un espacio; es decir, generalmente distinguimos entre conjuntos simpliciales y sus realizaciones geométricas.
• Criterio de inclusión : Dado que actualmente no existe un glosario de álgebra homológica en Wikipedia, este glosario también incluye algunos conceptos de álgebra homológica (por ejemplo, homotopía de cadenas); algunos conceptos de topología geométrica y topología diferencial también son válidos. Por otro lado, los elementos que aparecen en el glosario de topología generalmente se omiten. La teoría de la homotopía abstracta y la teoría de la homotopía motivacional también quedan fuera de su alcance. El glosario de teoría de categorías abarca (o abarcará) conceptos de la teoría de categorías modelo . Consulte el glosario de geometría simpléctica para temas de topología simpléctica como la cuantización.

*

El punto base de un espacio base.

${\displaystyle X_{+}}$

Para un espacio sin base X , X ₊ es el espacio con base que se obtiene al adjuntar un punto base disjunto.

retractación absoluta del vecindario

Se utiliza una retracción de vecindario absoluta como alternativa a un complejo CW como espacio agradable (el tipo de homotopía de una ANR y el de un complejo CW son los mismos).

abstracto

1. Teoría de la homotopía abstracta  

Adán

1. John Frank Adams .  

2. La secuencia espectral de Adams .  

3. La conjetura de Adams .  

4. El invariante e de Adams .  

5. Las operaciones de Adams .  

Dualidad de Alexander

Dualidad de Alexander

Truco de Alexander

El truco de Alexander produce una sección del mapa de restricciones.${\displaystyle \operatorname {Top} (D^{n+1})\to \operatorname {Top} (S^{n})}$, Top denotando un grupo de homeomorfismos ; es decir, la sección está dada enviando un homeomorfismo${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$al homeomorfismo

${\displaystyle {\widetilde {f}}:D^{n+1}\to D^{n+1},\,0\mapsto 0,0\neq x\mapsto |x|f(x/|x|)}$.

Esta sección es, de hecho, una inversa homotópica. ^{[ 1 ]}

Análisis del sitio

Análisis del sitio .

anillo

El teorema del anillo .

fibración aproximada

1. Una fibración aproximada , una generalización de una fibración y una proyección en un fibrado localmente trivial.  

2. Una fibración aproximada de variedades es una fibración aproximada propia entre variedades.  

espacio asférico

Espacio asférico

mapa de ensamblaje

Atiyah

1. Michael Atiyah .  

2. Dualidad de Atiyah .  

3. La secuencia espectral Atiyah–Hirzebruch .  

construcción de barras

espacio basado

Un par ( X , x ₀ ) que consta de un espacio X y un punto x ₀ en X .

Número de Betti

Ver el número de Betti .

Conjetura de Bing-Borsuk

Véase la conjetura de Bing-Borsuk .

homomorfismo de Bockstein

Borel

Conjetura de Borel .

Homología de Borel-Moore

Teorema de Borsuk

Larva del moscardón

1. Raoul Bott .  

2. El teorema de periodicidad de Bott para grupos unitarios dice:  ${\displaystyle \pi _{q}U=\pi _{q+2}U,q\geq 0}$.

3. El teorema de periodicidad de Bott para grupos ortogonales dice:  ${\displaystyle \pi _{q}O=\pi _{q+8}O,q\geq 0}$.

Teorema del punto fijo de Brouwer

El teorema del punto fijo de Brouwer dice que cualquier mapa${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$tiene un punto fijo.

Espectro de Brown-Peterson

El espectro Brown-Peterson .

producto de tapa

Casson

Invariante de Casson .

Cohomología checa

celular

1. Un mapa ƒ: X → Y entre complejos CW es celular si  ${\displaystyle f(X^{n})\subset Y^{n}}$para todo n .

2. El teorema de aproximación celular dice que todo mapeo entre complejos CW es homotópico a un mapeo celular entre ellos.  

3. La homología celular es la homología (canónica) de un complejo CW. Cabe destacar que se aplica a complejos CW y no a espacios en general. Una homología celular es altamente computable; resulta especialmente útil para espacios con descomposiciones celulares naturales, como los espacios proyectivos o los grassmannianos.  

homotopía de cadena

Dados los mapas de cadena${\displaystyle f,g:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$Entre complejos de cadenas de módulos, una homotopía de cadena s de f a g es una secuencia de homomorfismos de módulos.${\displaystyle s_{i}:C_{i}\to D_{i+1}}$satisfactorio${\displaystyle f_{i}-g_{i}=d_{D}\circ s_{i}+s_{i-1}\circ d_{C}}$También se le denomina operador de homotopía .

mapa de cadenas

Un mapa de cadenas${\displaystyle f:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$Entre los complejos de cadenas de módulos hay una secuencia de homomorfismos de módulos.${\displaystyle f_{i}:C_{i}\to D_{i}}$que conmuta con los diferenciales; es decir,${\displaystyle d_{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ d_{C}}$.

equivalencia de homotopía de cadena

Un mapa de cadena que es un isomorfismo salvo homotopía de cadena; es decir, si ƒ : C → D es un mapa de cadena, entonces es una equivalencia de homotopía de cadena si hay un mapa de cadena g : D → C tal que g ƒ y ƒ g son homotópicos de cadena a los homomorfismos identidad en C y D , respectivamente.

cambio de fibra

El cambio de fibra de una fibración p es una equivalencia homotópica, salvo homotopía, entre las fibras de p inducidas por un camino en la base.

variedad de personajes

La variedad de caracteres ^{[ 2 ]} de un grupo π y un grupo algebraico G (por ejemplo, un grupo de Lie complejo reductivo) es el cociente de la teoría de invariantes geométricos por G :

