Ideal primario

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , un ideal propio ${\mathfrak {q}}$ de un anillo conmutativo $A$ Se dice que es primario si siempre $xy$ es un elemento de ${\mathfrak {q}}$ entonces $x$ o $y^{n}$ es también un elemento de ${\mathfrak {q}}$ , para algunos $n>0$ . Por ejemplo, en el anillo de los enteros $\mathbb {Z}$ , $(p^{n})$ es un ideal primario si $p$ es un número primo .

La noción de ideales primarios es importante en la teoría de anillos conmutativos porque todo ideal de un anillo noetheriano tiene una descomposición primaria , es decir, puede escribirse como la intersección de un número finito de ideales primarios. Este resultado se conoce como el teorema de Lasker-Noether . En consecuencia, ^{[ 1 ]} un ideal irreducible de un anillo noetheriano es primario.

Existen diversos métodos para generalizar los ideales primarios a anillos no conmutativos, ^{[ 2 ]} pero el tema se estudia con mayor frecuencia para anillos conmutativos. Por lo tanto, en este artículo se asume que los anillos son conmutativos con identidad.

Ejemplos y propiedades

La definición puede reformularse de una manera aparentemente más simétrica: un ideal propio. ${\mathfrak {q}}$ es primordial si, siempre $xy\in {\mathfrak {q}}$ , $x$ o $y$ son elementos de ${\mathfrak {q}}$ o ambas $x$ y $y$ quedarse en cama ${\sqrt {\mathfrak {q}}}$ , el radical de ${\mathfrak {q}}$ ; es decir, $xy\in {\mathfrak {q}}\implies (x\in {\mathfrak {q}})\lor (y\in {\mathfrak {q}})\lor ((x\in {\sqrt {\mathfrak {q}}})\land (y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}})).$
Un ideal adecuado ${\mathfrak {q}}$ de $R$ es primaria si y solo si cada divisor cero en $R/{\mathfrak {q}}$ es nilpotente. (Compárese esto con el caso de los ideales primos, donde ${\mathfrak {p}}$ es primo si y solo si todo divisor cero en $R/{\mathfrak {p}}$ (en realidad es cero.)
Todo ideal primo es primario, y además un ideal es primo si y solo si es primario y semiprimo (también llamado ideal radical en el caso conmutativo).
Todo ideal primario es primordial . ^{[ 3 ]}
Si ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ es un ideal primario, entonces el radical de ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ es necesariamente un ideal primordial ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ y este ideal se denomina ideal primo asociado de ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ . En esta situación, ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ Se dice que ${\mathfrak {p}}$ -primario .
- Por otro lado, un ideal cuyo radical es primo no es necesariamente primario: por ejemplo, si $R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ $R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ , ${\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})$ ${\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})$ , y ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}$ ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}$ , entonces ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ es primordial y ${\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}$ ${\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}$ , pero tenemos ${\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}$ ${\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}$ , ${\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}$ ${\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}$ , y ${\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}$ ${\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}$ a pesar de $n>0$ $n>0$ , entonces ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ no es primaria. La descomposición primaria de ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ es $({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$ $({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$ ; aquí $({\overline {x}})$ $({\overline {x}})$ es ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ -primario y $({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$ $({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$ es $({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})$ $({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})$ -primario.
  - Un ideal cuyo radical es máximo , sin embargo, es primario.
  - Cada ideal ${\mathfrak {q}}$ con radical ${\mathfrak {p}}$ está contenido en el más pequeño ${\mathfrak {p}}$ -ideal primario: todos los elementos $a$ de tal manera que $ax\in {\mathfrak {q}}$ para algunos $x\notin {\mathfrak {p}}$ . El más pequeño ${\mathfrak {p}}$ -ideal primario que contiene ${\mathfrak {p}}^{n}$ se llama el $n$ el poder simbólico de ${\mathfrak {p}}$ .
Si ${\mathfrak {p}}$ es un ideal primo maximal, entonces cualquier ideal cuyo radical sea ${\mathfrak {p}}$ es ${\mathfrak {p}}$ -primario (y viceversa). En particular, un poder de ${\mathfrak {p}}$ o un ideal que contiene un poder de ${\mathfrak {p}}$ es ${\mathfrak {p}}$ -primario. Pero un ${\mathfrak {p}}$ -el ideal primario no tiene por qué ser un poder de ${\mathfrak {p}}$ y no es necesario que contenga un poder de ${\mathfrak {p}}$ ; por ejemplo, el ideal $(x,y^{2})$ es ${\mathfrak {p}}$ -principal para lo ideal ${\mathfrak {p}}=(x,y)$ en el ring $k[x,y]$ , pero no es un poder de ${\mathfrak {p}}$ ; sin embargo, contiene ${\mathfrak {p}}^{2}$ .
Si $A$ es un anillo noetheriano y ${\mathfrak {p}}$ un ideal primordial, entonces el núcleo de $A\to A_{\mathfrak {p}}$ , el mapa de $A$ a la localización de $A$ en ${\mathfrak {p}}$ , es la intersección de todos ${\mathfrak {p}}$ -ideales primarios. ^{[ 4 ]}
Si ${\mathfrak {p}}$ es máximo, un producto finito no vacío de ${\mathfrak {p}}$ -los ideales primarios son ${\mathfrak {p}}$ -primario pero un producto infinito de ${\mathfrak {p}}$ -los ideales primarios pueden no ser ${\mathfrak {p}}$ -primario; puesto que, por ejemplo, en un anillo local noetheriano con ideal máximo ${\mathfrak {m}}$ , $\textstyle \bigcap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ ( Teorema de intersección de Krull ) donde cada ${\mathfrak {m}}^{n}$ es ${\mathfrak {m}}$ -primario, por ejemplo, el producto infinito del ideal maximal (y por lo tanto primo y por lo tanto primario) $m=\langle x,y\rangle$ del anillo local $K[x,y]/\langle x^{2},xy\rangle$ produce el ideal cero, que en este caso no es primario (porque el divisor cero $y$ no es nilpotente). De hecho, en un anillo noetheriano, un producto no vacío de ${\mathfrak {p}}$ -ideales primarios $Q_{i}$ es ${\mathfrak {p}}$ -primario si y solo si existe algún entero $n>0$ de tal manera que ${\mathfrak {p}}^{n}\subset \textstyle \bigcap _{i}Q_{i}$ . ^{[ 5 ]}

