Morfismo

En matemáticas , un morfismo es un concepto de la teoría de categorías que generaliza las aplicaciones que preservan la estructura, como el homomorfismo entre estructuras algebraicas , las funciones de un conjunto a otro y las funciones continuas entre espacios topológicos . Si bien muchos ejemplos de morfismos son aplicaciones que preservan la estructura, no necesariamente son aplicaciones, sino que pueden componerse de forma similar a la composición de funciones .

Los morfismos y los objetos son constituyentes de una categoría . Los morfismos, también llamados mapas o flechas , relacionan dos objetos denominados origen y destino del morfismo. Existe una operación parcial , llamada composición , sobre los morfismos de una categoría, que se define si el destino del primer morfismo es igual al origen del segundo. La composición de morfismos se comporta como la composición de funciones ( asociatividad de la composición cuando está definida y existencia de un morfismo identidad para cada objeto), y el resultado de la composición es un morfismo.

Los morfismos y las categorías son recurrentes en gran parte de las matemáticas contemporáneas. Originalmente, se introdujeron para el álgebra homológica y la topología algebraica . Forman parte de las herramientas fundamentales de la teoría de esquemas de Grothendieck , una generalización de la geometría algebraica que también se aplica a la teoría algebraica de números .

Definición

Una categoría ${\mathcal {C}}$ consta de dos clases , una de objetos y otra de morfismos . Hay dos objetos que están asociados a cada morfismo, la fuente y el destino . Un morfismo $f$ de $X$ a $Y$ es un morfismo con fuente $X$ y objetivo $Y$ ; comúnmente se escribe como $f:X\to Y$ o $X\xrightarrow {f} Y$ , siendo esta última forma más adecuada para diagramas conmutativos .

Para muchas categorías comunes, un objeto es un conjunto (a menudo con alguna estructura adicional) y un morfismo es una función de un objeto a otro. Por lo tanto, la fuente y el destino de un morfismo a menudo se denominandominio ycodominio respectivamente.

Morphisms are equipped with a partial binary operation, called composition (partial because the composition is not necessarily defined over every pair of morphisms of a category). The composition of two morphisms $f$ and $g$ is defined precisely when the target of $f$ is the source of $g$ , and is denoted $g\circ f$ (or sometimes simply $gf$ ). The outcome of the composition is a morphism such that the source of $g\circ f$ is the source of $f$ , and the target of $g\circ f$ is the target of $g$ . The composition satisfies two axioms:

Identity: For every object $X$ , there exists a morphism $\mathrm {id} _{X}:X\to X$ called the identity morphism on $X$ , such that for every morphism $f:A\to B$ we have $\mathrm {id} _{B}\circ f=f=f\circ \mathrm {id} _{A}$ .
Associativity: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ whenever all the compositions are defined, i.e. when the target of $f$ is the source of $g$ , and the target of $g$ is the source of $h$ .

For a concrete category (a category in which the objects are sets, possibly with additional structure, and the morphisms are structure-preserving functions), the identity morphism is just the identity function, and composition is just ordinary composition of functions.

The composition of morphisms is often represented by a commutative diagram. For example,

The collection of all morphisms from $X$ to $Y$ is denoted $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ or simply $\mathrm {Hom} (X,Y)$ and called the hom-set between $X$ and $Y$ . Some authors write $\mathrm {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ , $\mathrm {Mor} (X,Y)$ or ${\mathcal {C}}(X,Y)$ . The term hom-set is something of a misnomer, as the collection of morphisms is not required to be a set; a category where $\mathrm {Hom} (X,Y)$ is a set for all objects $X$ and $Y$ is called locally small. Because hom-sets may not be sets, some people prefer to use the term "hom-class".

The domain and codomain are in fact part of the information determining a morphism. For example, in the category of sets, where morphisms are functions, two functions may be identical as sets of ordered pairs, while having different codomains. The two functions are distinct from the viewpoint of category theory. Many authors require that the hom-classes $\mathrm {Hom} (X,Y)$ be disjoint. In practice, this is not a problem because if this disjointness does not hold, it can be assured by appending the domain and codomain to the morphisms (say, as the second and third components of an ordered triple).

Some special morphisms

Monomorphisms and epimorphisms

A morphism $f:X\to Y$ is called a monomorphism if $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ implies $g_{1}=g_{2}$ for all morphisms $g_{1},g_{2}:Z\to X$ . A monomorphism can be called a mono for short, and we can use monic as an adjective.^[1] A morphism $f$ has a left inverse or is a split monomorphism if there is a morphism $g:Y\to X$ such that $g\circ f=\mathrm {id} _{X}$ . Thus $f\circ g:Y\to Y$ is idempotent; that is, $(f\circ g)^{2}=f\circ (g\circ f)\circ g=f\circ g$ . The left inverse $g$ también se denomina retracción de $f$ . ^{[ 1 ]}

Los morfismos con inversos izquierdos son siempre monomorfismos ( $f_{l}^{-1}\circ f\circ g_{1}=f_{l}^{-1}\circ f\circ g_{2}$ implica $g_{1}=g_{2}$ , dónde $f_{l}^{-1}$ es la inversa izquierda de $f$ ), pero lo contrario no es cierto en general; un monomorfismo puede no tener un inverso izquierdo. En categorías concretas , donde los morfismos son funciones, un morfismo que tiene un inverso izquierdo es inyectivo , y un morfismo que es inyectivo es un monomorfismo. En categorías concretas, los monomorfismos suelen ser inyectivos, pero no siempre; por lo tanto, la condición de ser una inyección es más fuerte que la de ser un monomorfismo, pero más débil que la de ser un monomorfismo escindido.

