Radical de un ideal

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el radical de un ideal${\displaystyle I}$de un anillo conmutativo es otro ideal definido por la propiedad de que un elemento${\displaystyle x}$está en el radical si y solo si alguna potencia de${\displaystyle x}$está en${\displaystyle I}$Tomar el radical de un ideal se llama radicalización . Un ideal radical (o ideal semiprimo o ideal reducido ) es un ideal que es igual a su radical. El radical de un ideal primario es un ideal primo .

Este concepto se generaliza a anillos no conmutativos en el artículo sobre anillos semiprimos .

El radical (ocasionalmente también llamado nilradical ^{[ 1 ]} ) de un ideal${\displaystyle I}$en un anillo conmutativo${\displaystyle R}$, denotado por${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$o${\displaystyle {\sqrt {I}}}$, se define como

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

(tenga en cuenta que${\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}}$). Intuitivamente,${\displaystyle {\sqrt {I}}}$se obtiene tomando todas las raíces de los elementos de${\displaystyle I}$dentro del anillo${\displaystyle R}$. De forma equivalente,${\displaystyle {\sqrt {I}}}$es la preimagen del ideal de elementos nilpotentes (el nilradical del anillo) del anillo cociente${\displaystyle R/I}$(a través del mapa natural)${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$). Esto último demuestra que${\displaystyle {\sqrt {I}}}$es un ideal. ^{[ Nota 1 ]}

Si el radical de${\displaystyle I}$es generado finitamente , entonces alguna potencia de${\displaystyle {\sqrt {I}}}$está contenido en${\displaystyle I}$. ^{[ 2 ]} En particular, si${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$son ideales de un anillo noetheriano , entonces${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$tienen el mismo radical si y solo si${\displaystyle I}$contiene algo de poder de${\displaystyle J}$y${\displaystyle J}$contiene algo de poder de${\displaystyle I}$.

Si un ideal${\displaystyle I}$coincide con su propio radical, entonces${\displaystyle I}$Se denomina ideal radical o ideal semiprimo .

• Consideremos el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros .
  1. El radical del ideal${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$de múltiplos enteros de${\displaystyle 4}$es${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$(los pares ).
  2. El radical de${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$es${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$.
  3. El radical de${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$es${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$.
  4. En general, el radical de${\displaystyle m\mathbb {Z} }$es${\displaystyle r\mathbb {Z} }$, dónde${\displaystyle r}$es el producto de todos los factores primos distintos de${\displaystyle m}$, el factor libre de cuadrados más grande de${\displaystyle m}$(véase Radical de un entero ). De hecho, esto se generaliza a un ideal arbitrario (véase la sección Propiedades ).
• Consideremos lo ideal${\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]}$Es trivial demostrarlo${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$(utilizando la propiedad básica)${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$), pero ofrecemos algunos métodos alternativos: El radical${\displaystyle {\sqrt {I}}}$corresponde al nilradical${\displaystyle {\sqrt {0}}}$del anillo cociente${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$, que es la intersección de todos los ideales primos del anillo cociente. Esto está contenido en el radical de Jacobson , que es la intersección de todos los ideales maximales , que son los núcleos de los homomorfismos a cuerpos . Cualquier homomorfismo de anillo${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$debe tener${\displaystyle y}$en el núcleo para tener un homomorfismo bien definido (si dijéramos, por ejemplo, que el núcleo debería ser${\displaystyle (x,y-1)}$la composición de${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$sería${\displaystyle \left(x,y^{4},y-1\right)}$, lo cual es lo mismo que intentar forzar${\displaystyle 1=0}$). Desde${\displaystyle \mathbb {C} }$es algebraicamente cerrado , todo homomorfismo${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$debe tenerse en cuenta${\displaystyle \mathbb {C} }$, por lo que solo tenemos que calcular la intersección de${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$para calcular el radical de${\displaystyle (0).}$Entonces descubrimos que${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.}$

Esta sección continuará con la convención de que${\displaystyle I}$es un ideal de un anillo conmutativo${\displaystyle R}$:

