Soporte de un módulo

En álgebra conmutativa , el soporte de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es el conjunto de todos los ideales primos.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de R tal que${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$(es decir, la localización de M en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$no es igual a cero). ^{[ 1 ]} Se denota por${\displaystyle \operatorname {Supp} M}$. El soporte es, por definición, un subconjunto del espectro de R .

• ${\displaystyle M=0}$si y solo si su soporte está vacío .
• Dejar${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$sea ​​una secuencia corta y exacta de R -módulos. Entonces

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.}$

Tenga en cuenta que esta unión puede no ser una unión disjunta .

• Si${\displaystyle M}$es una suma de submódulos${\displaystyle M_{\lambda }}$, entonces${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.}$
• Si${\displaystyle M}$es un R -módulo finitamente generado , entonces${\displaystyle \operatorname {Supp} M}$es el conjunto de todos los ideales primos que contienen el aniquilador de M. En particular, es cerrado en la topología de Zariski en Spec R.
• Si${\displaystyle M,N}$son R -módulos generados finitamente , entonces

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.}$

• Si${\displaystyle M}$es un R -módulo finitamente generado e I es un ideal de R , entonces${\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)}$es el conjunto de todos los ideales primos que contiene${\displaystyle I+\operatorname {Ann} M.}$Esto es${\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} M}$.

Si F es un haz cuasicoherente en un esquema X , el soporte de F es el conjunto de todos los puntos x en X tales que el tallo F _x es distinto de cero. Esta definición es similar a la definición del soporte de una función en un espacio X , y esta es la razón por la que se utiliza la palabra "soporte". La mayoría de las propiedades del soporte se generalizan de módulos a haces cuasicoherentes palabra por palabra. Por ejemplo, el soporte de un haz coherente (o, más generalmente, de un haz ^de tipo finito) es un subespacio cerrado de X. ^{[ 2} ]

Si M es un módulo sobre un anillo R , entonces el soporte de M como módulo coincide con el soporte del haz cuasicoherente asociado .${\displaystyle {\tilde {M}}}$en el esquema afín Spec R . Además, si${\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (R_{\alpha })\}}$es una cubierta afín de un esquema X , entonces el soporte de un haz cuasicoherente F es igual a la unión de los soportes de los módulos asociados M _α sobre cada R _α . ^{[ 3 ]}

Como se mencionó anteriormente, un ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$está en el soporte si y solo si contiene el aniquilador de${\displaystyle M}$. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, sobre${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$, el aniquilador del módulo

${\displaystyle M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}}$

es el ideal${\displaystyle I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}$Esto implica que${\displaystyle \operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)}$, el lugar geométrico de anulación del polinomio f . Observando la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0}$

Podríamos conjeturar erróneamente que el soporte de I = ( f ) es Spec( R _{( f )} ), que es el complemento del lugar de anulación del polinomio f . De hecho, dado que R es un dominio de integridad , el ideal I = ( f ) = Rf es isomorfo a R como módulo, por lo que su soporte es todo el espacio: Supp( I ) = Spec( R ).

El soporte de un módulo finito sobre un anillo noetheriano siempre es cerrado bajo especialización.

Ahora, si tomamos dos polinomios${\displaystyle f_{1},f_{2}\in R}$en un dominio integral que forman un ideal de intersección completo${\displaystyle (f_{1},f_{2})}$, la propiedad tensorial nos muestra que

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).}$

• Aniquilador (teoría del anillo)
• Principal asociado
• Apoyo (matemáticas)

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . SEÑOR 0217083 . 
• Atiyah, MF y IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9MR 0242802