Teorema de la estructura de Cohen

En matemáticas, el teorema de estructura de Cohen , introducido por Cohen  (1946), describe la estructura de los anillos locales noetherianos completos .

Algunas consecuencias del teorema de estructura de Cohen incluyen tres conjeturas de Krull :

• Cualquier anillo local noetheriano equicaracterístico regular completo es un anillo de series de potencias formales sobre un cuerpo. (Equicaracterístico significa que el anillo local y su cuerpo de residuos tienen la misma característica y es equivalente al anillo local que contiene un cuerpo).
• Cualquier anillo local noetheriano regular completo que no sea equicaracterístico sino no ramificado está determinado únicamente por su campo de residuos y su dimensión.
• Cualquier anillo local noetheriano completo es la imagen de un anillo local noetheriano regular completo.

El caso más comúnmente utilizado del teorema de Cohen es cuando el anillo local noetheriano completo contiene algún cuerpo. En este caso, el teorema de estructura de Cohen establece que el anillo tiene la forma k [[ x ₁ ,..., x _n ]]/( I ) para algún ideal I , donde k es su cuerpo de clase residual.

En el caso de característica desigual en el que el anillo local noetheriano completo no contiene un cuerpo, el teorema de estructura de Cohen establece que el anillo local es un cociente de un anillo de serie de potencias formal en un número finito de variables sobre un anillo de Cohen con el mismo cuerpo de residuos que el anillo local. Un anillo de Cohen es un cuerpo o un anillo de valoración discreto cero característico completo cuyo ideal máximo es generado por un número primo p (igual a la característica del cuerpo de residuos).

En ambos casos, la parte más difícil de la prueba de Cohen es mostrar que el anillo local noetheriano completo contiene un anillo de coeficientes (o campo de coeficientes ), es decir, un anillo (o campo) de valoración discreto completo con el mismo campo de residuos que el anillo local.

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• Cohen, Irvin Sol (1946), "Sobre la estructura y la teoría ideal de anillos locales completos", Transactions of the American Mathematical Society , 59 (1): 54–106, doi : 10.2307/1990313 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990313, MR  0016094El artículo de Cohen fue escrito cuando "anillo local" significaba lo que ahora se llama un "anillo local noetheriano".
• Samuel, Pierre (1953), localidad de Algèbre, Mémor. Ciencia. Matemáticas, vol. 123, Gauthier-Villars, MR  0054995