Anillo local

• El anillo de polinomios${\displaystyle K[x]}$sobre un campo${\displaystyle K}$no es local, ya que${\displaystyle x}$y${\displaystyle 1-x}$no son unidades, pero su suma es una unidad.
• El anillo de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$no es local ya que tiene un ideal máximo${\displaystyle (p)}$por cada primo${\displaystyle p}$.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$/( pq )${\displaystyle \mathbb {Z} }$donde p y q son números primos distintos. Tanto ( p ) como ( q ) son ideales maximales aquí.

Para justificar el nombre "local" para estos anillos, consideramos funciones continuas de valor real definidas en algún intervalo abierto alrededor de${\displaystyle 0}$de la recta real . Solo nos interesa el comportamiento de estas funciones cerca de${\displaystyle 0}$(su "comportamiento local") y, por lo tanto, identificaremos dos funciones si coinciden en algún intervalo abierto (posiblemente muy pequeño) alrededor de${\displaystyle 0}$Esta identificación define una relación de equivalencia , y las clases de equivalencia son lo que se denomina los " gérmenes de funciones continuas de valor real en${\displaystyle 0}$"Estos gérmenes se pueden sumar y multiplicar y formar un anillo conmutativo."

Para ver que este anillo de gérmenes es local, necesitamos caracterizar sus elementos invertibles. Un germen${\displaystyle f}$es invertible si y solo si${\displaystyle f(0)\neq 0}$. La razón: si${\displaystyle f(0)\neq 0}$, entonces por continuidad hay un intervalo abierto alrededor de${\displaystyle 0}$dónde${\displaystyle f}$es distinto de cero, y podemos formar la función${\displaystyle g(x)={\frac {1}{f(x)}}}$en este intervalo. La función${\displaystyle g}$da origen a un germen, y el producto de${\displaystyle fg}$es igual a${\displaystyle 1}$. (Por el contrario, si${\displaystyle f}$es invertible, entonces hay algo${\displaystyle g}$de tal manera que${\displaystyle f(0)g(0)=1}$, por eso${\displaystyle f(0)\neq 0}$.)

Con esta caracterización, queda claro que la suma de cualesquiera dos gérmenes no invertibles es también no invertible, y tenemos un anillo local conmutativo. El ideal maximal de este anillo consiste precisamente en esos gérmenes.${\displaystyle f}$con${\displaystyle f(0)=0}$.

Los mismos argumentos son válidos para el anillo de gérmenes de funciones continuas de valor real en cualquier espacio topológico en un punto dado, o para el anillo de gérmenes de funciones diferenciables en cualquier variedad diferenciable en un punto dado, o para el anillo de gérmenes de funciones racionales en cualquier variedad algebraica en un punto dado. Por lo tanto, todos estos anillos son locales. Estos ejemplos ayudan a explicar por qué los esquemas , las generalizaciones de las variedades, se definen como espacios anillados locales especiales .

Los anillos locales desempeñan un papel fundamental en la teoría de la valoración. Por definición, un anillo de valoración de un cuerpo K es un subanillo R tal que para cada elemento no nulo x de K , al menos uno de x y x ^{− 1} pertenece a R. Cualquier subanillo de este tipo será un anillo local. Por ejemplo, el anillo de números racionales con denominador impar (mencionado anteriormente) es un anillo de valoración en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Dado un cuerpo K , que puede o no ser un cuerpo de funciones , podemos buscar anillos locales en él. Si K fuera efectivamente el cuerpo de funciones de una variedad algebraica V , entonces para cada punto P de V podríamos intentar definir un anillo de valuación R de funciones "definidas en" P. En los casos en que V tiene dimensión 2 o más, hay una dificultad que se ve de esta manera: si F y G son funciones racionales en V con

F ( P ) = G ( P ) = 0,

la función

F / G

es una forma indeterminada en P. Consideremos un ejemplo sencillo, como por ejemplo:

Y / X ,

se acercaron a lo largo de una línea

Y = tX ,

Se observa que el valor en P es un concepto sin una definición sencilla. Se sustituye por el uso de valoraciones.

