gavilla constante

En matemáticas , el haz constante en un espacio topológico${\displaystyle X}$asociado a un conjunto${\displaystyle A}$es un haz de conjuntos en${\displaystyle X}$cuyos tallos son todos iguales${\displaystyle A}$Se denota por${\displaystyle {\underline {A}}}$o${\displaystyle A_{X}}$. El prehaz constante con valor${\displaystyle A}$es el prehaz que asigna a cada subconjunto abierto de${\displaystyle X}$el valor${\displaystyle A}$y todos cuyos mapas de restricción son el mapa identidad${\displaystyle A\to A}$. El haz constante asociado a${\displaystyle A}$es la cesación de la precesa constante asociada a${\displaystyle A}$Este haz puede identificarse con el haz de constante local${\displaystyle A}$funciones con valor en${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

En ciertos casos, el conjunto${\displaystyle A}$puede ser reemplazado por un objeto${\displaystyle A}$en alguna categoría${\displaystyle {\textbf {C}}}$(por ejemplo cuando${\displaystyle {\textbf {C}}}$es la categoría de grupos abelianos o anillos conmutativos ).

Los haces constantes de grupos abelianos aparecen en particular como coeficientes en la cohomología de haces .

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico, y${\displaystyle A}$un conjunto. Las secciones del haz constante${\displaystyle {\underline {A}}}$sobre un conjunto abierto${\displaystyle U}$pueden interpretarse como funciones continuas${\displaystyle U\to A}$, dónde${\displaystyle A}$Se le da la topología discreta . Si${\displaystyle U}$está conectado , entonces estas funciones localmente constantes son constantes. Si${\displaystyle f:X\to \{{\text{pt}}\}}$es el mapa único al espacio de un punto y${\displaystyle A}$se considera como un haz en${\displaystyle \{{\text{pt}}\}}$, luego la imagen inversa${\displaystyle f^{-1}A}$es el haz constante${\displaystyle {\underline {A}}}$en${\displaystyle X}$. El espacio de haces de${\displaystyle {\underline {A}}}$es el mapa de proyección${\displaystyle A}$(dónde${\displaystyle X\times A\to X}$se le da la topología discreta).

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​el espacio topológico que consta de dos puntos${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$con la topología discreta .${\displaystyle X}$tiene cuatro conjuntos abiertos:${\displaystyle \varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}}$. Las cinco inclusiones no triviales de los conjuntos abiertos de${\displaystyle X}$se muestran en el gráfico.

Una gavilla previa en${\displaystyle X}$elige un conjunto para cada uno de los cuatro conjuntos abiertos de${\displaystyle X}$y un mapa de restricciones para cada una de las inclusiones (con mapa de identidad para${\displaystyle U\subset U}$). El prehaz constante con valor${\displaystyle {\textbf {Z}}}$, denotado${\displaystyle F}$, es el prehaz donde están los cuatro conjuntos${\displaystyle {\textbf {Z}}}$, los números enteros, y todos los mapas de restricción son la identidad.${\displaystyle F}$es un functor en el diagrama de inclusiones (un prehaz), porque es constante. Satisface el axioma de pegado, pero no es un haz porque no cumple el axioma de identidad local en el conjunto vacío . Esto se debe a que el conjunto vacío está cubierto por la familia vacía de conjuntos ,${\displaystyle \varnothing =\bigcup \nolimits _{U\in \{\}}U}$y, de manera vacía, cualesquiera dos secciones en${\displaystyle F(\varnothing )}$son iguales cuando se restringen a cualquier conjunto de la familia vacía.${\displaystyle \{\}}$. Por lo tanto, el axioma de identidad local implicaría que cualesquiera dos secciones en${\displaystyle F(\varnothing )}$son iguales, lo cual es falso.

Para modificar esto en un prehaz${\displaystyle G}$que satisface el axioma de identidad local, sea${\displaystyle G(\varnothing )=0}$, un conjunto de un elemento, y dar${\displaystyle G}$el valor${\displaystyle {\textbf {Z}}}$en todos los conjuntos no vacíos. Para cada inclusión de conjuntos abiertos, sea la restricción la aplicación única a 0 si el conjunto más pequeño está vacío, o la aplicación identidad en caso contrario. Nótese que${\displaystyle G(\varnothing )=0}$está condicionado por el axioma de identidad local.

Ahora${\displaystyle G}$es un prehaz separado (satisface la identidad local), pero a diferencia de${\displaystyle F}$No cumple con el axioma de pegado. De hecho,${\displaystyle \{p,q\}}$está desconectado , cubierto por conjuntos abiertos que no se intersecan.${\displaystyle \{p\}}$y${\displaystyle \{q\}}$. Elija secciones distintas${\displaystyle m\neq n}$en${\displaystyle \mathbf {Z} }$encima${\displaystyle \{p\}}$y${\displaystyle \{q\}}$respectivamente. Porque${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$restringir al mismo elemento 0 sobre${\displaystyle \varnothing }$, el axioma de pegado garantizaría la existencia de una sección única${\displaystyle s}$en${\displaystyle G(\{p,q\})}$que se restringe a${\displaystyle m}$en${\displaystyle \{p\}}$y${\displaystyle n}$en${\displaystyle \{q\}}$; pero los mapas de restricción son la identidad, dando${\displaystyle m=s=n}$, lo cual es falso. Intuitivamente,${\displaystyle G(\{p,q\})}$es demasiado pequeño para contener información sobre ambos componentes conectados.${\displaystyle \{p\}}$y${\displaystyle \{q\}}$.

Modificando aún más para satisfacer el axioma de pegado, sea:

${\displaystyle H(\{p,q\})=\mathrm {Diversión} (\{p,q\},\mathbf {Z} )\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$,

el${\displaystyle \mathbf {Z} }$funciones con valor en${\displaystyle \{p,q\}}$y definir los mapas de restricción de${\displaystyle H}$ser restricción natural de funciones a${\displaystyle \{p\}}$y${\displaystyle \{q\}}$, con el mapa cero restringiendo a${\displaystyle \varnothing }$. Entonces${\displaystyle H}$es una gavilla, llamada gavilla constante en${\displaystyle X}$con valor${\displaystyle {\textbf {Z}}}$. Dado que todos los mapas de restricción son homomorfismos de anillos,${\displaystyle H}$es un haz de anillos conmutativos.

• haz constante local

• Sección II.1 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Sección 2.4.6 de Tennison, BR (1975), Teoría de los haces , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20784-3