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Vector unitario

En matemáticas , un vector unitario en un espacio vectorial normado es un vector (a menudo un vector espacial ) de longitud 1. Un vector unitario se suele denotar con una letra ...

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En matemáticas , un vector unitario en un espacio vectorial normado es un vector (a menudo un vector espacial ) de longitud 1. Un vector unitario se suele denotar con una letra minúscula con acento circunflejo , o "sombrero", como env^{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}(se pronuncia "v-hat"). El término vector normalizado se utiliza a veces como sinónimo de vector unitario .

El vector normalizado û de un vector no nulo u es el vector unitario en la dirección de u , es decir,

tú^=tú‖tú‖=(tú1‖tú‖,tú2‖tú‖,...,túnorte‖tú‖){\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}=\left({\frac {u_{1}}{\|\mathbf {u} \|}},{\frac {u_{2}}{\|\mathbf {u} \|}},...,{\frac {u_{n}}{\|\mathbf {u} \|}}\right)}

donde ‖ u ‖ es la norma (o longitud) de u ytú=(tú1,tú2,...,túnorte){\textstyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{n})}. [ 1 ] [ 2 ]

La prueba es la siguiente:‖tú^‖=tú1tú12+...+túnorte22+...+túnortetú12+...+túnorte22=tú12+...+túnorte2tú12+...+túnorte2=1=1{\textstyle \|\mathbf {\hat {u}} \|={\sqrt {{\frac {u_{1}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}+...+{\frac {u_{n}}{\sqrt {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}^{2}}}={\sqrt {\frac {u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}{u_{1}^{2}+...+u_{n}^{2}}}}={\sqrt {1}}=1}

Un vector unitario se usa frecuentemente para representar direcciones , como las direcciones normales . Los vectores unitarios suelen elegirse para formar la base de un espacio vectorial, y cada vector en dicho espacio puede escribirse como una combinación lineal de vectores unitarios.

Coordenadas ortogonales

Coordenadas cartesianas

Los vectores unitarios pueden usarse para representar los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas . Por ejemplo, los vectores unitarios estándar en la dirección de los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional son:

incógnita^=[100],y^=[010],z^=[001]{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}

Forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales , que en álgebra lineal se conocen comúnmente como base estándar .

A menudo se denotan utilizando la notación vectorial común (por ejemplo, x oincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}}) en lugar de la notación estándar de vector unitario (por ejemplo, x̂ ). En la mayoría de los contextos se puede asumir que x , y y z , (oincógnita→,{\displaystyle {\vec {x}},}y→,{\displaystyle {\vec {y}},}yz→{\displaystyle {\vec {z}}}) son versores de un sistema de coordenadas cartesianas 3-D . También se utilizan las notaciones ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 ), ( ê x , ê y , ê z ), o ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ), con o sin sombrero , [ 1 ] particularmente en contextos donde i , j , k podría llevar a confusión con otra cantidad (por ejemplo, con símbolos de índice como i , j , k , que se utilizan para identificar un elemento de un conjunto o matriz o secuencia de variables).

Cuando un vector unitario en el espacio se expresa en notación cartesiana como una combinación lineal de x , y , z , sus tres componentes escalares se denominan cosenos directores . El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo formado por el vector unitario con el vector base correspondiente. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación (posición angular) de una línea recta, un segmento de línea recta, un eje orientado o un segmento de eje orientado ( vector ).

Coordenadas cilíndricas

Los tres vectores unitarios ortogonales apropiados para la simetría cilíndrica son:

  • ρ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}(también designadomi^{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }os^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}), que representa la dirección a lo largo de la cual se mide la distancia del punto al eje de simetría;
  • φ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}, que representa la dirección del movimiento que se observaría si el punto girara en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje de simetría ;
  • z^{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }, que representa la dirección del eje de simetría;

Están relacionados con la base cartesiana.incógnita^{\displaystyle {\hat {x}}},y^{\displaystyle {\hat {y}}},z^{\displaystyle {\hat {z}}}por:

ρ^=porque⁡(φ)incógnita^+pecado⁡(φ)y^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
φ^=−pecado⁡(φ)incógnita^+porque⁡(φ)y^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
z^=z^.{\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}

Los vectoresρ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}yφ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}son funciones deφ,{\displaystyle \varphi ,}y no son constantes en dirección. Al diferenciar o integrar en coordenadas cilíndricas, también se debe operar sobre estos vectores unitarios. Las derivadas con respecto aφ{\displaystyle \varphi }son:

∂ρ^∂φ=−pecado⁡φincógnita^+porque⁡φy^=φ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂φ^∂φ=−porque⁡φincógnita^−pecado⁡φy^=−ρ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}
∂z^∂φ=0.{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}

