Anillo graduado

En matemáticas , en particular en álgebra abstracta , un anillo graduado es un anillo tal que el grupo aditivo subyacente es una suma directa de grupos abelianos.${\displaystyle R_{i}}$de tal manera que${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$El conjunto de índices suele ser el conjunto de enteros no negativos o el conjunto de enteros, pero puede ser cualquier monoide . La descomposición en suma directa se suele denominar gradación o graduación .

Un módulo graduado se define de manera similar (véase más abajo la definición precisa). Generaliza los espacios vectoriales graduados . Un módulo graduado que también es un anillo graduado se llama álgebra graduada . Un anillo graduado también podría verse como un graduado .${\displaystyle \mathbb {Z} }$-álgebra .

La asociatividad no es importante (de hecho, no se utiliza en absoluto) en la definición de un anillo graduado; por lo tanto, la noción se aplica también a álgebras no asociativas ; por ejemplo, se puede considerar un álgebra de Lie graduada .

En general, se asume que el conjunto de índices de un anillo graduado es el conjunto de los enteros no negativos, a menos que se especifique explícitamente lo contrario. Este es el caso en este artículo.

Un anillo graduado es un anillo que se descompone en una suma directa.

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

de grupos aditivos , de tal manera que

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

para todos los enteros no negativos${\displaystyle m}$y​${\displaystyle n}$⁠ .

Un elemento distinto de cero de${\displaystyle R_{n}}$Se dice que es homogéneo de grado .${\displaystyle n}$⁠ . Por definición de suma directa, cada elemento distinto de cero${\displaystyle a}$de${\displaystyle R}$puede escribirse de forma única como una suma${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$donde cada${\displaystyle a_{i}}$es 0 o homogéneo de grado ⁠${\displaystyle i}$⁠ . El distinto de cero${\displaystyle a_{i}}$son los componentes homogéneos de ${\displaystyle a}$⁠ .

Algunas propiedades básicas son:

• ${\displaystyle R_{0}}$es un subanillo de ⁠${\displaystyle R}$; en particular, la identidad multiplicativa${\displaystyle 1}$es un elemento homogéneo de grado cero.
• Para cualquier${\displaystyle n}$,${\displaystyle R_{n}}$es de dos caras${\displaystyle R_{0}}$- módulo , yla descomposición en suma directa es una suma directa de${\displaystyle R_{0}}$-módulos .
• ${\displaystyle R}$es un asociativo${\displaystyle R_{0}}$-álgebra .​

• Cualquier anillo R (no graduado) puede recibir una gradación haciendo ⁠${\displaystyle R_{0}=R}$y​${\displaystyle R_{i}=0}$para i ≠ 0. Esto se denomina gradación trivial en R. 
• El anillo de polinomios${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$se califica por grado : es una suma directa de${\displaystyle R_{i}}$que consta de polinomios homogéneos de grado i .
• Sea S el conjunto de todos los elementos homogéneos no nulos en un dominio integral graduado R. Entonces, la localización de R con respecto a S es una${\displaystyle \mathbb {Z} }$-anillo graduado.
• Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , entonces${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$es un anillo graduado llamado anillo graduado asociado de R a lo largo de I ; geométricamente, es el anillo de coordenadas del cono normal a lo largo de la subvariedad definida por I.
• Sea X un espacio topológico , H ⁱ ( X ; R ) el i -ésimo grupo de cohomología con coeficientes en un anillo R . Entonces H ^* ( X ; R ), el anillo de cohomología de X con coeficientes en R , es un anillo graduado cuyo grupo subyacente es${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$con la estructura multiplicativa dada por el producto de copa .

La idea correspondiente en la teoría de módulos es la de un módulo graduado , es decir, un módulo izquierdo M sobre un anillo graduado R tal que

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

y

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

para cada i y j .

Ejemplos:

• Un espacio vectorial graduado es un ejemplo de un módulo graduado sobre un cuerpo (donde el cuerpo tiene una graduación trivial).
• Un anillo graduado es un módulo graduado sobre sí mismo. Un ideal en un anillo graduado es homogéneo si y solo si es un submódulo graduado. El aniquilador de un módulo graduado es un ideal homogéneo.
• Dado un ideal I en un anillo conmutativo R y un R -módulo M , la suma directa${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$es un módulo graduado sobre el anillo graduado asociado${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.

Un morfismo${\displaystyle f:N\to M}$de módulos graduados, llamado morfismo graduado u homomorfismo graduado , es un homomorfismo de los módulos subyacentes que respeta la graduación; es decir ,${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$Un submódulo graduado es un submódulo que es un módulo graduado por derecho propio y tal que la inclusión conjuntistaes un morfismo de módulos graduados. Explícitamente, un módulo graduado N es un submódulo graduado de M si y solo si es un submódulo de M y satisface${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$⁠ . El núcleo y la imagen de un morfismo de módulos graduados son submódulos graduados.

Nota: Dar un morfismo graduado de un anillo graduado a otro anillo graduado con la imagen situada en el centro es lo mismo que dar la estructura de un álgebra graduada a este último anillo.

Dado un módulo calificado${\displaystyle M}$, el${\displaystyle \ell }$-giro de${\displaystyle M}$es un módulo calificado definido por${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$(cf. el haz retorcido de Serre en geometría algebraica ).

