Espacio vectorial

En matemáticas y física , un espacio vectorial (también llamado espacio lineal ) es un conjunto cuyos elementos, a menudo llamados vectores , pueden sumarse y multiplicarse ("escalarse") por números llamados escalares . Las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas vectoriales . Los espacios vectoriales reales y los espacios vectoriales complejos son tipos de espacios vectoriales basados ​​en diferentes tipos de escalares: números reales y números complejos . Los escalares también pueden ser, de forma más general, elementos de cualquier cuerpo .

Los espacios vectoriales generalizan los vectores euclidianos , que permiten modelar magnitudes físicas , como fuerzas y velocidades , que no solo tienen una magnitud , sino también una dirección . El concepto de espacios vectoriales es fundamental para el álgebra lineal , junto con el concepto de matrices , que permite realizar cálculos en espacios vectoriales. Esto proporciona una forma concisa y sintética de manipular y estudiar sistemas de ecuaciones lineales .

Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión , que, a grandes rasgos, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que, para dos espacios vectoriales sobre un cuerpo dado y con la misma dimensión, las propiedades que dependen solo de la estructura del espacio vectorial son exactamente las mismas (técnicamente, los espacios vectoriales son isomorfos ). Un espacio vectorial es de dimensión finita si su dimensión es un número natural . De lo contrario, es de dimensión infinita , y su dimensión es un cardinal infinito . Los espacios vectoriales de dimensión finita se dan de forma natural en geometría y áreas relacionadas. Los espacios vectoriales de dimensión infinita se dan en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos polinómicos son espacios vectoriales de dimensión infinita numerables , y muchos espacios funcionales tienen la cardinalidad del continuo como dimensión.

Muchos espacios vectoriales que se consideran en matemáticas también están dotados de otras estructuras . Es el caso de las álgebras , que incluyen extensiones de cuerpo , anillos polinómicos, álgebras asociativas y álgebras de Lie . También es el caso de los espacios vectoriales topológicos , que incluyen espacios de funciones, espacios de producto interno , espacios normados , espacios de Hilbert y espacios de Banach .

En este artículo, los vectores se representan en negrita para distinguirlos de los escalares. ^{[nb 1] [1]}

Un espacio vectorial sobre un cuerpo F es un conjunto  no vacío V junto con una operación binaria y una función binaria que satisfacen los ocho axiomas que se enumeran a continuación. En este contexto, los elementos de V se denominan comúnmente vectores y los elementos de  F se denominan escalares . ^[2]

• La operación binaria, llamada suma vectorial o simplemente adición, asigna a cualesquiera dos vectores  v y w en V un tercer vector en V que comúnmente se escribe como v + w , y se llama suma de estos dos vectores.

• La función binaria, llamada multiplicación escalar , asigna a cualquier escalar  a en F y a cualquier vector  v en V otro vector en V , que se denota  como v . ^{[nb 2]}

Para tener un espacio vectorial, se deben satisfacer los ocho axiomas siguientes para cada u , v y w en V , y a y b en F. ^[3]

Cuando el campo escalar son los números reales , el espacio vectorial se denomina espacio vectorial real , y cuando el campo escalar son los números complejos , el espacio vectorial se denomina espacio vectorial complejo . ^[4] Estos dos casos son los más comunes, pero también se consideran comúnmente espacios vectoriales con escalares en un campo arbitrario F. Un espacio vectorial de este tipo se denomina espacio vectorial F o espacio vectorial sobre F. ^[5 ]

Se puede dar una definición equivalente de un espacio vectorial, que es mucho más concisa pero menos elemental: los primeros cuatro axiomas (relacionados con la adición de vectores) dicen que un espacio vectorial es un grupo abeliano bajo adición, y los cuatro axiomas restantes (relacionados con la multiplicación escalar) dicen que esta operación define un homomorfismo de anillo del cuerpo F en el anillo de endomorfismo de este grupo. ^[6]

La resta de dos vectores se puede definir como $${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {w} =\mathbf {v} +(-\mathbf {w} ).}$$

Las consecuencias directas de los axiomas incluyen que, para cada y uno tiene ${\displaystyle s\in F}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V,}$

• ${\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {0} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle (-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {v} =\mathbf {0} }$implica o${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} .}$

De manera aún más concisa, un espacio vectorial es un módulo sobre un campo . ^[7]

Combinación lineal

Dado un conjunto G de elementos de un F -espacio vectorial V , una combinación lineal de elementos de G es un elemento de V de la forma donde y Los escalares se denominan coeficientes de la combinación lineal. ^[8]$${\displaystyle a_{1}\mathbf {g} _{1}+a_{2}\mathbf {g} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {g} _{k},}$$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}\in F}$${\displaystyle \mathbf {g} _{1},\ldots ,\mathbf {g} _{k}\in G.}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