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!/G}$.

clase característica

Sea Vect( X ) el conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales en X. Podemos ver${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} (X)}$como un functor contravariante de Top a Set enviando un mapeo ƒ: X → Y al retroceso ƒ ^* a lo largo de él. Entonces una clase característica es una transformación natural de Vect al functor de cohomología H ^* . Explícitamente, a cada fibrado vectorial E le asignamos una clase de cohomología, digamos, c ( E ​​). La asignación es natural en el sentido de que ƒ ^* c( E ) = c(ƒ ^* E ).

teoría de la homotopía cromática

teoría de la homotopía cromática .

clase

1. Clase Chern .  

2. Clase Stiefel-Whitney .  

espacio de clasificación

En términos generales, un espacio clasificador es un espacio que representa algún functor contravariante definido en la categoría de espacios; por ejemplo,${\displaystyle BU}$es el espacio de clasificación en el sentido${\displaystyle [-,BU]}$es el functor${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} ^{\mathbb {R} }(X)}$que envía un espacio al conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales reales en el espacio.

agarrando

secuencia espectral de cobar

cobordismo

1. Véase cobordismo .  

2. Un anillo de cobordismo es un anillo cuyos elementos son clases de cobordismo.  

3. Véase también el teorema de h-cobordismo y el teorema de s-cobordismo .  

anillo de coeficiente

Si E es un espectro de anillo, entonces el anillo de coeficientes de este es el anillo${\displaystyle \pi _{*}E}$.

secuencia de cofibra

Una secuencia de cofibra es cualquier secuencia que sea equivalente a la secuencia${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}}$para algunos ƒ donde${\displaystyle C_{f}}$es el cono de mapeo reducido de ƒ (llamado cofibra de ƒ).

aproximación cofibrante

cofibración

Un mapa${\displaystyle i:A\to B}$es una cofibración si satisface la propiedad: dado${\displaystyle h_{0}:B\to X}$y homotopía${\displaystyle g_{t}:A\to X}$de tal manera que${\displaystyle g_{0}=h_{0}\circ i}$, hay una homotopía${\displaystyle h_{t}:B\to X}$de tal manera que${\displaystyle h_{t}\circ i=g_{t}}$. ^{[ 3 ]} Una cofibración es inyectiva y es un homeomorfismo sobre su imagen.

homotopía coherente

coherencia

Véase coherencia (teoría de la homotopía).

grupo de cohomotopía

Para un espacio base X , el conjunto de clases de homotopía${\displaystyle [X,S^{n}]}$se denomina el n -ésimo grupo de cohomotopía de X.

operación de cohomología

colapsar

Es una expresión informal que generalmente significa tomar un cociente; por ejemplo, un cono se obtiene colapsando la parte superior (o inferior) de un cilindro.

cuello

barrio del collar

terminación

aburrimiento complejo

orientado a lo complejo

Una teoría de cohomología multiplicativa E está orientada a complejos si el mapa de restricción E ² ( C P ^∞ ) → E ² ( C P ¹ ) es sobreyectivo.

concordante

cono

El cono sobre un espacio X es${\displaystyle CX=X\times I/X\times \{0\}}$El cono reducido se obtiene a partir del cilindro reducido .${\displaystyle X\wedge I_{+}}$colapsando la parte superior.

conectivo

Un espectro E es conectivo si${\displaystyle \pi _{q}E=0}$para todos los enteros negativos q .

espacio de configuración

constante

Un haz constante en un espacio X es un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en X tal que para algún conjunto A y algún mapa${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)}$, el mapa natural${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}_{x}}$es biyectiva para cualquier x en X.

continuo

Cohomología continua .

espacio contraíble

Un espacio es contraíble si la aplicación identidad en ese espacio es homotópica a la aplicación constante.

cubierta

1. Una aplicación p : Y → X es un recubrimiento o una aplicación de recubrimiento si cada punto de x tiene un vecindario N que está uniformemente cubierto por p ; esto significa que la preimagen de N es una unión disjunta de conjuntos abiertos, cada uno de los cuales se aplica a N de forma homeomórfica.  

2. Es de n hojas si cada fibra p ⁻¹ ( x ) tiene exactamente n elementos.  

3. Es universal si Y está simplemente conectado.  

4. Un morfismo de un recubrimiento es una aplicación sobre X. En particular, un automorfismo de un recubrimiento p : Y → X ( también llamado transformación de cubierta ) es una aplicación Y → Y sobre X que tiene inversa; es decir, un homeomorfismo sobre X.  

5. Un recubrimiento G es un recubrimiento que surge de una acción de grupo sobre un espacio X por un grupo G , siendo la aplicación de recubrimiento la aplicación cociente de X al espacio de órbitas X/G . La noción se utiliza para enunciar la propiedad universal: si X admite un recubrimiento universal (en particular conexo), entonces   

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)}$es el conjunto de clases de isomorfismo de recubrimientos G.

En particular, si G es abeliano, entonces el lado izquierdo es${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)=\operatorname {H} ^{1}(X;G)}$(cf. cohomología no abeliana .)

6. dimensión de cobertura .  

producto de taza

complejo CW

Un complejo CW es un espacio X equipado con una estructura CW; es decir, una filtración.