• Siempre es cierto que${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$, es decir, la radicalización es una operación idempotente . Además,${\displaystyle {\sqrt {I}}}$es el ideal radical más pequeño que contiene${\displaystyle I}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$es la intersección de todos los ideales primordiales de${\displaystyle R}$que contienen${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$$y así, el radical de un ideal primo es igual a sí mismo. ^{[ Nota 2 ] [ Nota 3 ]}
• Especializando el último punto, el nilradical (el conjunto de todos los elementos nilpotentes) es igual a la intersección de todos los ideales primos de${\displaystyle R}$^{[ Nota 4 ]}$${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.}$$Esta propiedad se considera equivalente a la anterior según el mapa natural.${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$, lo que produce una biyección${\displaystyle u}$:$${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftarrows }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$definido por${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$^{[ 3 ] [ Nota 5 ]}
• Un ideal${\displaystyle I}$en un anillo${\displaystyle R}$es radical si y solo si el anillo cociente${\displaystyle R/I}$se reduce .
• El radical de un ideal homogéneo es homogéneo.
• El radical de una intersección de ideales es igual a la intersección de sus radicales:${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$.
• El radical de un ideal primario es primo. Si el radical de un ideal es primo.${\displaystyle I}$es máximo, entonces${\displaystyle I}$es primario. ^{[ 4 ]}
• Si${\displaystyle I}$es un ideal,${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$Dado que los ideales primordiales son ideales radicales,${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {p}}}={\mathfrak {p}}}$para cualquier ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• Dejar${\displaystyle I,J}$ser ideales de un anillo${\displaystyle R}$. Si${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$son comaximales , entonces${\displaystyle I,J}$son comaximales. ^{[ Nota 6 ]}
• Dejar${\displaystyle M}$ser un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano${\displaystyle R}$. Entonces ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$dónde${\displaystyle \operatorname {supp} M}$es el apoyo de${\displaystyle M}$y${\displaystyle \operatorname {ass} M}$es el conjunto de primos asociados de${\displaystyle M}$.

Una de las principales motivaciones para estudiar los radicales de los ideales es comprender los conjuntos algebraicos y las variedades en la geometría algebraica.

Para un subconjunto de polinomios${\displaystyle S\subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$y subconjunto de puntos${\displaystyle X\subset \mathbb {k} ^{n},}$dónde${\displaystyle \mathbb {k} }$es un cuerpo algebraicamente cerrado , sea

${\displaystyle \operatorname {V} (S):=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in S\right\}}$

y

${\displaystyle \operatorname {I} (X):=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in X\}}$

ser el lugar geométrico cero (o 'variedad') de S y el ideal evanescente (o ' ideal') de X , respectivamente.

Si${\displaystyle S\subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$es cualquier subconjunto de polinomios,${\displaystyle (S)}$es el ideal generado por los elementos de S y${\displaystyle {\sqrt {(S)}}}$es el radical de ese ideal, entonces estas colecciones de polinomios tienen los mismos lugares de cero:

${\displaystyle \operatorname {V} (S)=\operatorname {V} ((S))=\operatorname {V} ({\sqrt {(S)}}).}$

Además, el ideal evanescente de cualquier${\displaystyle X\subset \mathbb {k} ^{n}}$Siempre es un ideal radical:

${\displaystyle \operatorname {I} (X)={\sqrt {\operatorname {I} (X)}}.}$

Las operaciones V e I son, en cierto sentido que se precisa más adelante, inversas entre sí:

Para cualquier subconjunto de puntos${\displaystyle X\subset \mathbb {k} ^{n}}$,

${\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {I} (X))={\overline {X}},}$

dónde${\displaystyle {\overline {X}}}$es el cierre de X en la topología de Zariski . En particular,${\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {I} (X))=X}$si X es un conjunto algebraico, ya que los conjuntos algebraicos son cerrados en la topología de Zariski.

El teorema de los ceros de Hilbert es un resultado fundamental en álgebra conmutativa y geometría algebraica que aborda la composición de V e I en orden inverso. Una versión de este célebre teorema establece que para cualquier subconjunto de polinomios${\displaystyle S\subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}],}$tenemos

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (S))={\sqrt {(S)}}.}$

Geométricamente, esto significa que si un conjunto algebraico afín W es recortado por las ecuaciones polinómicas${\displaystyle f_{1}(x)=0,\dots ,f_{m}(x)=0,}$entonces los polinomios f que se anulan en W son precisamente aquellos tales que una de las potencias de f se encuentra en el ideal generado por los polinomios.${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m};}$es decir,${\displaystyle f^{r}\in (f_{1},\ldots ,f_{m})}$para algún número natural r . Como corolario,${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))=J}$si J es un ideal radical.

Es evidente que tanto V como I invierten la dirección de las inclusiones:${\displaystyle S_{1}\subset S_{2}\implies \operatorname {V} (S_{1})\supset \operatorname {V} (S_{2})}$y${\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\implies \operatorname {I} (X_{1})\supset \operatorname {I} (X_{2}).}$ Como consecuencia,${\displaystyle X\subset \operatorname {V} (S)\iff S\subset \operatorname {I} (X),}$y así V e I forman una conexión de Galois antitona entre subconjuntos de polinomios en${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$y subconjuntos de puntos en${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}}$que da lugar a una correspondencia biyectiva cuando se restringe a ideales radicales y conjuntos algebraicos:

${\displaystyle \{\mathrm {radical\ ideals} \subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]\}\ {\underset {\operatorname {I} }{\stackrel {\operatorname {V} }{\rightleftarrows }}}\ \{\mathrm {algebraic\ sets} \subset \mathbb {k} ^{n}\}.}$

• Jacobson radical
• Nilradical de un anillo
• Real radical

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1994). Introducción al álgebra conmutativa . Reading, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-40751-5.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  150. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960 . 
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001