Álgebra filtrada

En matemáticas , un álgebra filtrada es una generalización del concepto de álgebra graduada . Existen ejemplos en muchas ramas de las matemáticas , especialmente en el álgebra homológica y la teoría de la representación .

Un álgebra filtrada sobre el cuerpo es un álgebra sobre que tiene una secuencia creciente de subespacios de tal manera que ${\estilo de visualización k}$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}$${\estilo de visualización A}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$

y que es compatible con la multiplicación en el siguiente sentido:

${\displaystyle \para todo m,n\en \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}$

En general, existe la siguiente construcción que produce un álgebra graduada a partir de un álgebra filtrada.

Si es un álgebra filtrada, entonces el álgebra graduada asociada se define de la siguiente manera:${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

La multiplicación está bien definida y le confiere la estructura de un álgebra graduada, con gradación Además, si es asociativa , entonces también lo es . Además, si es unital , de modo que la unidad se encuentra en , entonces también será unital. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$${\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}.}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$${\estilo de visualización A}$$Estilo de visualización F_{0}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

Como álgebras y son distintas (con excepción del caso trivial que se gradúa), pero como espacios vectoriales son isomorfos . (Se puede demostrar por inducción que es isomorfo a como espacios vectoriales). ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \bigoplus _ {i=0}^{n}G_ {i}}$$Estilo de visualización F_{n}$

Cualquier álgebra graduada por , por ejemplo , tiene una filtración dada por . ${\displaystyle \mathbb {N}}$${\textstyle A=\bigoplus _ {n\in \mathbb {N} }A_ {n}}$${\textstyle F_{n}=\bigoplus _ {i=0}^{n}A_ {i}}$

Un ejemplo de un álgebra filtrada es el álgebra de Clifford de un espacio vectorial dotado de una forma cuadrática. El álgebra graduada asociada es , el álgebra exterior de${\displaystyle \operatorname {Acantilado} (V,q)}$${\estilo de visualización V}$ ${\displaystyle q.}$${\displaystyle \cuña grande V}$${\estilo de visualización V.}$

El álgebra simétrica sobre el dual de un espacio afín es un álgebra filtrada de polinomios ; en un espacio vectorial , se obtiene en cambio un álgebra graduada.

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie también se filtra de forma natural. El teorema PBW establece que el álgebra graduada asociada es simplemente . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}$

Los operadores diferenciales escalares sobre una variedad forman un álgebra filtrada donde la filtración está dada por el grado de los operadores diferenciales. El álgebra graduada asociada es el álgebra conmutativa de funciones suaves sobre el fibrado cotangente que son polinómicas a lo largo de las fibras de la proyección . ${\estilo de visualización M}$ $Estilo de visualización T*M$${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}$

El álgebra de grupo de un grupo con una función de longitud es un álgebra filtrada.

• Filtración (matemáticas)
• Función de longitud

• Abe, Eiichi (1980). Álgebras de Hopf. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0.

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