${\displaystyle X^{0}\subset X^{1}\subset X^{2}\subset \cdots \subset X}$

de tal manera que (1) X ⁰ es discreto y (2) X ⁿ se obtiene a partir de X ^{n -1} mediante la unión de n celdas.

homología cíclica

transformación de la cubierta

Otro término para un automorfismo de un recubrimiento.

deformación retracción

Un subespacio${\displaystyle A\subset X}$Se denomina retracción por deformación de X si existe una homotopía.${\displaystyle h_{t}:X\to X}$de tal manera que${\displaystyle h_{0}}$es la identidad,${\displaystyle h_{1}(X)\subset A}$y${\displaystyle {h_{1}}|_{A}}$es la identidad (es decir,${\displaystyle h_{1}}$es una retractación de${\displaystyle A\hookrightarrow X}$en el sentido de la teoría de categorías). Se denomina retracción de deformación fuerte si, además,${\displaystyle h_{t}}$satisface el requisito de que${\displaystyle {h_{t}}|_{A}}$es la identidad. Por ejemplo, una homotopía${\displaystyle h_{t}:B\to B,\,x\mapsto (1-t)x}$muestra que el origen es una fuerte deformación y retracción de una bola abierta B centrada en el origen.

Cohomología de Deligne-Beilinson

Cohomología de Deligne-Beilinson

desacoplamiento

ciclo de degeneración

grado

de Rham

1. Cohomología de De Rham , la cohomología de formas diferenciales complejas.  

2. El teorema de de Rham da un isomorfismo explícito entre la cohomología de de Rham y la cohomología singular.  

propiedad de disco disjunto

propiedad de disco disjunto .

Dold

El teorema de Dold-Thom .

dominar

Un espacio${\displaystyle Y}$Se dice que domina un espacio${\displaystyle X}$si hay${\displaystyle p:Y\to X}$y${\displaystyle g:X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle p\circ g:X\to X}$es homotópico a la identidad.

Argumento de Eckmann-Hilton

El argumento de Eckmann-Hilton .

Dualidad Eckmann-Hilton

espacios de Eilenberg–MacLane

Dado un grupo abeliano π, los espacios de Eilenberg-MacLane${\displaystyle K(\pi ,n)}$se caracterizan por

${\displaystyle \pi _{q}K(\pi ,n)={\begin{cases}\pi &{\text{if }}q=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$.

Axiomas de Eilenberg-Steenrod

Los axiomas de Eilenberg-Steenrod son el conjunto de axiomas que debe satisfacer cualquier teoría de cohomología (singular, celular, etc.). Debilitar los axiomas (es decir, eliminar el axioma de dimensión) conduce a una teoría de cohomología generalizada .

Teorema de Eilenberg-Zilber

elíptico

cohomología elíptica .

En _n -álgebra

topología algebraica equivariante

La topología algebraica equivariante es el estudio de espacios con acción de grupo (continua) .

etale

homotopía étale .

euclidiano

Una retracción de vecindario euclidiano

exacto

Una secuencia de conjuntos apuntados${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y{\overset {g}{\to }}Z}$es exacto si la imagen de f coincide con la preimagen del punto Z elegido .

excisión

El axioma de escisión para la homología dice: si${\displaystyle U\subset X}$y${\displaystyle {\overline {U}}\subset \operatorname {int} (A)}$, entonces para cada q ,

${\displaystyle \operatorname {H} _{q}(X-U,A-U)\to \operatorname {H} _{q}(X,A)}$

es un isomorfismo.

par/tríada excisiva

factorización homología

equivalencia de homotopía de fibra

Dados D → B y E → B , una aplicación ƒ: D → E sobre B es una equivalencia de homotopía de fibra si es invertible salvo homotopía sobre B. El hecho fundamental es que si D → B y E → B son fibraciones, entonces una equivalencia de homotopía de D a E es una equivalencia de homotopía de fibra.

secuencia de fibras

La secuencia de fibras de un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$es la secuencia${\displaystyle F_{f}{\overset {p}{\to }}X{\overset {f}{\to }}Y}$dónde${\displaystyle F_{f}{\overset {p}{\to }}X}$es la fibra homotópica de f ; es decir, el retroceso de la fibración del espacio de caminos${\displaystyle PY\to Y}$a lo largo de f .

cuadrado de fibra

cuadrado de fibra

fibración

Una aplicación p : E → B es una fibración si para cualquier homotopía dada${\displaystyle g_{t}:X\to B}$y un mapa${\displaystyle h_{0}:X\to E}$de tal manera que${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$, existe una homotopía${\displaystyle h_{t}:X\to E}$de tal manera que${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$(La propiedad anterior se denomina propiedad de levantamiento homotópico ). Un mapa de recubrimiento es un ejemplo básico de fibración.

secuencia de fibración

Uno dice${\displaystyle F\to X{\overset {p}{\to }}B}$es una secuencia de fibración para significar que p es una fibración y que F es homotópicamente equivalente a la fibra homotópica de p , con cierta comprensión de los puntos base.

dominado finitamente

clase fundamental

grupo fundamental

El grupo fundamental de un espacio X con punto base x ₀ es el grupo de clases de homotopía de lazos en x ₀ . Es precisamente el primer grupo de homotopía de ( X , x ₀ ) y, por lo tanto, se denota por${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

grupoide fundamental

El grupoide fundamental de un espacio X es la categoría cuyos objetos son los puntos de X y cuyos morfismos x → y son las clases de homotopía de caminos de x a y ; por lo tanto, el conjunto de todos los morfismos de un objeto x ₀ a sí mismo es, por definición, el grupo fundamental.${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

enmarcado

Un colector enmarcado es un colector con un marco.

gratis

Sinónimo de no basado. Por ejemplo, el espacio de caminos libres de un espacio X se refiere al espacio de todos los mapas de I a X ; es decir,${\displaystyle X^{I}}$mientras que el espacio de caminos de un espacio base X consiste en un mapa que preserva el punto base (es decir, 0 va al punto base de X ).