Independencia lineal

Se dice que los elementos de un subconjunto G de un espacio vectorial F V son linealmente independientes si ningún elemento de G puede escribirse como una combinación lineal de los otros elementos de G. De manera equivalente, son linealmente independientes si dos combinaciones lineales de elementos de G definen el mismo elemento de V si y solo si tienen los mismos coeficientes. También de manera equivalente, son linealmente independientes si una combinación lineal da como resultado el vector cero si y solo si todos sus coeficientes son cero. ^[9]

Subespacio lineal

Un subespacio lineal o subespacio vectorial W de un espacio vectorial V es un subconjunto no vacío de V que está cerrado bajo la adición vectorial y la multiplicación escalar; es decir, la suma de dos elementos de W y el producto de un elemento de W por un escalar pertenecen a W . ^[10] Esto implica que cada combinación lineal de elementos de W pertenece a W . Un subespacio lineal es un espacio vectorial para la adición inducida y la multiplicación escalar; esto significa que la propiedad de clausura implica que se satisfacen los axiomas de un espacio vectorial. ^[11]
La propiedad de clausura también implica que cada intersección de subespacios lineales es un subespacio lineal. ^[11]

Tramo lineal

Dado un subconjunto G de un espacio vectorial V , el espacio lineal abarcado o simplemente el espacio de G es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene a G , en el sentido de que es la intersección de todos los subespacios lineales que contienen a G . El espacio de G es también el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de G .
Si W es el espacio de G , se dice que G abarca o genera a W , y que G es un conjunto abarcado o un conjunto generador de W . ^[12]

Base y dimensión

Un subconjunto de un espacio vectorial es una base si sus elementos son linealmente independientes y abarcan el espacio vectorial. ^[13] Todo espacio vectorial tiene al menos una base, o muchas en general (véase Base (álgebra lineal) § Prueba de que todo espacio vectorial tiene una base ). ^[14] Además, todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad , que se denomina dimensión del espacio vectorial (véase Teorema de la dimensión para espacios vectoriales ). ^[15] Esta es una propiedad fundamental de los espacios vectoriales, que se detalla en el resto de la sección.

Las bases son una herramienta fundamental para el estudio de los espacios vectoriales, especialmente cuando la dimensión es finita. En el caso de dimensión infinita, la existencia de bases infinitas, a menudo llamadas bases de Hamel , depende del axioma de elección . De ello se deduce que, en general, ninguna base puede describirse explícitamente. ^[16] Por ejemplo, los números reales forman un espacio vectorial de dimensión infinita sobre los números racionales , para los que no se conoce ninguna base específica.

Considérese una base de un espacio vectorial V de dimensión n sobre un cuerpo F . La definición de una base implica que cada uno puede escribirse con en F , y que esta descomposición es única. Los escalares se denominan coordenadas de v en la base. También se dice que son los coeficientes de la descomposición de v en la base. También se dice que la n - tupla de las coordenadas es el vector de coordenadas de v en la base, ya que el conjunto de las n - tuplas de elementos de F es un espacio vectorial para la adición por componentes y la multiplicación escalar, cuya dimensión es n . ${\displaystyle (\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n})}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{n},}$$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle F^{n}}$

La correspondencia biunívoca entre vectores y sus vectores de coordenadas hace que la suma de vectores se convierta en suma de vectores y la multiplicación escalar en multiplicación escalar. Por lo tanto, se trata de un isomorfismo del espacio vectorial , que permite traducir los razonamientos y cálculos sobre vectores en razonamientos y cálculos sobre sus coordenadas. ^[17]

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín , a través de la introducción de coordenadas en el plano o espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat fundaron la geometría analítica al identificar soluciones a una ecuación de dos variables con puntos en una curva plana . ^[18] Para lograr soluciones geométricas sin utilizar coordenadas, Bolzano introdujo, en 1804, ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesoras de los vectores. ^[19] Möbius (1827) introdujo la noción de coordenadas baricéntricas . ^[20] Bellavitis (1833) introdujo una relación de equivalencia sobre segmentos de línea dirigidos que comparten la misma longitud y dirección a la que llamó equipolencia . ^[21] Un vector euclidiano es entonces una clase de equivalencia de esa relación. ^[22]

Los vectores fueron reconsiderados con la presentación de los números complejos por Argand y Hamilton y el inicio de los cuaterniones por este último. ^[23] Son elementos en R ² y R ⁴ ; su tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió sistemas de ecuaciones lineales .

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite la armonización y simplificación de los mapas lineales . Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. ^[24] En su trabajo, están presentes los conceptos de independencia lineal y dimensión , así como los productos escalares . El trabajo de Grassmann de 1844 también excede el marco de los espacios vectoriales, ya que su consideración de la multiplicación lo llevó a lo que hoy se llama álgebras . El matemático italiano Peano fue el primero en dar la definición moderna de espacios vectoriales y mapas lineales en 1888, ^[25] aunque los llamó "sistemas lineales". ^[26] La axiomatización de Peano permitió espacios vectoriales con dimensión infinita, pero Peano no desarrolló más esa teoría. En 1897, Salvatore Pincherle adoptó los axiomas de Peano e hizo incursiones iniciales en la teoría de espacios vectoriales de dimensión infinita. ^[27]

