Teorema de De Rham

En matemáticas, más específicamente en geometría diferencial , el teorema de de Rham dice que el homomorfismo de anillos de la cohomología de de Rham a la cohomología singular dada por integración es un isomorfismo .

El lema de Poincaré implica que la cohomología de de Rham es la cohomología de haces con el haz constante.${\displaystyle \mathbb {R} }$Por lo tanto, por razones abstractas, la cohomología de De Rham es isomorfa como grupo a la cohomología singular. Pero el teorema de De Rham establece un isomorfismo más explícito entre ambas cohomologías, conectando así el análisis y la topología de forma más directa.

La parte clave del teorema es una construcción del homomorfismo de De Rham. ^{[ 1 ]} Sea M una variedad. Entonces existe una aplicación

${\displaystyle k:\Omega ^{p}(M)\to S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{p}(M)}$

del espacio de p -formas diferenciales al espacio de p -cocadenas singulares suaves dado por

${\displaystyle \omega \mapsto \left(\sigma \mapsto \int _{\sigma }\omega \right).}$

La fórmula de Stokes implica:${\displaystyle k\circ d=\partial \circ k}$; es decir,${\displaystyle k}$es un mapa en cadena y por lo tanto induce:

${\displaystyle [k]:\operatorname {H} _{\textrm {deRham}}^{*}(M)\to \operatorname {H} _{\infty -\mathrm {sing} }^{*}(M)}$

donde estas cohomologías son las cohomologías con coeficientes reales de${\displaystyle \Omega ^{*}(M)}$y${\displaystyle S_{{\mathcal {C}}^{\infty }}^{*}(M)}$, respectivamente. Resulta que,${\displaystyle [k]}$es un homomorfismo de anillos y se denomina homomorfismo de de Rham . No es difícil demostrar que el homomorfismo de de Rham es una transformación natural entre el functor de cohomología de de Rham y el functor de cohomología singular.

Finalmente, el teorema dice que el homomorfismo inducido${\displaystyle [k]}$es un isomorfismo (es decir, biyectivo). ^{[ 2 ]}

También existe una variante del teorema que dice que la cohomología de de Rham de M es isomorfa como anillo con su cohomología de Čech. ^{[ 3 ]} Esta versión de Čech se debe esencialmente a André Weil .

Al considerar cohomologías singulares con coeficientes en otro grupo abeliano, por ejemplo los enteros, entonces, por supuesto, no se debe esperar un isomorfismo similar. La botella de Klein, por ejemplo, tiene un grupo de homología.${\displaystyle H_{1}(K)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$y dado que la cohomología con coeficientes reales no da cuenta de ningún grupo finito (más generalmente, de torsión), tenemos${\displaystyle H^{1}(K;\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$Esto coincide efectivamente con el grupo de cohomología de De Rham correspondiente.

Como se indicó anteriormente, el homomorfismo de De Rham es un isomorfismo entre la cohomología de De Rham y la cohomología singular suave con coeficientes reales, es decir, la cohomología respecto de cadenas suaves. Sin embargo, un resultado técnico implica que los grupos de homología singular coinciden con los grupos de homología singular suave. Esto demuestra que el teorema de De Rham implica, en realidad, un isomorfismo entre la cohomología de De Rham y los grupos de cohomología singular (no suaves) (con coeficientes reales).

Una demostración sigue aproximadamente estas ideas: ^{[ 4 ]} Llamamos a una variedad "de Rham" si el teorema se cumple para ella. Llamamos a una cubierta abierta de una variedad una "cubierta de de Rham" si todos los elementos de la cubierta son de Rham, así como todas sus intersecciones finitas. Se muestra que los conjuntos convexos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$son de Rham, básicamente por la invariancia homotópica de ambas cohomologías en cuestión. A continuación, se muestra inductivamente que las variedades que tienen una cubierta de de Rham finita son de Rham, utilizando la secuencia de Mayer-Vietoris. Luego, el resultado se extiende a variedades que tienen una base que es una cubierta de de Rham. Este paso es más técnico. Finalmente, se muestra fácilmente que los subconjuntos abiertos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y, por consiguiente, toda variedad tiene una base que es un recubrimiento de De Rham. Así, invocando el paso anterior, se finaliza la demostración.