Liberto

Colector E8 de Freedman .

Teorema de suspensión de Freudenthal

Para un espacio X no degenerado basado , el teorema de suspensión de Freudenthal dice: si X es ( n -1)-conexo, entonces el homomorfismo de suspensión

${\displaystyle \pi _{q}X\to \pi _{q+1}\Sigma X}$

es biyectiva para q < 2 n - 1 y es sobreyectiva si q = 2 n - 1.

Compactificación de Fulton-MacPherson

La compactificación de Fulton-MacPherson del espacio de configuración de n puntos distintos etiquetados en una variedad compleja compacta es una compactificación suave natural introducida por Fulton y MacPherson.

fibra G

Una G-fibración con algún monoide topológico G. Un ejemplo es la fibración del espacio de caminos de Moore .

Espacio G

Un espacio G es un espacio junto con una acción de un grupo G (que generalmente cumple ciertas condiciones).

Espacio Γ

teoría de la cohomología generalizada

Una teoría de cohomología generalizada es un functor contravariante de la categoría de pares de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de dimensión.

conjetura de geometrización

conjetura de geometrización

género

germen

germen

finalización del grupo

grupal

Se dice que un espacio H X es de tipo grupo o de tipo grupo si${\displaystyle \pi _{0}X}$es un grupo ; es decir, X satisface los axiomas de grupo salvo homotopía.

Secuencia de gisin

Hauptvermutung

1. Hauptvermutung , término alemán que significa conjetura principal, es la abreviatura de die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie (la conjetura principal de la topología combinatoria). Esta conjetura plantea si dos complejos simpliciales son isomorfos si son homeomorfos. Fue refutada por Milnor en 1961.  

2. Hay algunas variantes; por ejemplo, se puede preguntar si dos variedades PL son PL-isomorfas si son homeomorfas (lo cual también es falso).  

cobordismo h

h-cobordismo .

Teorema de Hilton-Milnor

El teorema de Hilton-Milnor .

Hirzebruch

Teorema de la signatura de Hirzebruch .

Espacio H

Un espacio H es un espacio base que es un magma unitario salvo homotopía.

Hodge

La secuencia espectral de Hodge .

homólogo

Dos ciclos son homólogos si pertenecen a la misma clase de homología.

variedad de homología

Una variedad homológica es un espacio que se asemeja a una variedad topológica, en términos de teoría de la homología.

esfera de homología

Una esfera de homología es una variedad que tiene el tipo de homología de una esfera.

categoría de homotopía

Sea C una subcategoría de la categoría de todos los espacios. Entonces, la categoría de homotopía de C es aquella cuya clase de objetos es la misma que la clase de objetos de C , pero el conjunto de morfismos de un objeto x a un objeto y es el conjunto de las clases de homotopía de morfismos de x a y en C. Por ejemplo, una aplicación es una equivalencia homotópica si y solo si es un isomorfismo en la categoría de homotopía.

colímite de homotopía

Un colímite homotópico es una versión homotópicamente correcta de un colímite.

homotopía sobre un espacio B

Una homotopía h _t tal que para cada t fijo , h _t es una aplicación sobre B.

equivalencia homotópica

1. Una aplicación ƒ: X → Y es una equivalencia homotópica si es invertible salvo homotopía; es decir, existe una aplicación g: Y → X tal que g ∘ ƒ es homotópica a la aplicación identidad en X y ƒ ∘ g es homotópica a la aplicación identidad en Y.  

2. Se dice que dos espacios son homotópicamente equivalentes si existe una equivalencia homotópica entre ellos. Por ejemplo, por definición, un espacio es contraíble si es homotópicamente equivalente a un espacio de puntos .  

teorema de escisión homotópica

El teorema de escisión homotópica es un sustituto del fallo de escisión para grupos homotópicos.

fibra homotópica

La fibra homotópica de una aplicación basada ƒ: X → Y , denotada por F ƒ, es el retroceso de${\displaystyle PY\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$a lo largo de f .

producto de fibra homotópica

Un producto fibrado es un tipo particular de límite . Reemplazar este límite lim con un límite de homotopía holim produce un producto fibrado de homotopía .

grupo homotópico

1. Para un espacio base X , sea  ${\displaystyle \pi _{n}X=[S^{n},X]}$, el conjunto de clases de homotopía de mapas basados. Entonces${\displaystyle \pi _{0}X}$es el conjunto de componentes conectadas por caminos de X ,${\displaystyle \pi _{1}X}$es el grupo fundamental de X y${\displaystyle \pi _{n}X,\,n\geq 2}$son los grupos de homotopía n - ésimos (superiores) de X.

2. Para espacios basados  ${\displaystyle A\subset X}$, el grupo de homotopía relativa${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$se define como${\displaystyle \pi _{n-1}}$del espacio de caminos que comienzan todos en el punto base de X y terminan en algún lugar de A. De manera equivalente, es el${\displaystyle \pi _{n-1}}$de la fibra homotópica de${\displaystyle A\hookrightarrow X}$.

3. Si E es un espectro, entonces  ${\displaystyle \pi _{k}E=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}E_{n}.}$

4. Si X es un espacio base, entonces el k -ésimo grupo de homotopía estable de X es  ${\displaystyle \pi _{k}^{s}X=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}\Sigma ^{n}X}$. En otras palabras, es el k -ésimo grupo de homotopía del espectro de suspensión de X .

retroceso homotópico

Un retroceso homotópico es un caso especial de un límite homotópico que es un retroceso homotópicamente correcto.

cociente de homotopía

Si G es un grupo de Lie que actúa sobre una variedad X , entonces el espacio cociente${\displaystyle (EG\times X)/G}$se denomina cociente de homotopía ( o construcción de Borel) de X por G , donde EG es el fibrado universal de G.

secuencia espectral de homotopía

esfera de homotopía

Una esfera homotópica es una variedad que tiene el tipo homotópico de una esfera.

