functor de imagen inversa

En matemáticas, específicamente en topología algebraica y geometría algebraica , un functor de imagen inversa es una construcción contravariante de haces ; aquí “contravariante” en el sentido dado un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$El functor de imagen inversa es un functor de la categoría de haces en Y a la categoría de haces en X. El functor de imagen directa es la operación primaria sobre haces, con la definición más simple. La imagen inversa presenta algunas características relativamente sutiles.

Supongamos que se nos da un haz${\displaystyle {\mathcal {G}}}$en${\displaystyle Y}$y que queremos transportar${\displaystyle {\mathcal {G}}}$a${\displaystyle X}$utilizando un mapa continuo${\displaystyle f\colon X\to Y}$.

Llamaremos al resultado la imagen inversa o haz de retroceso .${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$. Si intentamos imitar la imagen directa configurando

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}$

para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$, inmediatamente nos encontramos con un problema:${\displaystyle f(U)}$no es necesariamente abierto. Lo mejor que podríamos hacer es aproximarlo mediante conjuntos abiertos, e incluso así obtendremos un prehaz y no un haz. En consecuencia, definimos${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ser la gavilla asociada a la pregavilla :

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}$

(Aquí${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle X}$y el colímite se extiende sobre todos los subconjuntos abiertos${\displaystyle V}$de${\displaystyle Y}$que contiene${\displaystyle f(U)}$.)

Por ejemplo, si${\displaystyle f}$es simplemente la inclusión de un punto${\displaystyle y}$de${\displaystyle Y}$, entonces${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$es solo el tallo de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en este punto.

Los mapas de restricción, así como la funtorialidad de la imagen inversa, se derivan de la propiedad universal de los límites directos .

Al tratar con morfismos${\displaystyle f\colon X\to Y}$de espacios localmente anillados , por ejemplo esquemas en geometría algebraica , a menudo se trabaja con haces de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-módulos , donde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$es el haz de estructura de${\displaystyle Y}$. Entonces el functor${\displaystyle f^{-1}}$es inapropiado, porque en general ni siquiera da gavillas de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos. Para remediar esto, se define en esta situación para un haz de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-módulos${\displaystyle {\mathcal {G}}}$su imagen inversa por

${\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$.

• Mientras${\displaystyle f^{-1}}$es más complicado de definir que${\displaystyle f_{\ast }}$, los tallos son más fáciles de calcular: dado un punto${\displaystyle x\in X}$, uno tiene${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$.
• ${\displaystyle f^{-1}}$es un functor exacto , como puede verse en el cálculo anterior de los tallos.
• ${\displaystyle f^{*}}$es (en general) solo correcto exacto. Si${\displaystyle f^{*}}$es exacto, f se llama plano .
• ${\displaystyle f^{-1}}$es el adjunto izquierdo del functor de imagen directa${\displaystyle f_{\ast }}$Esto implica que existen morfismos de unidad y counidad naturales.${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$y${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$Estos morfismos generan una correspondencia de adjunción natural:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

Sin embargo, los morfismos${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$y${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$casi nunca son isomorfismos. Por ejemplo, si${\displaystyle i\colon Z\to Y}$denota la inclusión de un subconjunto cerrado , el tallo de${\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}$en un punto${\displaystyle y\in Y}$es canónicamente isomorfo a${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}$si${\displaystyle y}$está en${\displaystyle Z}$y${\displaystyle 0}$de lo contrario. Una adjunción similar se aplica al caso de haces de módulos, reemplazando${\displaystyle i^{-1}}$por${\displaystyle i^{*}}$.

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190 Véase la sección II.4.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157