Categoría (matemáticas)

En matemáticas , una categoría (a veces llamada categoría abstracta para distinguirla de una categoría concreta ) es una colección de "objetos" que están vinculados por "flechas". Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha identidad para cada objeto. Un ejemplo sencillo es la categoría de conjuntos , cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son funciones .

La teoría de categorías es una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las matemáticas en términos de categorías, independientemente de lo que representen sus objetos y flechas. Prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas pueden describirse en términos de categorías, y al hacerlo, a menudo se revelan profundas ideas y similitudes entre áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. De este modo, la teoría de categorías proporciona una base alternativa para las matemáticas frente a la teoría de conjuntos y otros fundamentos axiomáticos propuestos. En general, los objetos y las flechas pueden ser entidades abstractas de cualquier tipo, y la noción de categoría proporciona una manera fundamental y abstracta de describir las entidades matemáticas y sus relaciones.

Además de formalizar las matemáticas, la teoría de categorías también se utiliza para formalizar muchos otros sistemas en la informática , como la semántica de los lenguajes de programación .

Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas y el mismo método asociativo para componer cualquier par de flechas. Dos categorías diferentes también pueden considerarse " equivalentes " a efectos de la teoría de categorías, aunque no tengan exactamente la misma estructura. Una correspondencia entre dos categorías compatible con sus respectivas estructuras se denomina functor .

Las categorías conocidas se denotan mediante una palabra corta en mayúsculas o una abreviatura en negrita o cursiva: ejemplos incluyen Set , la categoría de conjuntos y funciones de conjuntos ; Ring , la categoría de anillos y homomorfismos de anillos ; y Top , la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas . Todas las categorías anteriores tienen la aplicación identidad como flechas identidad y la composición como la operación asociativa sobre flechas. Cualquier monoide puede entenderse como un tipo especial de categoría (con un solo objeto cuyos automorfismos están representados por los elementos del monoide), y también cualquier preorden .

El texto clásico y aún muy utilizado sobre teoría de categorías es *Categories for the Working Mathematician*, de Saunders Mac Lane . Otras referencias se incluyen en la sección de Referencias a continuación. Las definiciones básicas de este artículo se encuentran en los primeros capítulos de cualquiera de estos libros.

Existen muchas definiciones equivalentes de categoría. ^{[ 1 ]} Una definición comúnmente utilizada es la siguiente. Una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$consta de

• una clase${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$de objetos ,
• una clase${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$de morfismos o flechas ,
• una función de clase de dominio o de origen${\displaystyle \operatorname {dom}$ :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} ,
• una función de codominio o de clase objetivo${\displaystyle \operatorname {cod}$ :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} ,
• por cada tres objetos${\displaystyle a,b,c}$, una operación binaria${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)\times \operatorname {hom} (b,c)\to \operatorname {hom} (a,c)}$llamada composición de morfismos . Aquí${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$denota la subclase de morfismos${\displaystyle f}$en${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {dom} (f)=a}$y${\displaystyle \operatorname {cod} (f)=b}$Los morfismos en esta subclase están escritos${\displaystyle f:a\to b}$y el compuesto de${\displaystyle f:a\to b}$y${\displaystyle g:b\to c}$a menudo se escribe como${\displaystyle g\circ f}$o${\displaystyle gf}$.

de tal manera que se cumplen los siguientes axiomas:

• la ley asociativa : si${\displaystyle f:a\to b}$,${\displaystyle g:b\to c}$y${\displaystyle h:c\to d}$entonces${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$, y
• las leyes de la unidad izquierda y derecha : para cada objeto${\displaystyle x}$, existe un morfismo${\displaystyle 1_{x}:x\to x}$(algunos autores escriben${\displaystyle \operatorname {id} _{x}}$) llamado el morfismo identidad para${\displaystyle x}$, de tal manera que cada morfismo${\displaystyle f:a\to x}$Satisface${\displaystyle 1_{x}\circ f=f}$y cada morfismo${\displaystyle g:x\to b}$Satisface${\displaystyle g\circ 1_{x}=g}$.