Hopf

1. Heinz Hopf .  

2. Invariante de Hopf .  

3. El teorema del índice de Hopf .  

4. Construcción de Hopf .  

Hurewicz

El teorema de Hurewicz establece una relación entre los grupos de homotopía y los grupos de homología.

espacio de bucle infinito

máquina espacial de bucle infinito

Máquina espacial de bucle infinito .

telescopio de mapeo infinito

intersección

emparejamiento de intersección .

homología de intersección , un sustituto de una homología ordinaria (singular) para un espacio singular.

cohomología de intersección

integración a lo largo de la fibra

Ver integración a lo largo de la fibra .

invariancia del dominio

invariancia del dominio .

isotopía

J-homomorfismo

Véase J-homomorfismo .

unirse

La unión de los espacios base X , Y es${\displaystyle X\star Y=\Sigma (X\wedge Y).}$

k -invariante

complejo de Kan

Ver complejo de Kan .

Kirby-Siebenmann

Clasificación de Kirby-Siebenmann .

invariante de Kervaire

El invariante de Kervaire .

Dualidad de Koszul

La dualidad de Koszul .

Kuiper

El teorema de Kuiper afirma que el grupo lineal general de un espacio de Hilbert de dimensión infinita es contraíble.

Fórmula de Künneth

Clase L

Clase L.

Anillo de lagarto

El anillo de Lazard L es el anillo conmutativo (enorme) junto con la ley de grupo formal ƒ que es universal entre todas las leyes de grupo formales en el sentido de que cualquier ley de grupo formal g sobre un anillo conmutativo R se obtiene a través de un homomorfismo de anillos L → R que mapea ƒ a g . Según el teorema de Quillen, también es el anillo de coeficientes del bordismo complejo MU. El Spec de L se llama el espacio de módulos de las leyes de grupo formales .

Lefschetz

1. Solomon Lefschetz  

2. El teorema del punto fijo de Lefschetz dice: dado un complejo simplicial finito K y su realización geométrica X , si una aplicación  ${\displaystyle f:X\to X}$no tiene un punto fijo, entonces el número de Lefschetz de f ; es decir,

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }(-1)^{q}\operatorname {tr} (f_{*}:\operatorname {H} _{q}(X)\to \operatorname {H} _{q}(X))}$

es cero. Por ejemplo, implica el teorema del punto fijo de Brouwer ya que el número de Lefschetz de${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$es, a medida que desaparecen las homologías superiores, uno.

3. El teorema del hiperplano de Lefschetz .  

espacio de la lente

El espacio de la lente es el espacio cociente${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n}||z|=1\}/\mu _{p}}$dónde${\displaystyle \mu _{p}}$es el grupo de raíces p -ésimas de la unidad que actúan sobre la esfera unitaria por${\displaystyle \zeta \cdot (z_{1},\dots ,z_{n})=(\zeta z_{1},\dots ,\zeta z_{n})}$.

Secuencia espectral de Leray

L ²

La L ² -cohomología de una variedad riemanniana o de Kähler es la cohomología de los complejos de formas diferenciales con coeficientes de cuadrado integrable (coeficientes para formas que no son cohomología).

coeficiente local

1. Un módulo sobre el anillo del grupo  ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}B]}$para algún espacio base B ; en otras palabras, un grupo abeliano junto con un homomorfismo${\displaystyle \pi _{1}B\to \operatorname {Aut} (A)}$.

2. El sistema de coeficientes locales sobre un espacio base B con un grupo abeliano A es un fibrado sobre B con fibra discreta A. Si B admite un recubrimiento universal  ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$, entonces este significado coincide con el de 1. en el sentido de que todo sistema de coeficientes locales sobre B puede darse como el fibrado asociado.${\displaystyle {\widetilde {B}}\times _{\pi _{1}B}A}$.

invariante local

Teorema del ciclo invariante local .

esfera local

La localización de una esfera en algún número primo

sistema local

sistema local .

localización

haz localmente constante

Un haz localmente constante en un espacio X es un haz tal que cada punto de X tiene un entorno abierto en el que el haz es constante .

espacio de bucle

El espacio en bucle${\displaystyle \Omega X}$de un espacio base X es el espacio de todos los bucles que comienzan y terminan en el punto base de X.

Teorema de Madsen-Weiss

cartografía

1.  

El cono de mapeo (o cofibra) de un mapa ƒ: X → Y es${\displaystyle C_{f}=Y\cup _{f}CX}$.

2. El cilindro de mapeo de una aplicación ƒ: X → Y es  ${\displaystyle M_{f}=Y\cup _{f}(X\times I)}$. Nota:${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$.

3. Las versiones reducidas de lo anterior se obtienen utilizando un cono reducido y un cilindro reducido.  

4. El espacio de caminos de mapeo P _p de un mapeo p : E → B es el retroceso de  ${\displaystyle B^{I}\to B}$a lo largo de p . Si p es una fibración, entonces el mapa natural E → P _p es una equivalencia fibra-homotopía ; por lo tanto, se puede reemplazar E por el espacio de caminos de mapeo sin cambiar el tipo de homotopía de la fibra. Un espacio de caminos de mapeo también se llama cocilindro de mapeo .

