Matriz identidad

En álgebra lineal , la matriz identidad de tamaño${\displaystyle n}$es el${\displaystyle n\times n}$Matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Posee propiedades únicas; por ejemplo, cuando la matriz identidad representa una transformación geométrica , el objeto permanece inalterado por dicha transformación. En otros contextos, es análoga a multiplicar por el número 1.

La matriz identidad se suele denotar por${\displaystyle I_{n}}$, o simplemente por${\displaystyle I}$si el tamaño es irrelevante o puede determinarse trivialmente por el contexto. ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

El término matriz identidad también se ha utilizado ampliamente, ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} pero el término matriz identidad es ahora el estándar. ^{[ 6 ]} El término matriz identidad es ambiguo, porque también se utiliza para una matriz de unos y para cualquier unidad del anillo de todos${\displaystyle n\times n}$matrices . ^{[ 7 ]}

En algunos campos, como la teoría de grupos o la mecánica cuántica , la matriz identidad a veces se denota con un uno en negrita,${\displaystyle \mathbf {1} }$, o llamado "id" (abreviatura de identidad). Con menos frecuencia, algunos libros de matemáticas utilizan${\displaystyle U}$o${\displaystyle E}$para representar la matriz identidad, que significa "matriz unitaria" ^{[ 2 ]} y la palabra alemana Einheitsmatrix respectivamente. ^{[ 8 ]}

En términos de una notación que a veces se usa para describir concisamente matrices diagonales , la matriz identidad se puede escribir como $${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$$ La matriz identidad también se puede escribir utilizando la notación delta de Kronecker : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$$

Cuando${\displaystyle A}$es un${\displaystyle m\times n}$matriz, es una propiedad de la multiplicación de matrices que $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$$ En particular, la matriz identidad sirve como la identidad multiplicativa del anillo de matrices de todos${\displaystyle n\times n}$matrices, y como elemento identidad del grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$, que consta de todos los invertibles${\displaystyle n\times n}$Matrices sometidas a la operación de multiplicación matricial. En particular, la matriz identidad es invertible. Es una matriz involutiva , igual a su propia inversa. En este grupo, dos matrices cuadradas tienen como producto la matriz identidad precisamente cuando son inversas entre sí.

Cuando${\displaystyle n\times n}$Las matrices se utilizan para representar transformaciones lineales de una${\displaystyle n}$espacio vectorial de -dimensiones a sí mismo, la matriz identidad${\displaystyle I_{n}}$representa la función identidad , para cualquier base que se haya utilizado en esta representación.

El${\displaystyle i}$La columna -ésima de una matriz identidad es el vector unitario.${\displaystyle e_{i}}$, un vector cuyo${\displaystyle i}$La entrada es 1 y 0 en los demás casos. El determinante de la matriz identidad es  1 y su traza es${\displaystyle n}$.

La matriz identidad es la única matriz idempotente con determinante distinto de cero. Es decir, es la única matriz tal que:

1. Cuando se multiplica por sí mismo, el resultado es él mismo.
2. Todas sus filas y columnas son linealmente independientes .

La raíz cuadrada principal de una matriz identidad es ella misma, y ​​esta es su única raíz cuadrada definida positiva . Sin embargo, toda matriz identidad con al menos dos filas y dos columnas tiene una infinidad de raíces cuadradas simétricas. ^{[ 9 ]}

El rango de una matriz identidad${\displaystyle I_{n}}$igual al tamaño${\displaystyle n}$, es decir: $${\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}$$

• Matriz binaria (matriz de ceros y unos)
• Matriz elemental
• Matriz de intercambio
• Matriz de unos
• Matrices de Pauli (la matriz identidad es la matriz de Pauli de orden cero).
• Transformación de Householder (la matriz de Householder se construye a través de la matriz identidad).
• Raíz cuadrada de una matriz identidad de 2x2
• Matriz unitaria
• Matriz cero