Descomposición de los ideales en ideales primarios

La descomposición primaria de ideales por el teorema de Lasker-Noether puede verse como una generalización del teorema fundamental de la aritmética , que se aplica a los enteros. $\mathbb {Z}$ y otros dominios de factorización única , a anillos noetherianos generales. Si bien la factorización única de elementos de un anillo en el producto de elementos irreducibles (salvo unidades y reordenamiento) falla en el caso general, el teorema de Lasker-Noether establece que los ideales de un anillo noetheriano aún tienen un tipo de "factorización única": cualquier ideal en un anillo noetheriano puede escribirse como una intersección de ideales primarios del anillo en una descomposición primaria , y si bien estos ideales primarios componentes no son necesariamente únicos, los radicales de estos componentes, los primos asociados del ideal, son únicos salvo reordenamiento:

Teorema (Lasker–Noether) — Sea $A$ Sea un anillo noetheriano conmutativo y sea ${\mathfrak {a}}$ ser un ideal de $A$ . Entonces ${\mathfrak {a}}$ puede escribirse como la intersección de un número finito de ideales primarios; es decir:

{\mathfrak {a}}=\bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {q}}_{i}

con cada ${\mathfrak {q}}_{i}$ primaria. La expresión de ${\mathfrak {a}}$ De esta manera se dice que es una descomposición primaria de ${\mathfrak {a}}.$ Además, si (1) el ${\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}$ son todos distintos y (2) ${\mathfrak {q}}_{i}\nsupseteq \bigcap _{j\neq i}{\mathfrak {q}}_{j}$ para cada $i$ , entonces se dice que la descomposición primaria es irredundante . Cualquier descomposición primaria puede reducirse a una irredundante, y, si la mencionada descomposición primaria de ${\mathfrak {a}}$ es irredundante y

{\mathfrak {a}}=\bigcap _{i=1}^{n'}{\mathfrak {q}}'_{i}

es otra descomposición primaria irredundante de ${\mathfrak {a}}$ , entonces $n=n'$ y ${\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}={\sqrt {{\mathfrak {q}}'_{i}}}$ para cada $i,$ después de posiblemente reindexar el ${\mathfrak {q}}'_{i}.$

Notas a pie de página

↑ Para ser precisos, normalmente se utiliza este hecho para demostrar el teorema.
↑ Véanse las referencias a Chatters–Hajarnavis, Goldman, Gorton–Heatherly y Lesieur–Croisot.
↑ Para la demostración de la segunda parte, véase el artículo de Fuchs.
^ Atiyah-Macdonald, Corolario 10.21
↑ Bourbaki , cap. IV, § 2, Ejercicio 3.

Referencias

Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, pág. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
Bourbaki , Algèbre conmutativo
Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1971), "Anillos no conmutativos con descomposición primaria", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda Serie, 22 : 73–83 , doi : 10.1093/qmath/22.1.73 , ISSN 0033-5606 , MR 0286822
Goldman, Oscar (1969), "Anillos y módulos de cocientes", Journal of Algebra , 13 : 10–47 , doi : 10.1016/0021-8693(69)90004-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0245608
Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), "Anillos primarios generalizados e ideales", Mathematica Pannonica , 17 (1): 17–28 , ISSN 0865-2090 , MR 2215638
Sobre los ideales primordiales , Ladislas Fuchs
Lesieur, L.; Croisot, R. (1963), Algèbre noethérienne no conmutativa (en francés), Mémor. Ciencia. Matemáticas, Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur-Imprimeur-Libraire, París, p. 119, SEÑOR 0155861

Enlaces externos

Ideal primario en la Enciclopedia de Matemáticas

[1] Para ser precisos, normalmente se utiliza este hecho para demostrar el teorema.

[2] Véanse las referencias a Chatters–Hajarnavis, Goldman, Gorton–Heatherly y Lesieur–Croisot.

[3] Para la demostración de la segunda parte, véase el artículo de Fuchs.

[4] Atiyah-Macdonald, Corolario 10.21

[5] Bourbaki , cap. IV, § 2, Ejercicio 3.

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