Escribimos${\displaystyle f:a\to b}$y decimos "${\displaystyle f}$es un morfismo de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$". Escribimos${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$(o${\displaystyle \operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(a,b)}$cuando puede haber confusión sobre a qué categoría pertenece${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$se refiere) para denotar la clase hom de todos los morfismos de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$. ^{[ 2 ]}

Algunos autores escriben el compuesto de morfismos en "orden diagramático", escribiendo${\displaystyle f\,;g}$(a veces con ⨟ ^{[ 3 ]} ) o${\displaystyle fg}$en lugar de${\displaystyle g\circ f}$.

A partir de estos axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo identidad para cada objeto. A menudo, la aplicación que asigna a cada objeto su morfismo identidad se trata como una parte adicional de la estructura de una categoría, concretamente una función de clase.${\displaystyle i:\operatorname {ob} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$.

Algunos autores emplean una ligera variante de la definición en la que cada objeto se identifica con el morfismo identidad correspondiente. Esto se basa en la idea de que los datos fundamentales de las categorías son morfismos y no objetos. De hecho, las categorías pueden definirse sin referencia alguna a objetos, utilizando una operación binaria parcial con propiedades adicionales.

Una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$se llama pequeño si ambos${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$y${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$son en realidad conjuntos y no clases propiamente dichas , y grandes en otros casos. Una categoría localmente pequeña es una categoría tal que para todos los objetos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$, la clase hom${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$es un conjunto, llamado homset . Muchas categorías importantes en matemáticas (como la categoría de conjuntos), aunque no son pequeñas, son al menos localmente pequeñas. Dado que, en las categorías pequeñas, los objetos forman un conjunto, una categoría pequeña puede considerarse una estructura algebraica similar a un monoide , pero sin requerir propiedades de cierre . Las categorías grandes, por otro lado, pueden usarse para crear "estructuras" de estructuras algebraicas.

La clase de todos los conjuntos (como objetos) junto con todas las funciones entre ellos (como morfismos), donde la composición de morfismos es la composición de funciones usual , forma una categoría amplia, Set . Es la categoría más básica y la más utilizada en matemáticas. La categoría Rel consta de todos los conjuntos (como objetos) con relaciones binarias entre ellos (como morfismos). Abstraer a partir de relaciones en lugar de funciones produce alegorías , una clase especial de categorías.

Cualquier clase puede ser vista como una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos identidad. Dichas categorías se denominan discretas . Para cualquier conjunto dado${\displaystyle I}$, la categoría discreta en I es la pequeña categoría que tiene los elementos de${\displaystyle I}$como objetos y solo los morfismos identidad como morfismos.

Cualquier conjunto reservado${\displaystyle (P,\leq )}$forma una pequeña categoría, donde los objetos son los miembros de${\displaystyle P}$, los morfismos son flechas que apuntan desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$cuando${\displaystyle x\leq y}$La existencia de morfismos identidad y la composabilidad de los morfismos están garantizadas por la reflexividad y la transitividad del preorden. Para cualesquiera dos objetos, existe como máximo un morfismo de uno al otro (dicha categoría se denomina delgada ), y si${\displaystyle \leq }$Además, es antisimétrico , puede haber como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera. En particular, cualquier conjunto parcialmente ordenado y cualquier relación de equivalencia pueden verse como una categoría pequeña. Cualquier número ordinal puede verse como una categoría cuando se considera como un conjunto ordenado .

Cualquier monoide (cualquier estructura algebraica con una sola operación binaria asociativa y un elemento identidad ) forma una pequeña categoría con un solo objeto.${\displaystyle x}$. (Aquí,${\displaystyle x}$es cualquier conjunto fijo.) Los morfismos de${\displaystyle x}$a${\displaystyle x}$son precisamente los elementos del monoide, el morfismo identidad de${\displaystyle x}$es la identidad del monoide, y la composición categórica de morfismos viene dada por la operación de monoide. Varias definiciones y teoremas sobre monoides pueden generalizarse para categorías.

De manera similar, cualquier grupo puede ser visto como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible , es decir, para cada morfismo${\displaystyle f}$hay un morfismo${\displaystyle g}$que es inversa tanto a la izquierda como a la derecha${\displaystyle f}$bajo composición. Un morfismo que es invertible en este sentido se llama isomorfismo .