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios funcionales por parte de Henri Lebesgue , que luego fue formalizada por Banach y Hilbert , alrededor de 1920. ^[28] En ese momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional comenzaron a interactuar, en particular con conceptos clave como los espacios de funciones p -integrables y los espacios de Hilbert . ^[29]

El primer ejemplo de un espacio vectorial consiste en flechas en un plano fijo , comenzando en un punto fijo. Esto se utiliza en física para describir fuerzas o velocidades . ^[30] Dadas dos flechas cualesquiera, v y w , el paralelogramo abarcado por estas dos flechas contiene una flecha diagonal que comienza también en el origen. Esta nueva flecha se llama suma de las dos flechas y se denota v + w . En el caso especial de dos flechas en la misma línea, su suma es la flecha en esta línea cuya longitud es la suma o la diferencia de las longitudes, dependiendo de si las flechas tienen la misma dirección. Otra operación que se puede hacer con flechas es el escalado: dado cualquier número real positivo a , la flecha que tiene la misma dirección que v , pero se dilata o se encoge multiplicando su longitud por a , se llama multiplicación de v por a . Se denota a v . Cuando a es negativo, a v se define como la flecha que apunta en la dirección opuesta. ^[31]

A continuación se muestran algunos ejemplos: si a = 2 , el vector resultante a w tiene la misma dirección que w , pero se estira hasta el doble de la longitud de w (la segunda imagen). De manera equivalente, 2 w es la suma w + w . Además, (−1) v = − v tiene la dirección opuesta y la misma longitud que v (el vector azul que apunta hacia abajo en la segunda imagen).

Un segundo ejemplo clave de un espacio vectorial lo proporcionan los pares de números reales x e y . El orden de los componentes x e y es significativo, por lo que a este par también se lo denomina par ordenado . Este par se escribe como ( x , y ) . La suma de dos pares de este tipo y la multiplicación de un par por un número se define de la siguiente manera: ^[32] $${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

El primer ejemplo anterior se reduce a este ejemplo si una flecha está representada por un par de coordenadas cartesianas de su punto final.

El ejemplo más simple de un espacio vectorial sobre un cuerpo F es el propio cuerpo F con su adición vista como adición vectorial y su multiplicación vista como multiplicación escalar. De manera más general, todas las n -tuplas (secuencias de longitud n ) de elementos a _i de F forman un espacio vectorial que usualmente se denota F ⁿ y se llama espacio de coordenadas . ^[33] El caso n = 1 es el ejemplo más simple mencionado anteriormente, en el que el cuerpo F también se considera como un espacio vectorial sobre sí mismo. El caso F = R y n = 2 (por lo tanto R ² ) se reduce al ejemplo anterior. $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$

El conjunto de números complejos C , números que pueden escribirse en la forma x + iy para los números reales x e y donde i es la unidad imaginaria , forman un espacio vectorial sobre los reales con la adición y multiplicación usuales: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) y c ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) para los números reales x , y , a , b y c . Los diversos axiomas de un espacio vectorial se deducen del hecho de que las mismas reglas se cumplen para la aritmética de números complejos. El ejemplo de los números complejos es esencialmente el mismo (es decir, es isomorfo ) que el espacio vectorial de pares ordenados de números reales mencionado anteriormente: si pensamos en el número complejo x + i y como representante del par ordenado ( x , y ) en el plano complejo , entonces vemos que las reglas para la suma y la multiplicación escalar corresponden exactamente a las del ejemplo anterior.

De manera más general, las extensiones de campo proporcionan otra clase de ejemplos de espacios vectoriales, particularmente en álgebra y teoría de números algebraicos : un campo F que contiene un campo más pequeño E es un E -espacio vectorial, por las operaciones de multiplicación y adición dadas de F. [ ^34] Por ejemplo, los números complejos son un espacio vectorial sobre R , y la extensión de campo es un espacio vectorial sobre Q.${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$

Las funciones de cualquier conjunto fijo Ω a un cuerpo F también forman espacios vectoriales, al realizar la adición y la multiplicación escalar punto por punto. Es decir, la suma de dos funciones f y g es la función dada por y de manera similar para la multiplicación. Tales espacios de funciones ocurren en muchas situaciones geométricas, cuando Ω es la línea real o un intervalo , u otros subconjuntos de R . Muchas nociones en topología y análisis, como continuidad , integrabilidad o diferenciabilidad se comportan bien con respecto a la linealidad: sumas y múltiplos escalares de funciones que poseen tal propiedad aún tienen esa propiedad. ^[35] Por lo tanto, el conjunto de tales funciones son espacios vectoriales, cuyo estudio pertenece al análisis funcional . ${\displaystyle (f+g)}$$${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas están estrechamente ligados a los espacios vectoriales. ^[36] Por ejemplo, las soluciones de están dadas por ternas con y arbitrarias Forman un espacio vectorial: las sumas y los múltiplos escalares de dichas ternas aún satisfacen las mismas razones de las tres variables; por lo tanto, también son soluciones. Las matrices se pueden utilizar para condensar múltiples ecuaciones lineales como las anteriores en una ecuación vectorial, es decir $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b=a/2,}$${\displaystyle c=-5a/2.}$

donde es la matriz que contiene los coeficientes de las ecuaciones dadas, es el vector que denota el producto matricial y es el vector cero. De manera similar, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas forman espacios vectoriales. Por ejemplo, ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle (a,b,c),}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$

produce donde y son constantes arbitrarias, y es la función exponencial natural . ${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle e^{x}}$

