Matriz de unos

En matemáticas , una matriz de unos o una matriz de todos unos tiene cada entrada igual a uno . ^[1] A continuación se ofrecen ejemplos de notación estándar:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Algunas fuentes denominan a la matriz de todos unos matriz unidad , ^[2] pero ese término también puede referirse a la matriz identidad , un tipo diferente de matriz.

Un vector de unos o un vector de todos unos es una matriz de unos que tiene forma de fila o columna ; no debe confundirse con los vectores unitarios .

Para una matriz n  ×  n de unos J , se cumplen las siguientes propiedades:

• La traza de J es igual a n , ^[3] y el determinante es igual a 0 para n ≥ 2, pero es igual a 1 si n = 1.
• El polinomio característico de J es .$Estilo de visualización (xn)x^{n-1}}$
• El polinomio mínimo de J es .$Estilo de visualización x^{2}-nx$
• El rango de J es 1 y los valores propios son n con multiplicidad 1 y 0 con multiplicidad n − 1. [ ^4]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$para ^[5]${\displaystyle k=1,2,\lpuntos .}$
• J es el elemento neutro del producto Hadamard . ^[6]

Cuando J se considera como una matriz sobre los números reales , se cumplen las siguientes propiedades adicionales:

• J es una matriz semidefinida positiva .
• La matriz es idempotente . ^[5]${\displaystyle {\frac {1}{n}}J}$
• La matriz exponencial de J es${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

La matriz de todos unos surge en el campo matemático de la combinatoria , particularmente en la aplicación de métodos algebraicos a la teoría de grafos . Por ejemplo, si A es la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido de n vértices G , y J es la matriz de todos unos de la misma dimensión, entonces G es un grafo regular si y solo si AJ  =  JA . ^[7] Como segundo ejemplo, la matriz aparece en algunas pruebas algebraicas lineales de la fórmula de Cayley , que da el número de árboles de expansión de un grafo completo , utilizando el teorema del árbol de matrices .

• Matriz cero , una matriz donde todas las entradas son cero
• Matriz de entrada única