5. Como conjunto, el espacio de mapeo de un espacio X a un espacio Y es el conjunto de todas las aplicaciones continuas de X a Y. Se topologiza de tal manera que el espacio de mapeo es un espacio; es decir, un objeto en la categoría de espacios utilizada en topología algebraica; por ejemplo, la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta . Esta topología puede ser o no una topología compacta-abierta.  

secuencia de Mayer-Vietoris

micropaquete

micropaquete

categoría de modelo

Una presentación de una ∞-categoría . ^{[ 4 ]} Véase también categoría modelo .

Moore

1. Espacio de Moore  

2. Espacio de trayectorias de Moore .  

multiplicativo

Una teoría de cohomología generalizada E es multiplicativa si E ^* ( X ) es un anillo graduado . Por ejemplo, la teoría de cohomología ordinaria y la teoría K compleja son multiplicativas (de hecho, las teorías de cohomología definidas por anillos E _∞ son multiplicativas).

célula n

Otro término para un disco n .

n -conectado

Un espacio base X es n -conexo si${\displaystyle \pi _{q}X=0}$para todos los enteros q ≤ n . Por ejemplo, "1-conectado" es lo mismo que " simplemente conectado ".

n -equivalente

Par NDR

Un par de espacios${\displaystyle A\subset X}$Se dice que es un par NDR (=par de retracción de deformación de vecindario) si hay un mapa${\displaystyle u:X\to I}$y una homotopía${\displaystyle h_{t}:X\to X}$de tal manera que${\displaystyle A=u^{-1}(0)}$,${\displaystyle h_{0}=\operatorname {id} _{X}}$,${\displaystyle h_{t}|_{A}=\operatorname {id} _{A}}$y${\displaystyle h_{1}(\{x|u(x)<1\})\subset A}$. Si A es un subespacio cerrado de X , entonces el par${\displaystyle A\subset X}$es un par NDR si y solo si${\displaystyle A\hookrightarrow X}$es una cofibración .

nilpotente

1. espacio nilpotente ; por ejemplo, un espacio simplemente conexo es nilpotente.  

2. El teorema nilpotente .  

no abeliano

1. Cohomología no abeliana  

2. Topología algebraica no abeliana  

normalizado

Dado un grupo simplicial G , el complejo de cadena normalizado NG de G viene dado por${\displaystyle (NG)_{n}=\cap _{1}^{\infty }\operatorname {ker} d_{i}^{n}}$con el n -ésimo diferencial dado por${\displaystyle d_{0}^{n}}$; intuitivamente, se descartan las cadenas degeneradas. ^{[ 5 ]} También se le llama complejo de Moore .

cociclo de obstrucción

teoría de la obstrucción

La teoría de la obstrucción es el conjunto de construcciones y cálculos que indican cuándo una aplicación en una subvariedad (subcomplejo) puede o no extenderse a la variedad completa. Estas construcciones suelen incluir la torre de Postnikov , grupos de homotopía de eliminación , cociclos de obstrucción , etc.

de tipo finito

Un complejo CW es de tipo finito si solo hay un número finito de celdas en cada dimensión.

operada

La palabra compuesta de “operaciones” y “mónada”. Véase operada .

orbibundle

orbibundle .

categoría de órbita

orientación

1. El recubrimiento de orientación (o recubrimiento doble de orientación) de una variedad es un recubrimiento de dos hojas de modo que cada fibra sobre x corresponde a dos formas diferentes de orientar un vecindario de x .  

2. Una orientación de una variedad es una sección de una cubierta de orientación; es decir, una elección consistente de un punto en cada fibra.  

3. Un carácter de orientación (también llamado primera clase de Stiefel-Whitney ) es un homomorfismo de grupo.  ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\to \{\pm 1\}}$que corresponde a un recubrimiento de orientación de una variedad X (cf. #covering .)

4. Véase también orientación de un fibrado vectorial , así como haz de orientación .  

par

1. Un par  ${\displaystyle (X,A)}$de espacios es un espacio X junto con un subespacio${\displaystyle A\subset X}$.

2. Un mapa de pares  ${\displaystyle (X,A)\to (Y,B)}$es un mapa${\displaystyle X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle f(A)\subset B}$.

teoría de homotopía p -ádica

La teoría de homotopía p -ádica .

paralelizable

clase de ruta

Una clase de equivalencia de caminos (dos caminos son equivalentes si son homotópicos entre sí).

elevación de caminos

Una función de elevación de camino para un mapa p : E → B es una sección de${\displaystyle E^{I}\to P_{p}}$dónde${\displaystyle P_{p}}$es el espacio de caminos de mapeo de p . Por ejemplo, un recubrimiento es una fibración con una función de elevación de caminos única. Por consideración formal, un mapeo es una fibración si y solo si tiene una función de elevación de caminos.

espacio de camino

El espacio de caminos de un espacio base X es${\displaystyle PX=\operatorname {Map} (I,X)}$, el espacio de mapas con base, donde el punto base de I es 0. Dicho de otra manera, es la fibra (de teoría de conjuntos) de${\displaystyle X^{I}\to X,\,\chi \mapsto \chi (0)}$sobre el punto base de X. La proyección${\displaystyle PX\to X,\,\chi \mapsto \chi (1)}$se denomina fibración del espacio de caminos , cuya fibra sobre el punto base de X es el espacio de bucles.${\displaystyle \Omega X}$. Véase también mapeo del espacio de rutas .

perverso

Un haz perverso .

mapa fantasma

mapa fantasma

espacio algebraico por partes

espacio algebraico por partes , noción introducida por Kontsevich y Soibelman.