La relación de dos espacios vectoriales se puede expresar mediante una función lineal o una transformación lineal . Son funciones que reflejan la estructura del espacio vectorial, es decir, conservan las sumas y la multiplicación escalar: para todos y en todos en ^[37]$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ),\\f(a\cdot \mathbf {v} )&=a\cdot f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle V,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F.}$

Un isomorfismo es una función lineal f  : V → W tal que existe una función inversa g  : W → V , que es una función tal que las dos composiciones posibles f ∘ g  : W → W y g ∘ f  : V → V son funciones identidad . De manera equivalente, f es tanto uno a uno ( inyectiva ) como sobreyectiva ( sobreyectiva ). ^[38] Si existe un isomorfismo entre V y W , se dice que los dos espacios son isomorfos ; entonces son esencialmente idénticos como espacios vectoriales, ya que todas las identidades que se cumplen en V son, a través de f , transportadas a otras similares en W , y viceversa a través de g .

Por ejemplo, las flechas en el plano y los pares ordenados de espacios vectoriales de números en la introducción anterior (ver § Ejemplos) son isomorfos: una flecha plana v que parte del origen de algún sistema de coordenadas (fijo) se puede expresar como un par ordenado considerando los componentes x e y de la flecha, como se muestra en la imagen de la derecha. Por el contrario, dado un par ( x , y ) , la flecha que va por x hacia la derecha (o hacia la izquierda, si x es negativo), y y hacia arriba (hacia abajo, si y es negativo) hace retroceder la flecha v . ^[39]

Las aplicaciones lineales V → W entre dos espacios vectoriales forman un espacio vectorial Hom _F ( V , W ) , también denotado L( V , W ) , o 𝓛( V , W ) . ^[40] El espacio de aplicaciones lineales de V a F se llama espacio vectorial dual , denotado V ^∗ . ^[41] A través de la función natural inyectiva V → V ^∗∗ , cualquier espacio vectorial puede ser incorporado a su bidual ; la función es un isomorfismo si y solo si el espacio es de dimensión finita. ^[42]

Una vez que se elige una base de V , las aplicaciones lineales f  : V → W se determinan completamente especificando las imágenes de los vectores base, porque cualquier elemento de V se expresa únicamente como una combinación lineal de ellos. ^[43] Si dim V = dim W , una correspondencia biunívoca entre bases fijas de V y W da lugar a una aplicación lineal que asigna cualquier elemento base de V al elemento base correspondiente de W . Es un isomorfismo, por su propia definición. ^[44] Por lo tanto, dos espacios vectoriales sobre un cuerpo dado son isomorfos si sus dimensiones concuerdan y viceversa. Otra forma de expresar esto es que cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo dado se clasifica completamente ( hasta el isomorfismo) por su dimensión, un solo número. En particular, cualquier espacio vectorial F n -dimensional V es isomorfo a F ⁿ . Sin embargo, no existe un isomorfismo "canónico" o preferido; un isomorfismo φ  : F ⁿ → V es equivalente a la elección de una base de V , al mapear la base estándar de F ⁿ a V , a través de φ .

Las matrices son un concepto útil para codificar aplicaciones lineales. ^[45] Se escriben como una matriz rectangular de escalares como en la imagen de la derecha. Cualquier matriz de m por n da lugar a una aplicación lineal de F ⁿ a F ^m , mediante la siguiente fórmula donde denota suma , o mediante la multiplicación matricial de la matriz con el vector de coordenadas : ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$${\textstyle \sum }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Además, después de elegir las bases de V y W , cualquier mapa lineal f  : V → W se representa de forma única mediante una matriz a través de esta asignación. ^[46]

El determinante det ( A ) de una matriz cuadrada A es un escalar que indica si la función asociada es un isomorfismo o no: para serlo es suficiente y necesario que el determinante sea distinto de cero. ^[47] La ​​transformación lineal de R ⁿ correspondiente a una matriz real n -por- n preserva la orientación si y sólo si su determinante es positivo.

