functor de imagen directa

En matemáticas , el functor de imagen directa describe cómo los datos estructurados asignados a un espacio pueden transferirse sistemáticamente a otro mediante una aplicación continua entre ellos. Más precisamente, si tenemos un haz —un objeto que codifica datos como funciones o secciones sobre regiones abiertas— definido en un espacio X , y una aplicación continua de X a otro espacio Y , entonces el functor de imagen directa produce un haz correspondiente en Y. Esta construcción es una herramienta fundamental en la teoría de haces y se utiliza ampliamente en topología y geometría algebraica para relacionar datos locales entre espacios.

De manera más formal, dado un haz F definido en un espacio topológico X y una aplicación continua f : X → Y , podemos definir un nuevo haz f _∗ F en Y , llamado haz imagen directa o haz pushforward de F a lo largo de f , tal que las secciones globales de f _∗ F vienen dadas por las secciones globales de F . Esta asignación da lugar a un functor f _∗ de la categoría de haces en X a la categoría de haces en Y , que se conoce como functor imagen directa. Construcciones similares existen en muchos otros contextos algebraicos y geométricos, incluyendo el de haces cuasi-coherentes y haces étale en un esquema .

Sea f : X → Y una aplicación continua de espacios topológicos, y sea Sh(–) la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. El functor de imagen directa

${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$

envía un haz F en X a su prehaz imagen directa f _∗ F en Y , definido en subconjuntos abiertos U de Y por

${\displaystyle f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)).}$

Esto resulta ser un haz en Y , y se denomina haz de imagen directa o haz de empuje hacia adelante de F a lo largo de f .

Dado que un morfismo de haces φ: F → G en X da lugar a un morfismo de haces f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G ) en Y de manera obvia, tenemos que f _∗ es un functor.

Si Y es un punto y f : X → Y es la única aplicación continua, entonces Sh( Y ) es la categoría Ab de grupos abelianos, y el functor de imagen directa f _∗ : Sh( X ) → Ab es igual al functor de secciones globales .

Si se trata de haces de conjuntos en lugar de haces de grupos abelianos, se aplica la misma definición. De manera similar, si f : ( X , O _X ) → ( Y , O _Y ) es un morfismo de espacios anillados , obtenemos un functor de imagen directa f _∗ : Sh( X , O _X ) → Sh( Y , O _Y ) de la categoría de haces de módulos O _X a la categoría de haces de módulos O _Y. Además, si f es ahora un morfismo de esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados , entonces f _∗ conserva la propiedad de ser cuasi-coherente, por lo que obtenemos el functor de imagen directa entre categorías de haces cuasi-coherentes. ^{[ 1 ]}

Una definición similar se aplica a los haces sobre topoi , como los haces étale . Allí, en lugar de la preimagen anterior f ⁻¹ ( U ), se utiliza el producto fibrado de U y X sobre Y .

• La formación de categorías de haces y functores de imagen directa define en sí misma un functor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de categorías: dados los mapas continuos f : X → Y y g : Y → Z , tenemos ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗ .
• El functor de imagen directa es adjunto derecho del functor de imagen inversa , lo que significa que para cualesquiera haces continuos y respectivamente en X , Y , existe un isomorfismo natural:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

• Si f es la inclusión de un subespacio cerrado X ⊆ Y, entonces f _∗ es exacto . En realidad, en este caso f _∗ es una equivalencia entre la categoría de haces en X y la categoría de haces en Y soportada en X. Esto se deduce del hecho de que el tallo de es si y cero en caso contrario (aquí se utiliza la condición de cerrado de X en Y ).${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}}$${\displaystyle y\in X}$
• Si f es el morfismo de esquemas afines determinado por un homomorfismo de anillo , entonces el functor de imagen directa f _∗ en haces cuasi-coherentes se identifica con el functor de restricción de escalares a lo largo de φ.${\displaystyle \mathrm {Spec} \,S\to \mathrm {Spec} \,R}$${\displaystyle \phi :R\to S}$

El functor de la imagen directa es exacto por la izquierda , pero generalmente no es exacto por la derecha. Por lo tanto, se pueden considerar los functores derivados por la derecha de la imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan R ^q f _∗ .

Se puede demostrar que existe una expresión similar a la anterior para imágenes directas de orden superior: para un haz F en X , el haz R ^q f _∗ ( F ) es el haz asociado al prehaz

${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$,

donde H ^q denota la cohomología de haces .

En el contexto de la geometría algebraica y un morfismo de esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados, también se tiene el functor derivado correcto. ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle Rf_{*}:D_{qcoh}(X)\to D_{qcoh}(Y)}$

como un functor entre las categorías derivadas (no acotadas) de haces cuasi-coherentes. En esta situación, siempre admite un adjunto derecho . ^{[ 2 ]} Esto está estrechamente relacionado, pero no es generalmente equivalente a, el functor de imagen inversa excepcional , a menos que también sea propio . ${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle f^{\times }}$${\displaystyle f^{!}}$${\displaystyle f}$

• Teorema del cambio de base propia

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190, especialmente la sección II.4