PL

1. PL es la abreviatura de lineal por partes.  

2. Una variedad PL es una variedad topológica con un atlas PL maximal donde un atlas PL es un atlas en el que los mapas de transición son PL.  

3. Un espacio PL es un espacio con una triangulación simplicial localmente finita.  

Poincaré

1. Henri Poincaré .  

2. El teorema de dualidad de Poincaré dice: dada una variedad M de dimensión n y un grupo abeliano A , existe un isomorfismo natural   

${\displaystyle \operatorname {H} _{c}^{*}(M;A)\simeq \operatorname {H} _{n-*}(M;A)}$.

3. Conjetura de Poincaré  

4. El lema de Poincaré establece que la cohomología de de Rham superior de una variedad lisa contraíble se anula.  

5. Esfera de homología de Poincaré .  

Construcción Pontrjagin-Thom

Sistema Postnikov

Un sistema de Postnikov es una secuencia de fibraciones, de tal manera que todas las variedades precedentes tienen grupos de homotopía nulos por debajo de una dimensión dada.

fibración principal

Generalmente sinónimo de fibración G.

descomposición prima

finito

teoría de la homotopía profinita ; estudia los espacios profinitos .

propiamente discontinuo

No es un término particularmente preciso. Pero podría significar, por ejemplo, que G es discreto y que cada punto del espacio G tiene un entorno V tal que para cada g en G que no sea el elemento identidad, gV interseca a V en un número finito de puntos.

pseudovariedad

pseudovariedad

obstáculo

Dada una aplicación p : E → B , el retroceso de p a lo largo de ƒ : X → B es el espacio${\displaystyle f^{*}E=\{(e,x)\in E\times X|p(e)=f(x)\}}$(en resumen, es el ecualizador de p y f ). Es un espacio sobre X mediante una proyección.

Secuencia de marionetas

La secuencia Puppe se refiere a cualquiera de las secuencias

${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \cdots ,}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega X\to \Omega Y\to F_{f}\to X{\overset {f}{\to }}Y}$

dónde${\displaystyle C_{f},F_{f}}$son cofibra homotópica y fibra homotópica de f .

empuje

Dado${\displaystyle A\subset B}$y un mapa${\displaystyle f:A\to X}$, el empuje de X y B a lo largo de f es

${\displaystyle X\cup _{f}B=X\sqcup B/(a\sim f(a))}$;

es decir, X y B están unidos a lo largo de A a través de f . El mapa f se suele llamar mapa de unión.

Un ejemplo importante es cuando B = D ⁿ , A = S ^{n -1} ; en ese caso, formar tal empuje se llama unir una n- celda (es decir, un n- disco) a X .

cuasi-fibración

Una cuasifibración es una aplicación cuyas fibras son homotópicamente equivalentes entre sí.

Quillen

1. Daniel Quillen  

2. El teorema de Quillen dice que  ${\displaystyle \pi _{*}MU}$es el anillo de Lazard .

racional

1. La teoría de la homotopía racional .  

2. La racionalización de un espacio X es, aproximadamente, la localización de X en cero. Más precisamente, X ₀ junto con j : X → X ₀ es una racionalización de X si el mapa  ${\displaystyle \pi _{*}X\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} }$inducido por j es un isomorfismo de espacios vectoriales y${\displaystyle \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} \simeq \pi _{*}X_{0}}$.

3. El tipo de homotopía racional de X es el tipo de homotopía débil de X ₀ .  

4. Una variedad de homología racional .  

regulador

1. Regulador de orificio .  

2. Regulador Beilinson .  

Reidemeister

torsión de Reidemeister .

reducido

La suspensión reducida de un espacio X basado es el producto aplastante${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$Está relacionado con el functor de bucle por${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y)}$dónde${\displaystyle \Omega Y=\operatorname {Map} (S^{1},Y)}$es el espacio del bucle.

resolución

Una resolución de un espacio X es un mapa${\displaystyle M\to X}$a partir de una variedad topológica o diferenciable que localmente es una equivalencia homotópica. Un espacio es resoluble si admite una resolución.

retraer

1. Un retracto de una aplicación f es una aplicación r tal que  ${\displaystyle r\circ f}$es la identidad (en otras palabras, f es una sección de r ).

2. Un subespacio  ${\displaystyle A\subset X}$Se denomina retracción si el mapa de inclusión${\displaystyle A\hookrightarrow X}$admite una retracción (ver #deformation retract ).

espectro de anillo

Un espectro de anillo es un espectro que satisface los axiomas de anillo, ya sea de forma absoluta o salvo homotopía. Por ejemplo, una teoría K compleja es un espectro de anillo.

Rokhlin

Invariante de Rokhlin .

Producto Samelson

Schoenflies

El problema de las moscas de la fruta

Serre

1. Jean-Pierre Serre .  

2. Clase Serre .  

3. Secuencia espectral de Serre .  

forma

Teoría de la forma .

simple

equivalencia de homotopía simple

Una aplicación ƒ: X → Y entre complejos simpliciales finitos (por ejemplo, variedades) es una equivalencia de homotopía simple si es homotópica a una composición de un número finito de expansiones elementales y colapsos elementales . Una equivalencia de homotopía es una equivalencia de homotopía simple si y solo si su torsión de Whitehead se anula.

aproximación simplicial

Véase el teorema de aproximación simplicial .

complejo simplicial

Véase complejo simplicial ; el ejemplo básico es una triangulación de una variedad.

homología simplicial

Una homología simplicial es la homología (canónica) de un complejo simplicial. Nótese que se aplica a complejos simpliciales y no a espacios; cf. #homología singular .

invariante de firma

singular

1. Dado un espacio X y un grupo abeliano π, el grupo de homología singular de X con coeficientes en π es   

${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(X;\pi )=\operatorname {H} _{*}(C_{*}(X)\otimes \pi )}$

dónde${\displaystyle C_{*}(X)}$es el complejo de cadena singular de X ; es decir, la pieza de grado n es el grupo abeliano libre generado por todos los mapas${\displaystyle \triangle ^{n}\to X}$del n -símplex estándar a X. Una homología singular es un caso especial de una homología simplicial ; de hecho, para cada espacio X , existe el complejo simplicial singular de X ^{[ 6 ]} cuya homología es la homología singular de X.