Los endomorfismos , aplicaciones lineales f  : V → V , son particularmente importantes ya que en este caso los vectores v pueden compararse con su imagen bajo f , f ( v ) . Cualquier vector distinto de cero v que satisfaga λ v = f ( v ) , donde λ es un escalar, se denomina vector propio de f con valor propio λ . ^[48] De manera equivalente, v es un elemento del núcleo de la diferencia f − λ · Id (donde Id es la aplicación identidad V → V ) . Si V es de dimensión finita, esto puede reformularse utilizando determinantes: f que tiene valor propio λ es equivalente a Al deletrear la definición del determinante, se puede ver que la expresión del lado izquierdo es una función polinómica en λ , llamada polinomio característico de f . ^[49] Si el campo F es lo suficientemente grande para contener un cero de este polinomio (lo que ocurre automáticamente para F algebraicamente cerrado , como F = C ), cualquier función lineal tiene al menos un vector propio. El espacio vectorial V puede o no poseer una base propia , una base que consiste en vectores propios. Este fenómeno está regido por la forma canónica de Jordan de la función. ^[50] El conjunto de todos los vectores propios correspondientes a un valor propio particular de f forma un espacio vectorial conocido como el espacio propio correspondiente al valor propio (y f ) en cuestión. $${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$

Además de los ejemplos concretos anteriores, hay una serie de construcciones algebraicas lineales estándar que producen espacios vectoriales relacionados con los dados.

Un subconjunto no vacío de un espacio vectorial que está cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar (y por lo tanto contiene el -vector de ) se denomina subespacio lineal de , o simplemente un subespacio de , cuando el espacio ambiente es inequívocamente un espacio vectorial. ^{[51] [nb 4]} Los subespacios de son espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo) por derecho propio. La intersección de todos los subespacios que contienen un conjunto dado de vectores se denomina su amplitud , y es el subespacio más pequeño de que contiene el conjunto . Expresado en términos de elementos, la amplitud es el subespacio que consiste en todas las combinaciones lineales de elementos de . ^[52]${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Los subespacios lineales de dimensión 1 y 2 se denominan línea (también línea vectorial ) y plano respectivamente. Si W es un espacio vectorial de dimensión n , cualquier subespacio de dimensión 1 menos, es decir, de dimensión 1, se denomina hiperplano . ^[53]${\displaystyle n-1}$

La contraparte de los subespacios son los espacios vectoriales cocientes . ^[54] Dado cualquier subespacio , el espacio cociente (" módulo ") se define de la siguiente manera: como un conjunto, consiste en donde es un vector arbitrario en . La suma de dos de tales elementos y es , y la multiplicación escalar está dada por . El punto clave en esta definición es que si y solo si la diferencia de y se encuentra en . ^{[nb 5]} De esta manera, el espacio cociente "olvida" información que está contenida en el subespacio . ${\displaystyle W\subseteq V}$${\displaystyle V/W}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$$${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w} :\mathbf {w} \in W\},}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

El núcleo de un mapa lineal consta de vectores que se asignan a en . ^[55] El núcleo y la imagen son subespacios de y , respectivamente. ^[56]${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

Un ejemplo importante es el núcleo de una función lineal para alguna matriz fija . El núcleo de esta función es el subespacio de vectores tales que , que es precisamente el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas perteneciente a . Este concepto también se extiende a ecuaciones diferenciales lineales donde los coeficientes son funciones en también. En la función correspondiente, las derivadas de la función aparecen linealmente (en oposición a , por ejemplo). Dado que la diferenciación es un procedimiento lineal (es decir, y para una constante ), esta asignación es lineal, llamada operador diferencial lineal . En particular, las soluciones de la ecuación diferencial forman un espacio vectorial (sobre R o C ). ^[57]${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle A}$$${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D(f)=0}$

La existencia de núcleos e imágenes es parte de la afirmación de que la categoría de espacios vectoriales (sobre un cuerpo fijo ) es una categoría abeliana , es decir, un corpus de objetos matemáticos y mapas que preservan la estructura entre ellos (una categoría ) que se comporta de manera muy similar a la categoría de grupos abelianos . ^[58] Debido a esto, muchas afirmaciones como el primer teorema de isomorfismo (también llamado teorema de rango-nulidad en términos relacionados con matrices) y el segundo y tercer teorema de isomorfismo se pueden formular y demostrar de una manera muy similar a las afirmaciones correspondientes para grupos . ${\displaystyle F}$$${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$

El producto directo de espacios vectoriales y la suma directa de espacios vectoriales son dos formas de combinar una familia indexada de espacios vectoriales en un nuevo espacio vectorial.

El producto directo de una familia de espacios vectoriales consiste en el conjunto de todas las tuplas , que especifican para cada índice en algún conjunto de índices un elemento de . ^[59] La adición y la multiplicación escalar se realizan componente por componente. Una variante de esta construcción es la suma directa (también llamada coproducto y denotada como ), donde solo se permiten tuplas con un número finito de vectores distintos de cero. Si el conjunto de índices es finito, las dos construcciones coinciden, pero en general son diferentes. ${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle I}$

El producto tensorial o simplemente de dos espacios vectoriales es una de las nociones centrales del álgebra multilineal que trata de extender nociones como las aplicaciones lineales a varias variables. Una aplicación del producto cartesiano se llama bilineal si es lineal en ambas variables y Es decir, para fija la aplicación es lineal en el sentido anterior y lo mismo para fija${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$${\displaystyle V\otimes W,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle g:V\times W\to X}$ ${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} .}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {v} .}$