Sean M y N módulos calificados. Si${\displaystyle f\colon M\to N}$es un morfismo de módulos, entonces se dice que f tiene grado d si${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$. Una derivada exterior de formas diferenciales en geometría diferencial es un ejemplo de un morfismo de grado 1.

Dado un módulo graduado M sobre un anillo graduado conmutativo R , se puede asociar la serie de potencias formal ⁠${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$:​

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(arrogante${\displaystyle \ell (M_{n})}$son finitos.) Se denomina serie de Hilbert -Poincaré de M.

Se dice que un módulo graduado es finitamente generado si el módulo subyacente es finitamente generado . Los generadores pueden considerarse homogéneos (sustituyendo los generadores por sus partes homogéneas).

Supongamos que R es un anillo de polinomios .${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$⁠ , k un campo, y M un módulo graduado finitamente generado sobre él. Entonces la función${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$se llama la función de Hilbert de M. La función coincide con el polinomio de valores enteros para n grande llamado polinomio de Hilbert de M.

Un álgebra asociativa A sobre un anillo R es un álgebra graduada si está graduada como anillo.

En el caso habitual en que el anillo R no está graduado (en particular si R es un cuerpo), se le da la graduación trivial (cada elemento de R es de grado 0). Por lo tanto,${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$y las piezas calificadas${\displaystyle A_{i}}$son módulos de R.

En el caso de que el anillo R sea también un anillo graduado, entonces se requiere que

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

En otras palabras , requerimos que A sea un módulo izquierdo graduado sobre R.

En matemáticas, son comunes los ejemplos de álgebra graduada:

• Anillos de polinomios . Los elementos homogéneos de grado n son exactamente los polinomios homogéneos de grado n .
• El álgebra tensorial${\displaystyle T^{\bullet }V}$de un espacio vectorial V. Los elementos homogéneos de grado n son los tensores de orden n ,${\displaystyle T^{n}V}$⁠ .
• El álgebra exterior${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$y el álgebra simétrica${\displaystyle S^{\bullet }V}$También son álgebras graduadas.
• El anillo de cohomología${\displaystyle H^{\bullet }}$En cualquier teoría de cohomología, también es graduada, siendo la suma directa de los grupos de cohomología .${\displaystyle H^{n}}$⁠ .

Las álgebras graduadas se utilizan mucho en álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología algebraica . Un ejemplo es la estrecha relación entre polinomios homogéneos y variedades proyectivas (véase Anillo de coordenadas homogéneas ).

Otro ejemplo de álgebra graduada no conmutativa es el álgebra de caminos de Leavitt , que tiene una relación natural.${\displaystyle \mathbb {Z} }$-calificación.

Las definiciones anteriores se han generalizado a anillos graduados usando cualquier monoide G como conjunto de índices. Un anillo R graduado por G es un anillo con una descomposición en suma directa.

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

de tal manera que

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Elementos de R que se encuentran dentro${\displaystyle R_{i}}$para algunos${\displaystyle i\in G}$Se dice que son homogéneos de grado i .

La noción previamente definida de "anillo graduado" ahora se convierte en lo mismo que un${\displaystyle \mathbb {N} }$-anillo graduado, donde${\displaystyle \mathbb {N} }$es el monoide de los números naturales bajo la suma. Las definiciones de módulos graduados y álgebras también pueden extenderse de esta manera reemplazando el conjunto de índices.${\displaystyle \mathbb {N} }$con cualquier monoide G .

Observaciones:

• Si no requerimos que el anillo tenga un elemento neutro , los semigrupos pueden reemplazar a los monoides.

Ejemplos:

• Un grupo gradúa naturalmente el anillo del grupo correspondiente ; de ​​manera similar, los anillos monoides son graduados por el monoide correspondiente.
• Una superálgebra (asociativa) es otro término para una${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$Álgebra graduada. Algunos ejemplos son las álgebras de Clifford . En este caso, los elementos homogéneos son de grado 0 (par) o 1 (impar).

Intuitivamente, un monoide graduado es un subconjunto de un anillo graduado,${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$, generado por el${\displaystyle R_{n}}$'s, sin usar la parte aditiva. Es decir, el conjunto de elementos del monoide graduado es${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$.

Formalmente, un monoide graduado ^{[ 1 ]} es un monoide${\displaystyle (M,\cdot )}$, con una función de gradación${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$de tal manera que${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$. Tenga en cuenta que la gradación de${\displaystyle 1_{M}}$es necesariamente 0. Algunos autores solicitan además que${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$ cuando m no es la identidad.

Suponiendo que las gradaciones de los elementos distintos de la identidad son distintas de cero, el número de elementos de gradación n es como máximo${\displaystyle g^{n}}$donde g es la cardinalidad de un conjunto generador G del monoide. Por lo tanto, el número de elementos de gradación n o menos es como máximo${\displaystyle n+1}$(para${\displaystyle g=1}$) o${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$de lo contrario. De hecho, cada uno de esos elementos es el producto de como máximo n elementos de G , y solo${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$Tales productos existen. De igual modo, el elemento identidad no puede escribirse como el producto de dos elementos distintos de la identidad. Es decir, no existe un divisor unitario en un monoide graduado de este tipo.

• Anillo graduado asociado
• Álgebra diferencial graduada
• Álgebra filtrada , una generalización
• Calificado (matemáticas)
• Categoría calificada
• Espacio vectorial graduado
• álgebra tensorial
• Módulo de calificación diferencial