Un grupoide es una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo. Los grupoides son generalizaciones de grupos, acciones de grupo y relaciones de equivalencia . Desde el punto de vista de la teoría de categorías, un grupo es simplemente un grupoide con exactamente un objeto. Consideremos un espacio topológico.${\displaystyle X}$y fijar un punto de partida${\displaystyle x_{0}}$de${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$es el grupo fundamental del espacio topológico${\displaystyle X}$y el punto base${\displaystyle x_{0}}$y como conjunto tiene la estructura de grupo; si entonces se toma el punto base${\displaystyle x_{0}}$Recorrer todos los puntos de${\displaystyle X}$y toma la unión de todos${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$, entonces el conjunto resultante tiene solo la estructura de grupoide (llamado grupoide fundamental de${\displaystyle X}$Dos bucles (bajo la relación de equivalencia de homotopía ) pueden no tener el mismo punto base, por lo que no pueden multiplicarse entre sí. En el lenguaje de la teoría de categorías, esto significa que dos morfismos pueden no tener el mismo objeto fuente (o el mismo objeto objetivo, ya que en este caso para cualquier morfismo el objeto fuente y el objeto objetivo son el mismo: el punto base), por lo que no pueden componerse entre sí.

Cualquier grafo dirigido (o, más generalmente, un carcaj ) genera una pequeña categoría: los objetos son los vértices del grafo y los morfismos son los caminos en el grafo (con bucles según sea necesario), donde la composición de morfismos es la concatenación de caminos. Dicha categoría se denomina categoría libre generada por el grafo.

La clase de todos los conjuntos preordenados con funciones que preservan el orden (es decir, funciones monótonas crecientes) como morfismos forma una categoría, Ord . Es una categoría concreta , es decir, una categoría cuyos objetos pueden identificarse con conjuntos que poseen algún tipo de estructura adicional, mientras que los morfismos son funciones que respetan dicha estructura.

La clase de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos y composición de funciones como operación de composición forma una categoría grande, Grp . Like${\displaystyle \mathbf {Ord} }$,${\displaystyle \mathbf {Grp} }$es una categoría concreta. La categoría Ab , que consta de todos los grupos abelianos y sus homomorfismos de grupo, es una subcategoría completa de${\displaystyle \mathbf {Grp} }$y el prototipo de una categoría abeliana .

La clase de todos los grafos forma otra categoría concreta, donde los morfismos son homomorfismos de grafos (es decir, mapeos entre grafos que envían vértices a vértices y aristas a aristas de manera que se preserven todas las relaciones de adyacencia e incidencia).

En la siguiente tabla se muestran ejemplos de categorías concretas.

Los haces de fibras con mapas de haces entre ellos forman una categoría concreta.

La categoría Cat consta de todas las categorías pequeñas, con functores entre ellas como morfismos. A su vez, una categoría functor tiene como objetos functores entre dos categorías fijas y como morfismos transformaciones naturales entre ellas.

Cualquier categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$puede considerarse como una nueva categoría de otra manera: los objetos son los mismos que los de la categoría original, pero las flechas son las de la categoría original invertidas. Esto se denomina categoría dual u opuesta y se denota${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$.

Si${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle {\mathcal {D}}}$son categorías, se puede formar la categoría de producto${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$: los objetos son pares que constan de un objeto de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y uno de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$y los morfismos también son pares, que consisten en un morfismo en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y uno en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Dichos pares pueden componerse componente a componente .

Al identificar una colección de morfismos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$mediante una relación de equivalencia adecuada${\displaystyle \sim }$, se puede construir la categoría cociente${\displaystyle {\mathcal {C}}/\sim }$.

Para un objeto fijo${\displaystyle X}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, la categoría superior o categoría de segmento${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$consta de pares${\displaystyle (A,f)}$de un objeto${\displaystyle A}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y un morfismo${\displaystyle f:A\to X}$, con morfismos entre${\displaystyle (A,f)}$y${\displaystyle (A',f')}$dado por un morfismo${\displaystyle g:A\to B}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$compatible con los morfismos a${\displaystyle X}$, es decir${\displaystyle f'\circ g=f}$. La noción dual es la de una subcategoría o categoría cosección , y ambas son casos especiales de una construcción llamada categoría coma .