El producto tensorial es un espacio vectorial particular que es un receptor universal de aplicaciones bilineales como sigue. Se define como el espacio vectorial que consiste en sumas finitas (formales) de símbolos llamados tensores sujetos a las reglas ^[60] Estas reglas aseguran que la aplicación desde el a que asigna una tupla a es bilineal. La universalidad establece que dado cualquier espacio vectorial y cualquier aplicación bilineal existe una aplicación única mostrada en el diagrama con una flecha punteada, cuya composición con es igual a ^[61] Esto se llama la propiedad universal del producto tensorial, una instancia del método—muy usado en álgebra abstracta avanzada—para definir objetos indirectamente especificando aplicaciones desde o hacia este objeto. ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle g:V\times W\to X,}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:}$ ${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$

Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se entienden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo dado se caracteriza, salvo isomorfismo, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales per se no ofrecen un marco para tratar la cuestión —crucial para el análisis— de si una secuencia de funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada para tratar series infinitas , ya que la operación de adición sólo permite sumar un número finito de términos. Por lo tanto, las necesidades del análisis funcional requieren considerar estructuras adicionales. ^[62]

A vector space may be given a partial order ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ under which some vectors can be compared.^[63] For example, ${\displaystyle n}$-dimensional real space ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ can be ordered by comparing its vectors componentwise. Ordered vector spaces, for example Riesz spaces, are fundamental to Lebesgue integration, which relies on the ability to express a function as a difference of two positive functions $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$ where ${\displaystyle f^{+}}$ denotes the positive part of ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle f^{-}}$ the negative part.^[64]

"Measuring" vectors is done by specifying a norm, a datum which measures lengths of vectors, or by an inner product, which measures angles between vectors. Norms and inner products are denoted ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ and ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$ respectively. The datum of an inner product entails that lengths of vectors can be defined too, by defining the associated norm ${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$ Vector spaces endowed with such data are known as normed vector spaces and inner product spaces, respectively.^[65]

Coordinate space ${\displaystyle F^{n}}$ can be equipped with the standard dot product: $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$ In ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$ this reflects the common notion of the angle between two vectors ${\displaystyle \mathbf {x} }$ and ${\displaystyle \mathbf {y} ,}$ by the law of cosines: $${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$ Because of this, two vectors satisfying ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$ are called orthogonal. An important variant of the standard dot product is used in Minkowski space: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ endowed with the Lorentz product^[66] $${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$ In contrast to the standard dot product, it is not positive definite: ${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$ also takes negative values, for example, for ${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$ Singling out the fourth coordinate—corresponding to time, as opposed to three space-dimensions—makes it useful for the mathematical treatment of special relativity. Note that in other conventions time is often written as the first, or "zeroeth" component so that the Lorentz product is written $${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.}$$

Convergence questions are treated by considering vector spaces ${\displaystyle V}$ carrying a compatible topology, a structure that allows one to talk about elements being close to each other.^[67] Compatible here means that addition and scalar multiplication have to be continuous maps. Roughly, if ${\displaystyle \mathbf {x} }$ and ${\displaystyle \mathbf {y} }$ in ${\displaystyle V}$, and ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle F}$ vary by a bounded amount, then so do ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$ and ${\displaystyle a\mathbf {x} .}$^{[nb 6]} To make sense of specifying the amount a scalar changes, the field ${\displaystyle F}$ also has to carry a topology in this context; a common choice is the reals or the complex numbers.

In such topological vector spaces one can consider series of vectors. The infinite sum $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$ denotes the limit of the corresponding finite partial sums of the sequence ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ of elements of ${\displaystyle V.}$ For example, the ${\displaystyle f_{i}}$ could be (real or complex) functions belonging to some function space ${\displaystyle V,}$ in which case the series is a function series. The mode of convergence of the series depends on the topology imposed on the function space. In such cases, pointwise convergence and uniform convergence are two prominent examples.^[68]

A way to ensure the existence of limits of certain infinite series is to restrict attention to spaces where any Cauchy sequence has a limit; such a vector space is called complete. Roughly, a vector space is complete provided that it contains all necessary limits. For example, the vector space of polynomials on the unit interval ${\displaystyle [0,1],}$ equipped with the topology of uniform convergence is not complete because any continuous function on ${\displaystyle [0,1]}$ can be uniformly approximated by a sequence of polynomials, by the Weierstrass approximation theorem.^[69] In contrast, the space of all continuous functions on ${\displaystyle [0,1]}$ with the same topology is complete.^[70] A norm gives rise to a topology by defining that a sequence of vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$ converges to ${\displaystyle \mathbf {v} }$ if and only if $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$ Banach and Hilbert spaces are complete topological vector spaces whose topologies are given, respectively, by a norm and an inner product. Their study—a key piece of functional analysis—focuses on infinite-dimensional vector spaces, since all norms on finite-dimensional topological vector spaces give rise to the same notion of convergence.^[71] The image at the right shows the equivalence of the ${\displaystyle 1}$-norm and ${\displaystyle \infty }$-norm on ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$ as the unit "balls" enclose each other, a sequence converges to zero in one norm if and only if it so does in the other norm. In the infinite-dimensional case, however, there will generally be inequivalent topologies, which makes the study of topological vector spaces richer than that of vector spaces without additional data.