2. El funtor simplices singular es el funtor  ${\displaystyle \mathbf {Top} \to s\mathbf {Set} }$de la categoría de todos los espacios a la categoría de conjuntos simpliciales, que es el adjunto derecho del functor de realización geométrica .

3. El complejo simplicial singular de un espacio X es el complejo de cadena normalizado del símplex singular de X.  

producto inclinado

argumento del objeto pequeño

producto aplastado

El producto de aplastamiento de los espacios base X , Y es${\displaystyle X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y}$Se caracteriza por la relación adjunta.

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$.

Español-Whitehead

La dualidad Spanier-Whitehead .

espectro

Aproximadamente una secuencia de espacios junto con los mapas (llamados mapas de estructura) entre los términos consecutivos; véase espectro (topología) .

haz de esferas

Un haz de esferas es un haz de fibras cuyas fibras son esferas.

espectro esférico

El espectro de esferas es un espectro que consiste en una secuencia de esferas.${\displaystyle S^{0},S^{1},S^{2},S^{3},\dots }$junto con los mapas entre las esferas dados por suspensiones. En resumen, es el espectro de suspensión de${\displaystyle S^{0}}$.

Spivak

Fibración normal de Spivak

grupo homotópico estable

Ver grupo #homotopía .

Homología de Steenrod

Homología de Steenrod .

Operación Steenrod

Sullivan

1. Dennis Sullivan .  

2. La conjetura de Sullivan .  

3. Sullivan, Dennis (1977), "Cálculos infinitesimales en topología" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269– 331, doi : 10.1007/BF02684341 , S2CID 42019745   - Introduce la teoría de la homotopía racional (junto con el artículo de Quillen).

4. El álgebra de Sullivan en la teoría de la homotopía racional.  

súper

1. Un superespacio es un espacio localmente anillado cuyo haz de estructuras es un haz de superanillos .  

2. supercolector .  

espectro de suspensión

El espectro de suspensión de un espacio base X es el espectro dado por${\displaystyle X_{n}=\Sigma ^{n}X}$.

estratificado

1. Un espacio estratificado es un espacio topológico con una estratificación.  

2. Una teoría de Morse estratificada es una teoría de Morse realizada en un espacio estratificado.  

espectro simétrico

Ver espectro simétrico .

topología simpléctica

topología simpléctica .

Tate

Esfera Tate

telescopio

Thom

1. René Thom .  

2. Si E es un fibrado vectorial en un espacio paracompacto X , entonces el espacio de Thom  ${\displaystyle {\text{Th}}(E)}$de E se obtiene reemplazando primero cada fibra por su compactación y luego colapsando la base X.

3. El isomorfismo de Thom dice: para cada fibrado vectorial orientable E de rango n en una variedad X , una elección de una orientación (la clase de Thom de E ) induce un isomorfismo.   

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {H} }}^{*+n}({\text{Th}}(E);\mathbb {Z} )\simeq \operatorname {H} ^{*}(X;\mathbb {Z} )}$.

4. Primer y segundo lema de isotopía de Thom . ^{[ 7 ]}  

5. Un mapeo de Thom originalmente llamado mapeo "sans éclatement"  

homología quiral topológica

grupo fundamental topológico

transferir

transgresión

triangulación

triangulación .

coeficiente universal

El teorema del coeficiente universal .

hasta la homotopía

Una afirmación es válida en la categoría de homotopía, a diferencia de la categoría de espacios.

colector en V

Un término antiguo para referirse a un orbifold .

van Kampen

El teorema de van Kampen dice: si un espacio X es conexo por caminos y si x ₀ es un punto en X , entonces

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\varinjlim \pi _{1}(U,x_{0})}$

donde el colímite se extiende sobre alguna cubierta abierta de X que consiste en subconjuntos abiertos conectados por caminos que contienen x ₀ tales que la cubierta es cerrada bajo intersecciones finitas.

Verdier

Dualidad más verde .

Construcción en S de Waldhausen

Construcción en S de Waldhausen .

Obstáculo de finitud de Wall

Varsovia

El círculo de Varsovia ofrece un importante contraejemplo al teorema de Whitehead.

equivalencia débil

Una aplicación ƒ: X → Y de espacios base es una equivalencia débil si para cada q , la aplicación inducida${\displaystyle f_{*}:\pi _{q}X\to \pi _{q}Y}$es biyectivo.

cuña

Para los espacios base X , Y , el producto cuña${\displaystyle X\wedge Y}$El producto de X e Y es el coproducto de X e Y ; concretamente, se obtiene tomando su unión disjunta y luego identificando los puntos base respectivos.

Bien señalado

Un espacio base es bien apuntado (o no degeneradamente basado) si la inclusión del punto base es una cofibración.

Whitehead

1. JHC Whitehead .  

2. El teorema de Whitehead dice que para los complejos CW , la equivalencia homotópica es lo mismo que la equivalencia débil .  

3. Grupo Whitehead .  

4. Producto Whitehead .  

número de bobinado

1. número de bobinado .  

Witt

Espacio de Witt .

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