Morfismo cuasi-compacto

En geometría algebraica , se dice que un morfismo entre esquemas es cuasi-compacto si Y puede ser cubierto por subesquemas afines abiertos tales que las preimágenes son compactas . ^[1] Si f es cuasi-compacto, entonces la preimagen de un subesquema abierto compacto (por ejemplo, subesquema afín abierto) bajo f es compacta. ${\displaystyle f:X\to Y}$ $Estilo de visualización V_{i}}$$Estilo de visualización f-1(Vi)$

No basta que Y admita un recubrimiento por subesquemas abiertos compactos cuyas preimágenes sean compactas. Para dar un ejemplo, ^[2] sea A un anillo que no satisface las condiciones de cadena ascendente sobre ideales radicales , y pongamos . Entonces X contiene un subconjunto abierto U que no es compacto. Sea Y el esquema obtenido al pegar dos X' a lo largo de U . X , Y son ambos compactos. Si es la inclusión de una de las copias de X , entonces la preimagen del otro X , abierto afín en Y , es U —no compacto—. Por lo tanto, f no es cuasi-compacto. ${\displaystyle X=\operatorname {Espec} A}$${\displaystyle f:X\to Y}$

Un morfismo de un esquema cuasi-compacto a un esquema afín es cuasi-compacto.

Sea un morfismo cuasicompacto entre esquemas. Entonces es cerrado si y solo si es estable bajo especialización. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización f(X)}$

La composición de los morfismos cuasi-compactos es cuasi-compacta. El cambio de base de un morfismo cuasi-compacto es cuasi-compacto.

Un esquema afín es cuasi compacto. De hecho, un esquema es cuasi compacto si y sólo si es una unión finita de subesquemas afines abiertos. El criterio de Serre proporciona una condición necesaria y suficiente para que un esquema cuasi compacto sea afín.

Un esquema cuasi-compacto tiene al menos un punto cerrado. ^[3]

• morfismo fpqc

• Robin Hartshorne , Geometría algebraica .
• Angelo Vistoli , "Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría de la descendencia". arXiv :math/0412512

• ¿Cuándo un esquema irreducible es cuasi compacto?