From a conceptual point of view, all notions related to topological vector spaces should match the topology. For example, instead of considering all linear maps (also called functionals) ${\displaystyle V\to W,}$ maps between topological vector spaces are required to be continuous.^[72] In particular, the (topological) dual space ${\displaystyle V^{*}}$ consists of continuous functionals ${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$ (or to ${\displaystyle \mathbf {C} }$). The fundamental Hahn–Banach theorem is concerned with separating subspaces of appropriate topological vector spaces by continuous functionals.^[73]

Banach spaces, introduced by Stefan Banach, are complete normed vector spaces.^[74]

A first example is the vector space ${\displaystyle \ell ^{p}}$ consisting of infinite vectors with real entries ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}$ whose ${\displaystyle p}$-norm ${\displaystyle (1\leq p\leq \infty )}$ given by $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|\qquad {\text{ for }}p=\infty ,{\text{ and }}}$$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad {\text{ for }}p<\infty .}$$

The topologies on the infinite-dimensional space ${\displaystyle \ell ^{p}}$ are inequivalent for different ${\displaystyle p.}$ For example, the sequence of vectors ${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right),}$ in which the first ${\displaystyle 2^{n}}$ components are ${\displaystyle 2^{-n}}$ and the following ones are ${\displaystyle 0,}$ converges to the zero vector for ${\displaystyle p=\infty ,}$ but does not for ${\displaystyle p=1:}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0,}$$ but $${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}$$

More generally than sequences of real numbers, functions ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ are endowed with a norm that replaces the above sum by the Lebesgue integral $${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,{d\mu (x)}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$

The space of integrable functions on a given domain ${\displaystyle \Omega }$ (for example an interval) satisfying ${\displaystyle \|f\|_{p}<\infty ,}$ and equipped with this norm are called Lebesgue spaces, denoted ${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega ).}$^{[nb 7]}

These spaces are complete.^[75] (If one uses the Riemann integral instead, the space is not complete, which may be seen as a justification for Lebesgue's integration theory.^{[nb 8]}) Concretely this means that for any sequence of Lebesgue-integrable functions ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }$ with ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}<\infty ,}$ satisfying the condition $${\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left|f_{k}(x)-f_{n}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0}$$ there exists a function ${\displaystyle f(x)}$ belonging to the vector space ${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega )}$ such that $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0.}$$

Imposing boundedness conditions not only on the function, but also on its derivatives leads to Sobolev spaces.^[76]

Complete inner product spaces are known as Hilbert spaces, in honor of David Hilbert.^[77] The Hilbert space ${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$ with inner product given by $${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$ where ${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$ denotes the complex conjugate of ${\displaystyle g(x),}$^{[78][nb 9]} is a key case.

By definition, in a Hilbert space, any Cauchy sequence converges to a limit. Conversely, finding a sequence of functions ${\displaystyle f_{n}}$ with desirable properties that approximate a given limit function is equally crucial. Early analysis, in the guise of the Taylor approximation, established an approximation of differentiable functions ${\displaystyle f}$ by polynomials.^[79] By the Stone–Weierstrass theorem, every continuous function on ${\displaystyle [a,b]}$ can be approximated as closely as desired by a polynomial.^[80] A similar approximation technique by trigonometric functions is commonly called Fourier expansion, and is much applied in engineering. More generally, and more conceptually, the theorem yields a simple description of what "basic functions", or, in abstract Hilbert spaces, what basic vectors suffice to generate a Hilbert space ${\displaystyle H,}$ in the sense that the closure of their span (that is, finite linear combinations and limits of those) is the whole space. Such a set of functions is called a basis of ${\displaystyle H,}$ its cardinality is known as the Hilbert space dimension.^{[nb 10]} Not only does the theorem exhibit suitable basis functions as sufficient for approximation purposes, but also together with the Gram–Schmidt process, it enables one to construct a basis of orthogonal vectors.^[81] Such orthogonal bases are the Hilbert space generalization of the coordinate axes in finite-dimensional Euclidean space.

The solutions to various differential equations can be interpreted in terms of Hilbert spaces. For example, a great many fields in physics and engineering lead to such equations, and frequently solutions with particular physical properties are used as basis functions, often orthogonal.^[82] As an example from physics, the time-dependent Schrödinger equation in quantum mechanics describes the change of physical properties in time by means of a partial differential equation, whose solutions are called wavefunctions.^[83] Definite values for physical properties such as energy, or momentum, correspond to eigenvalues of a certain (linear) differential operator and the associated wavefunctions are called eigenstates. The spectral theorem decomposes a linear compact operator acting on functions in terms of these eigenfunctions and their eigenvalues.^[84]

General vector spaces do not possess a multiplication between vectors. A vector space equipped with an additional bilinear operator defining the multiplication of two vectors is an algebra over a field (or F-algebra if the field F is specified).^[85]