Dada una clase${\displaystyle W}$de morfismos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$la localización${\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}$convierte los morfismos de${\displaystyle W}$en isomorfismos (véase más abajo).

Un morfismo${\displaystyle f:a\to b}$se llama

• un monomorfismo (o mónico ) si es cancelable por la izquierda, es decir${\displaystyle fg_{1}=fg_{2}}$implica${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$para todos los morfismos${\displaystyle g_{1},g_{2}:x\to a}$.
• un epimorfismo (o épica ) si es cancelable por la derecha, es decir${\displaystyle g_{1}f=g_{2}f}$implica${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$para todos los morfismos${\displaystyle g_{1},g_{2}:b\to x}$.
• Un bimorfismo es aquel que es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo.
• una retracción si tiene un inverso derecho, es decir, si existe un morfismo${\displaystyle g:b\to a}$con${\displaystyle fg=1_{b}}$.
• una sección si tiene un inverso izquierdo, es decir, si existe un morfismo${\displaystyle g:b\to a}$con${\displaystyle gf=1_{a}}$.
• un isomorfismo si tiene un inverso, es decir, si existe un morfismo${\displaystyle g:b\to a}$con${\displaystyle fg=1_{b}}$y${\displaystyle gf=1_{a}}$.
• un endomorfismo si${\displaystyle a=b}$. La clase de endomorfismos de${\displaystyle a}$se denota${\displaystyle \mathrm {end} (a)}$. Para categorías pequeñas a nivel local,${\displaystyle \mathrm {end} (a)}$es un conjunto y forma un monoide bajo la composición de morfismos.
• un automorfismo si${\displaystyle f}$es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. La clase de automorfismos de${\displaystyle a}$se denota${\displaystyle \mathrm {aut} (a)}$. Para categorías localmente pequeñas, forma un grupo bajo la composición de morfismos llamado grupo de automorfismos de${\displaystyle a}$.

Toda retracción es un epimorfismo. Toda sección es un monomorfismo. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

• ${\displaystyle f}$es un monomorfismo y una retracción;
• ${\displaystyle f}$es un epimorfismo y una sección;
• ${\displaystyle f}$es un isomorfismo.

Relaciones entre morfismos (como${\displaystyle fg=h}$) se pueden representar de forma más conveniente con diagramas conmutativos , donde los objetos se representan como puntos y los morfismos como flechas.

• En muchas categorías, por ejemplo Ab o Vect _K , los conjuntos hom${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$No son solo conjuntos, sino grupos abelianos , y la composición de morfismos es compatible con estas estructuras de grupo; es decir, es bilineal . Dicha categoría se denomina preaditiva . Si, además, la categoría tiene todos los productos y coproductos finitos , se denomina categoría aditiva . Si todos los morfismos tienen un núcleo y un conúcleo , y todos los epimorfismos son conúcleos y todos los monomorfismos son núcleos, entonces hablamos de una categoría abeliana . Un ejemplo típico de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos.
• La idea de que los conjuntos de inicio posean alguna estructura adicional más allá de ser un conjunto puede formalizarse en el concepto de una categoría enriquecida .
• Una categoría se denomina completa si en ella existen todos los límites pequeños . Las categorías de conjuntos, grupos abelianos y espacios topológicos son completas.
• Una categoría se denomina cartesiana cerrada si tiene productos directos finitos y un morfismo definido en un producto finito siempre puede representarse mediante un morfismo definido en solo uno de los factores. Ejemplos de ello son Set y${\displaystyle \mathbf {CPO} }$, la categoría de órdenes parciales completas con funciones continuas de Scott .
• Un topos elemental es un tipo específico de categoría cartesiana cerrada en la que se puede formular toda la matemática (al igual que clásicamente toda la matemática se formula en la categoría de conjuntos). Un topos también puede utilizarse para representar una teoría lógica.

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