Los anillos locales no conmutativos surgen de forma natural como anillos de endomorfismos en el estudio de las descomposiciones de suma directa de módulos sobre otros anillos. Específicamente, si el anillo de endomorfismos del módulo M es local, entonces M es indescomponible ; recíprocamente, si el módulo M tiene longitud finita y es indescomponible, entonces su anillo de endomorfismos es local.

Si k es un cuerpo de característica p > 0 y G es un p -grupo finito , entonces el álgebra de grupo kG es local.

También escribimos ( R , m ) para un anillo local conmutativo R con ideal maximal m . Todo anillo de este tipo se convierte en un anillo topológico de forma natural si se toman las potencias de m como base de vecindad de 0. Esta es la topología m -ádica en R . Si ( R , m ) es un anillo local noetheriano conmutativo , entonces

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}}$

( Teorema de intersección de Krull ), y se deduce que R con la topología m -ádica es un espacio de Hausdorff . El teorema es consecuencia del lema de Artin-Rees junto con el lema de Nakayama , y, como tal, la suposición "noetheriana" es crucial. En efecto, sea R el anillo de gérmenes de funciones infinitamente diferenciables en 0 en la recta real y m el ideal máximo.${\displaystyle (x)}$. Entonces una función distinta de cero${\displaystyle e^{-{1 \over x^{2}}}}$pertenece a${\displaystyle m^{n}}$para cualquier n , ya que esa función dividida por${\displaystyle x^{n}}$sigue funcionando sin problemas.

Como en cualquier anillo topológico, uno puede preguntarse si ( R , m ) es completo (como un espacio uniforme ); si no lo es, se considera su completitud , que de nuevo es un anillo local. Los anillos locales noetherianos completos se clasifican según el teorema de estructura de Cohen .

En geometría algebraica , especialmente cuando R es el anillo local de un esquema en algún punto P , R / m se llama el campo residual del anillo local o campo residual del punto P.

Si ( R , m ) y ( S , n ) son anillos locales, entonces un homomorfismo de anillos local de R a S es un homomorfismo de anillos f  : R → S con la propiedad f ( m ) ⊆ n . ^{[ 4 ]} Estos son precisamente los homomorfismos de anillos que son continuos con respecto a las topologías dadas en R y S . Por ejemplo, considérese el morfismo de anillos${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})}$envío${\displaystyle x\mapsto x}$. La preimagen de${\displaystyle (x,y)}$es${\displaystyle (x)}$Otro ejemplo de un morfismo de anillo local viene dado por${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$.

El radical de Jacobson m de un anillo local R (que es igual al único ideal izquierdo maximal y también al único ideal derecho maximal) consiste precisamente en los no-elementos del anillo; además, es el único ideal bilateral maximal de R. Sin embargo, en el caso no conmutativo, tener un único ideal bilateral maximal no es equivalente a ser local. ^{[ 5 ]}

Para un elemento x del anillo local R , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• x tiene un inverso izquierdo
• x tiene un inverso derecho
• x es invertible
• x no está en m .

Si ( R , m ) es local, entonces el anillo de factores R / m es un cuerpo sesgado . Si J ≠ R es cualquier ideal bilado en R , entonces el anillo de factores R / J es nuevamente local, con ideal maximal m / J .

Un teorema profundo de Irving Kaplansky afirma que cualquier módulo proyectivo sobre un anillo local es libre , aunque el caso en que el módulo es finitamente generado es un corolario simple del lema de Nakayama . Esto tiene una consecuencia interesante en términos de equivalencia de Morita . Es decir, si P es un módulo R proyectivo finitamente generado , entonces P es isomorfo al módulo libre R ⁿ , y por lo tanto al anillo de endomorfismos.${\displaystyle \mathrm {Fin} _ {R}(P)}$es isomorfo al anillo completo de matrices${\displaystyle \mathrm {M} _ {n}(R)}$. Dado que todo anillo Morita equivalente al anillo local R es de la forma${\displaystyle \mathrm {Fin} _ {R}(P)}$Para tal P , la conclusión es que los únicos anillos Morita equivalentes a un anillo local R son (isomorfos a) los anillos de matrices sobre R.