Aquí hay otro esbozo de demostración, basado en la teoría de haces: ^{[ 5 ]} Hay dos complejos importantes de haces en nuestra variedad${\displaystyle M}$(Determinar en qué categorías se ubican estos complejos es un problema sutil; seamos vagos al principio). El primero es el complejo de De Rham.${\displaystyle \Omega _{M}^{\bullet }}$, que viene dado por las gavillas de${\displaystyle C^{\infty }}$-formas diferenciales en${\displaystyle M}$El segundo es el complejo singular${\displaystyle C_{sing}^{\bullet }}$, que es dado por los haces de cocadenas singulares de${\displaystyle M}$y es la versión relativa sobre${\displaystyle M}$del complejo cochain de grupos abelianos . La integración sobre símplices nos da un morfismo de haces de complejos.${\displaystyle \int$ :\Omega _{M}^{\bullet }\to C_{sing}^{\bullet }} . Dado que ambos objetos admiten partición de unidades, es un hecho estándar que las segundas páginas de las secuencias espectrales de hipercohomología para ambos solo tienen una columna no nula cada una, por lo que las hipercohomologías de los dos complejos de haces calculan efectivamente las cohomologías de de Rham y singulares de${\displaystyle M}$Por lo tanto, para demostrar el teorema de De Rham, basta con demostrar que${\displaystyle \int }$es un isomorfismo. Para ello, observamos que existen morfismos naturales del haz constante.${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$a${\displaystyle \Omega _{M}^{\bullet }}$y${\displaystyle C_{sing}^{\bullet }}$y el triángulo obvio conmuta. Además, por la contractibilidad local de las cohomologías de de Rham y singulares, los morfismos naturales son de hecho isomorfismos. Por la conmutatividad del triángulo, hemos demostrado la isomorfía deseada de${\displaystyle \int }$y la demostración está completa, excepto que necesitamos volver al problema sutil del principio: ¿en qué categoría de haces de complejos tiene sentido el argumento anterior? Dado que hemos utilizado la contractibilidad local de cohomologías para concluir la isomorfía de los dos morfismos que salen de${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$, la categoría real de haces de complejos no puede funcionar, y necesitamos pasar a la categoría derivada . Sin embargo, aunque el resultado final es verdadero en la 1-categoría derivada triangulada , para que el argumento anterior funcione bien, la 1-categoría derivada no es suficiente. Por ejemplo, los isomorfismos en la 1-categoría derivada no se pueden comprobar localmente sobre${\displaystyle M}$, pero concluimos la isomorfía de los dos morfismos que salen de${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$comprobándolo localmente. En resumen, necesitamos una categoría que, por un lado, convierta los isomorfismos cohomológicos en isomorfismos reales y, por otro lado, satisfaga el descenso . El derivado${\displaystyle \infty }$-categoría ^{[ 6 ]} resulta ser la noción correcta.

También existe una versión del teorema que involucra homología singular en lugar de cohomología. Dice que el emparejamiento

${\displaystyle (\omega ,\sigma )\mapsto \int _{\sigma }\omega }$

induce un emparejamiento perfecto entre la cohomología de de Rham y la homología singular (suave); a saber,

${\displaystyle \operatorname {H} _{\mathrm {deRham} }^{*}(M)\to \operatorname {H} _{*}^{\mathrm {sing} }(M)^{*},\,[\omega ]\mapsto \left([\sigma ]\mapsto \int _{\sigma }\omega \right)}$

es un isomorfismo de espacios vectoriales. ^{[ 7 ]}

Este teorema tiene la siguiente consecuencia (familiar del cálculo); a saber, una forma diferencial cerrada es exacta si y solo si sus integrales sobre ciclos arbitrarios son todas cero. Para una 1-forma, significa que una 1-forma cerrada es exacta si y solo si sus integrales sobre ciclos arbitrarios son todas cero.${\displaystyle \omega }$es exacto (es decir, admite una función potencial) si y solo si${\displaystyle \int _{\gamma }\omega }$es independiente de un camino${\displaystyle \gamma }$Esto es precisamente una afirmación en cálculo.

También existe una versión actual (una forma diferencial con coeficientes distributivos) del teorema de De Rham, que afirma que la cohomología singular puede calcularse como la cohomología del complejo de corrientes. ^{[ 8 ]} Esta versión es más débil en el sentido de que el isomorfismo no es un homomorfismo de anillos (ya que las corrientes no pueden multiplicarse y, por lo tanto, el espacio de corrientes no es un anillo).

• Clausen, Dustin (2021), Cohomología algebraica de De Rham
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• Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  218. doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9981-8.
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