De manera dual a los monomorfismos, un morfismo $f:X\to Y$ se denomina epimorfismo si $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ implica $g_{1}=g_{2}$ para todos los morfismos $g_{1},g_{2}:Y\to Z$ . Un epimorfismo puede llamarse epi para abreviar, y podemos usar épico como adjetivo. ^{[ 1 ]} Un morfismo $f$ tiene un inverso derecho o es un epimorfismo dividido si hay un morfismo $g:Y\to X$ de tal manera que $f\circ g=\mathrm {id} _{Y}$ . El inverso derecho $g$ también se le llama una sección de $f$ . ^{[ 1 ]} Los morfismos que tienen un inverso derecho son siempre epimorfismos ( $g_{1}\circ f\circ f_{r}^{-1}=g_{2}\circ f\circ f_{r}^{-1}$ implica $g_{1}=g_{2}$ dónde $f_{r}^{-1}$ es el inverso derecho de $f$ ), pero lo contrario no es cierto en general, ya que un epimorfismo puede no tener un inverso derecho.

Si un monomorfismo $f$ divisiones con inversión izquierda $g$ , entonces $g$ es un epimorfismo dividido con inversa derecha $f$ En categorías concretas , una función que tiene una inversa derecha es sobreyectiva . ^{[ 2 ]} Por lo tanto, en categorías concretas, los epimorfismos suelen ser sobreyectivos, pero no siempre. La condición de ser una sobreyección es más fuerte que la de ser un epimorfismo, pero más débil que la de ser un epimorfismo escindido. En la categoría de conjuntos , la afirmación de que toda sobreyección tiene una sección es equivalente al axioma de elección .

Un morfismo que es a la vez un epimorfismo y un monomorfismo se llama bimorfismo .

Por ejemplo, en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo, los morfismos inyectivos, los monomorfismos y los monomorfismos escindidos son lo mismo, al igual que los morfismos sobreyectivos, los epimorfismos y los epimorfismos escindidos.

En la categoría de anillos conmutativos , los monomorfismos y los morfismos inyectivos son lo mismo, mientras que la inyección desde $\mathbb {Z}$ en $\mathbb {Q}$ Es un epimorfismo no sobreyectivo; no es ni un epimorfismo escindido ni un monomorfismo escindido. (Véase Homomorfismo#Homomorfismos especiales para más detalles y demostraciones).

Isomorfismos

Un morfismo $f:X\to Y$ Se denomina isomorfismo si existe un morfismo. $g:Y\to X$ de tal manera que $f\circ g=\mathrm {id} _{Y}$ y $g\circ f=\mathrm {id} _{X}$ . Si un morfismo tiene tanto inverso izquierdo como inverso derecho, entonces los dos inversos son iguales, por lo que $f$ es un isomorfismo y $g$ se llama simplemente el inverso de $f$ Los morfismos inversos, si existen, son únicos. El inverso $g$ es también un isomorfismo, con inversa $f$ Se dice que dos objetos que tienen un isomorfismo entre ellos son isomorfos o equivalentes.

Si bien todo isomorfismo es un bimorfismo, un bimorfismo no es necesariamente un isomorfismo. Por ejemplo, en la categoría de anillos conmutativos, la inclusión $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ es un bimorfismo que no es un isomorfismo. Sin embargo, cualquier morfismo que sea a la vez un epimorfismo y un monomorfismo escindido , o ambos , debe ser un isomorfismo. Una categoría, como un Set , en la que todo bimorfismo es un isomorfismo se conoce como categoría balanceada .

Endomorfismos y automorfismos

Un morfismo $f:X\to X$ (es decir, un morfismo con fuente y destino idénticos) es un endomorfismo de $X$ Un endomorfismo dividido es un endomorfismo idempotente . $f$ si $f$ admite una descomposición $f=h\circ g$ con $g\circ h=\mathrm {id}$ . En particular, la envoltura de Karoubi de una categoría divide todo morfismo idempotente.

Un automorfismo es un morfismo que es a la vez endomorfismo e isomorfismo. En cada categoría, los automorfismos de un objeto siempre forman un grupo , llamado grupo de automorfismos del objeto.

Ejemplos

Para las estructuras algebraicas comúnmente consideradas en álgebra , como grupos , anillos , módulos , etc., los morfismos suelen ser homomorfismos , y las nociones de isomorfismo, automorfismo, endomorfismo, epimorfismo y monomorfismo son las mismas que las definidas anteriormente. Sin embargo, en el caso de los anillos, "epimorfismo" se suele considerar sinónimo de " sobreyección ", aunque existen epimorfismos de anillos que no son sobreyectivos (por ejemplo, al incrustar los números enteros en los números racionales ).
En la categoría de espacios topológicos , a menudo denotado $\mathbf {Top}$ Los morfismos son funciones continuas y los isomorfismos se denominan homeomorfismos . Existen biyecciones continuas (es decir, isomorfismos de conjuntos) que no son homeomorfismos.
En la categoría de variedades diferenciables , los morfismos son las funciones diferenciables y los isomorfismos se denominan difeomorfismos .
En la categoría de categorías pequeñas , los morfismos son functores .
En una categoría de funtores , los morfismos son transformaciones naturales .

Para ver más ejemplos, consulte la teoría de categorías .

Véase también

Notas

1 2 3 4 Jacobson (2009), pág. 15.
↑ "Sobreyección si y solo si es cancelable por la derecha" . ProofWiki . Consultado el 30 de junio de 2025 .

Referencias

Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.Ya disponible como edición digital gratuita (PDF de 4,2 MB).

Enlaces externos

"Morfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[jacobson:morphisms-1] 1 2 3 4 Jacobson (2009), pág. 15.

[2] "Sobreyección si y solo si es cancelable por la derecha" . ProofWiki . Consultado el 30 de junio de 2025 .

[ 2 ]