Coordenadas esféricas

Los vectores unitarios apropiados para la simetría esférica son:r^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }, la dirección en la que aumenta la distancia radial desde el origen;φ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}, la dirección en la que el ángulo en el plano x - y en sentido antihorario desde el eje x positivo está aumentando; yθ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}, la dirección en la que el ángulo desde el eje z positivo está aumentando. Para minimizar la redundancia de representaciones, el ángulo polarθ{\displaystyle \theta }Por lo general, se considera que está entre cero y 180 grados. Es especialmente importante tener en cuenta el contexto de cualquier triplete ordenado escrito en coordenadas esféricas , ya que los roles deφ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}yθ^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}A menudo se invierten. Aquí se utiliza la convención de "física" estadounidense [ 3 ] . Esto deja el ángulo azimutal.φ{\displaystyle \varphi }Definidas de la misma manera que en coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son:

r^=pecado⁡θporque⁡φincógnita^+pecado⁡θpecado⁡φy^+porque⁡θz^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }
θ^=porque⁡θporque⁡φincógnita^+porque⁡θpecado⁡φy^−pecado⁡θz^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }
φ^=−pecado⁡φincógnita^+porque⁡φy^{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }

Los vectores unitarios esféricos dependen de ambosφ{\displaystyle \varphi }yθ{\displaystyle \theta }y, por lo tanto, existen 5 derivadas posibles distintas de cero. Para una descripción más completa, consulte la matriz jacobiana y el determinante . Las derivadas distintas de cero son:

∂r^∂φ=−pecado⁡θpecado⁡φincógnita^+pecado⁡θporque⁡φy^=pecado⁡θφ^{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂r^∂θ=porque⁡θporque⁡φincógnita^+porque⁡θpecado⁡φy^−pecado⁡θz^=θ^{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}
∂θ^∂φ=−porque⁡θpecado⁡φincógnita^+porque⁡θporque⁡φy^=porque⁡θφ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂θ^∂θ=−pecado⁡θporque⁡φincógnita^−pecado⁡θpecado⁡φy^−porque⁡θz^=−r^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }
∂φ^∂φ=−porque⁡φincógnita^−pecado⁡φy^=−pecado⁡θr^−porque⁡θθ^{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

Vectores unitarios generales

Los temas comunes de los vectores unitarios aparecen en toda la física y la geometría : [ 4 ]

Coordenadas curvilíneas

En general, un sistema de coordenadas puede especificarse de forma única mediante una serie de vectores unitarios linealmente independientes.mi^norte{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}[ 1 ] (el número real es igual a los grados de libertad del espacio). Para el espacio tridimensional ordinario, estos vectores pueden denotarsemi^1,mi^2,mi^3{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}Casi siempre resulta conveniente definir el sistema como ortonormal y diestro :

mi^i⋅mi^j=δij{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}
mi^i⋅(mi^j×mi^k)=εijk{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}

dóndeδij{\displaystyle \delta _{ij}}es la delta de Kronecker (que es 1 para i = j , y 0 en caso contrario) y εijk{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}es el símbolo de Levi-Civita (que es 1 para permutaciones ordenadas como ijk y −1 para permutaciones ordenadas como kji ).

Versor derecho

Un vector unitario enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}WR Hamilton lo denominó un versor derecho , mientras desarrollaba sus cuaterniones.H⊂R4{\displaystyle \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}}De hecho, él fue el creador del término vector , ya que todo cuaterniónq=s+v{\displaystyle q=s+v}tiene una parte escalar s y una parte vectorial v . Si v es un vector unitario enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, entonces el cuadrado de v en cuaterniones es −1. Por lo tanto, según la fórmula de Euler ,exp⁡(θv)=porque⁡θ+vpecado⁡θ{\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta }es un versor en la 3-esfera . Cuando θ es un ángulo recto , el versor es un versor derecho: su parte escalar es cero y su parte vectorial v es un vector unitario enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Así, los versores derechos extienden la noción de unidades imaginarias que se encuentran en el plano complejo , donde los versores derechos ahora abarcan la esfera bidimensional.S2⊂R3⊂H{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} }en lugar del par { i , − i } en el plano complejo.

Por extensión, un cuaternión derecho es un múltiplo real de un versor derecho.

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 Weisstein, Eric W. "Vector unitario" . Wolfram MathWorld . Recuperado el 19 de agosto de 2020 .
  2. ↑ "Vectores unitarios" . Brilliant Math & Science Wiki . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
  3. ↑ Tevian Dray y Corinne A. Manogue, Coordenadas esféricas, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
  4. ↑ F. Ayres; E. Mendelson (2009). Cálculo (Serie de esquemas de Schaum) (5.ª ed.). McGraw Hill. ISBN  978-0-07-150861-2.
  5. ↑ MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (Serie de esquemas de Schaum) (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN  978-0-07-161545-7.

Referencias

  • GB Arfken y HJ Weber (2000). Métodos matemáticos para físicos (5.ª  ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
  • Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Manual matemático de fórmulas y tablas (2.ª  ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
  • Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª  ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.