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En matemáticas , una función identidad , también llamada relación identidad , mapa identidad o transformación identidad , es una función que siempre devuelve el valor que se utilizó como argumento , sin cambios. Es decir, cuando f es la función identidad, la igualdad f ( x )= x es verdadera para todos los valores de x a los que se puede aplicar f .
Definición
Formalmente, si X es un conjunto , la función identidad f en X se define como una función con X como su dominio y codominio , que satisface
En otras palabras, el valor de la función f ( x ) en el codominio X es siempre el mismo que el elemento de entrada x en el dominio X . La función identidad en X es claramente una función inyectiva así como una función sobreyectiva (su codominio es también su rango ), por lo que es biyectiva . [2]
La función identidad f en X a menudo se denota por id X.
En la teoría de conjuntos , donde una función se define como un tipo particular de relación binaria , la función identidad está dada por la relación identidad o diagonal de X. [3 ]
Propiedades algebraicas
Si f : X → Y es cualquier función, entonces f ∘ id X = f = id Y ∘ f , donde "∘" denota composición de funciones . [4] En particular, id X es el elemento identidad del monoide de todas las funciones desde X hasta X (bajo composición de funciones).
Dado que el elemento identidad de un monoide es único , [5] se puede definir alternativamente la función identidad en M como este elemento identidad. Esta definición se generaliza al concepto de morfismo identidad en la teoría de categorías , donde los endomorfismos de M no necesitan ser funciones.
Propiedades
- La función identidad es un operador lineal cuando se aplica a espacios vectoriales . [6]
- En un espacio vectorial de n dimensiones , la función identidad está representada por la matriz identidad I n , independientemente de la base elegida para el espacio. [7]
- La función identidad de los números enteros positivos es una función completamente multiplicativa (esencialmente la multiplicación por 1), considerada en la teoría de números . [8]
- En un espacio métrico la función identidad es trivialmente una isometría . Un objeto sin simetría alguna tiene como grupo de simetría el grupo trivial que contiene sólo esta isometría (tipo de simetría C 1 ). [9]
- En un espacio topológico , la función identidad es siempre continua . [10]
- La función identidad es idempotente . [11]
Véase también
Referencias
- ^ Knapp, Anthony W. (2006), Álgebra básica , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
- ^ Mapa, Sadhan Kumar (7 de abril de 2014). Álgebra superior abstracta y lineal (11.ª ed.). Sarat Book House. pág. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
- ^ Actas de simposios sobre matemáticas puras. Sociedad Americana de Matemáticas. 1974. p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3...
entonces el conjunto diagonal determinado por M es la relación identidad...
- ^ Nel, Louis (2016). Teoría de la continuidad. pág. 21. doi :10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3.
- ^ Rosales, JC; García-Sánchez, PA (1999). Monoides conmutativos finitamente generados. Editores Nova. pag. 1.ISBN 978-1-56072-670-8
El elemento 0 se suele denominar elemento identidad y, si existe, es único
. - ^ Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9.ª ed.), Wiley International
- ^ TS Shores (2007). Álgebra lineal aplicada y análisis matricial. Textos de pregrado en matemáticas. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
- ^ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Teoría de números a través de la investigación . Libros de texto de la Asociación Matemática de Estados Unidos. Asociación Matemática de Estados Unidos. ISBN 978-0883857519.
- ^ James W. Anderson , Geometría hiperbólica , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
- ^ Conover, Robert A. (21 de mayo de 2014). Un primer curso de topología: Introducción al pensamiento matemático. Courier Corporation. pág. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
- ^ Conferencias, Ingeniería de verano de la Universidad de Michigan (1968). Fundamentos de la ingeniería de sistemas de información.
Vemos que un elemento identidad de un semigrupo es idempotente.
