Base ortogonal

En matemáticas , en particular en álgebra lineal , una base ortogonal para un espacio de producto interno es una base cuyos vectores son mutuamente ortogonales . Si los vectores de una base ortogonal se normalizan , la base resultante es una base ortonormal . ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización V}$

Cualquier base ortogonal puede utilizarse para definir un sistema de coordenadas ortogonales. Las bases ortogonales (no necesariamente ortonormales) son importantes debido a su apariencia a partir de coordenadas ortogonales curvilíneas en espacios euclidianos , así como en variedades riemannianas y pseudo-riemannianas . ${\estilo de visualización V.}$

En el análisis funcional , una base ortogonal es cualquier base obtenida a partir de una base ortonormal (o base de Hilbert) utilizando la multiplicación por escalares distintos de cero .

El concepto de base ortogonal es aplicable a un espacio vectorial (sobre cualquier cuerpo ) dotado de una forma bilineal simétrica ⁠ ⁠ , donde la ortogonalidad de dos vectores y significa ⁠ ⁠ . Para una base ortogonal ⁠ ⁠ : donde es una forma cuadrática asociada con (en un espacio de producto interno, ⁠ ⁠ ). ${\estilo de visualización V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización w}$${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$${\displaystyle \izquierda\{e_{k}\derecha\}}$$${\displaystyle \langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}}$$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle :}$ ${\displaystyle q(v)=\langle v,v\rangle }$${\displaystyle q(v)=\Vert v\Vert ^{2}}$

Por lo tanto, para una base ortogonal ⁠ ⁠${\displaystyle \izquierda\{e_{k}\derecha\}}$ , donde y son componentes de y en la base. $${\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _ {k}q(e_ {k})v_ {k}w_ {k},}$$$Estilo de visualización v_ {k}$$estilo de visualización w_ {k}}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización w}$

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a un espacio vectorial sobre cualquier cuerpo de característica distinta de 2 dotado de una forma cuadrática ⁠ ⁠${\estilo de visualización q(v)}$ . Partiendo de la observación de que, cuando la característica del cuerpo subyacente no es 2, la forma bilineal simétrica asociada permite definir los vectores y como ortogonales respecto de cuando ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$

• Base (álgebra lineal)  : conjunto de vectores utilizados para definir coordenadas
• Base ortonormal  – Base lineal específica (matemáticas)
• Marco ortonormal  : espacio euclidiano sin distancias ni ángulos
• Base Schauder  – Herramienta computacional
• Conjunto total  : subconjunto de un espacio vectorial topológico cuyo espacio lineal es densoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (cuarta edición corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . pag. 6.ISBN​ 3-540-06009-X.Zbl 0292.10016  .

• Weisstein, Eric W. "Base ortogonal". MundoMatemático .