For example, the set of all polynomials ${\displaystyle p(t)}$ forms an algebra known as the polynomial ring: using that the sum of two polynomials is a polynomial, they form a vector space; they form an algebra since the product of two polynomials is again a polynomial. Rings of polynomials (in several variables) and their quotients form the basis of algebraic geometry, because they are rings of functions of algebraic geometric objects.^[86]

Another crucial example are Lie algebras, which are neither commutative nor associative, but the failure to be so is limited by the constraints (${\displaystyle [x,y]}$ denotes the product of ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$):

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$ (anticommutativity), and
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$ (Jacobi identity).^[87]

Examples include the vector space of ${\displaystyle n}$-by-${\displaystyle n}$ matrices, with ${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$ the commutator of two matrices, and ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$ endowed with the cross product.

The tensor algebra ${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$ is a formal way of adding products to any vector space ${\displaystyle V}$ to obtain an algebra.^[88] As a vector space, it is spanned by symbols, called simple tensors $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$ where the degree ${\displaystyle n}$ varies. The multiplication is given by concatenating such symbols, imposing the distributive law under addition, and requiring that scalar multiplication commute with the tensor product ⊗, much the same way as with the tensor product of two vector spaces introduced in the above section on tensor products. In general, there are no relations between ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$ Forcing two such elements to be equal leads to the symmetric algebra, whereas forcing ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$ yields the exterior algebra.^[89]

A vector bundle is a family of vector spaces parametrized continuously by a topological space X.^[90] More precisely, a vector bundle over X is a topological space E equipped with a continuous map $${\displaystyle \pi :E\to X}$$ such that for every x in X, the fiber π⁻¹(x) is a vector space. The case dim V = 1 is called a line bundle. For any vector space V, the projection X × V → X makes the product X × V into a "trivial" vector bundle. Vector bundles over X are required to be locally a product of X and some (fixed) vector space V: for every x in X, there is a neighborhood U of x such that the restriction of π to π⁻¹(U) is isomorphic^{[nb 11]} to the trivial bundle U × V → U. Despite their locally trivial character, vector bundles may (depending on the shape of the underlying space X) be "twisted" in the large (that is, the bundle need not be (globally isomorphic to) the trivial bundle X × V). For example, the Möbius strip can be seen as a line bundle over the circle S¹ (by identifying open intervals with the real line). It is, however, different from the cylinder S¹ × R, because the latter is orientable whereas the former is not.^[91]

Properties of certain vector bundles provide information about the underlying topological space. For example, the tangent bundle consists of the collection of tangent spaces parametrized by the points of a differentiable manifold. The tangent bundle of the circle S¹ is globally isomorphic to S¹ × R, since there is a global nonzero vector field on S¹.^{[nb 12]} In contrast, by the hairy ball theorem, there is no (tangent) vector field on the 2-sphere S² which is everywhere nonzero.^[92] K-theory studies the isomorphism classes of all vector bundles over some topological space.^[93] In addition to deepening topological and geometrical insight, it has purely algebraic consequences, such as the classification of finite-dimensional real division algebras: R, C, the quaternions H and the octonions O.

The cotangent bundle of a differentiable manifold consists, at every point of the manifold, of the dual of the tangent space, the cotangent space. Sections of that bundle are known as differential one-forms.

Modules are to rings what vector spaces are to fields: the same axioms, applied to a ring R instead of a field F, yield modules.^[94] The theory of modules, compared to that of vector spaces, is complicated by the presence of ring elements that do not have multiplicative inverses. For example, modules need not have bases, as the Z-module (that is, abelian group) Z/2Z shows; those modules that do (including all vector spaces) are known as free modules. Nevertheless, a vector space can be compactly defined as a module over a ring which is a field, with the elements being called vectors. Some authors use the term vector space to mean modules over a division ring.^[95] The algebro-geometric interpretation of commutative rings via their spectrum allows the development of concepts such as locally free modules, the algebraic counterpart to vector bundles.

Roughly, affine spaces are vector spaces whose origins are not specified.^[96] More precisely, an affine space is a set with a free transitive vector space action. In particular, a vector space is an affine space over itself, by the map $${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$ If W is a vector space, then an affine subspace is a subset of W obtained by translating a linear subspace V by a fixed vector x ∈ W; this space is denoted by x + V (it is a coset of V in W) and consists of all vectors of the form x + v for v ∈ V. An important example is the space of solutions of a system of inhomogeneous linear equations $${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$ generalizing the homogeneous case discussed in the above section on linear equations, which can be found by setting ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$ in this equation.^[97] The space of solutions is the affine subspace x + V where x is a particular solution of the equation, and V is the space of solutions of the homogeneous equation (the nullspace of A).

The set of one-dimensional subspaces of a fixed finite-dimensional vector space V is known as projective space; it may be used to formalize the idea of parallel lines intersecting at infinity.^[98] Grassmannians and flag manifolds generalize this by parametrizing linear subspaces of fixed dimension k and flags of subspaces, respectively.

• "Espacio vectorial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]