Mapa del paquete

En matemáticas , un mapa de fibrado (o morfismo de fibrado ) es un morfismo en la categoría de fibrados de fibras . Hay dos nociones distintas, pero estrechamente relacionadas, de mapa de fibrado, dependiendo de si los fibrados de fibras en cuestión tienen un espacio base común . También hay varias variaciones sobre el tema básico, dependiendo precisamente de qué categoría de fibrados de fibras se esté considerando. En las primeras tres secciones, consideraremos fibrados generales en la categoría de espacios topológicos . Luego, en la cuarta sección, se darán algunos otros ejemplos.

Sean y haces de fibras sobre un espacio M . Entonces, una función de haces de E a F sobre M es una función continua tal que . Es decir, el diagrama ${\displaystyle \pi_{E}\colon E\to M}$${\displaystyle \pi_{F}\colon F\to M}$${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =\pi _{E}}$

debería conmutar . De manera equivalente, para cualquier punto x en M , asigna la fibra de E sobre x a la fibra de F sobre x . ^[1]${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle E_{x}=\pi _{E}^{-1}(\{x\})}$${\displaystyle F_{x}=\pi _{F}^{-1}(\{x\})}$

Sean π _E : E → M y π _F : F → N haces de fibras sobre los espacios M y N respectivamente. Entonces, una función continua se denomina función de fibrado de E a F si existe una función continua f : M → N tal que el diagrama ${\displaystyle \varphi :E\to F}$

conmuta, es decir, . En otras palabras, es preservadora de fibras y f es la función inducida en el espacio de fibras de E : dado que π _E es sobreyectiva, f está determinada de forma única por . Para una f dada , se dice que dicha función es una función que cubre f . ^[2]${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \varphi}$

De las definiciones se desprende inmediatamente que un mapa de fibrado sobre M ( en el primer sentido) es lo mismo que un mapa de fibrado que cubre el mapa identidad de M.

Por el contrario, los fibrados generales pueden reducirse a fibrados sobre un espacio base fijo utilizando la noción de fibrado de pullback . Si π _F : F → N es un fibrado sobre N y f : M → N es una función continua, entonces el pullback de F por f es un fibrado f ^* F sobre M cuya fibra sobre x está dada por ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . De ello se deduce que una función de fibrado de E a F que cubra f es lo mismo que una función de fibrado de E a f ^* F sobre M .

Hay dos tipos de variación de la noción general de mapa de fibrado.

En primer lugar, se pueden considerar los haces de fibras en una categoría diferente de espacios. Esto conduce, por ejemplo, a la noción de un mapa de haces lisos entre haces lisos de fibras sobre una variedad lisa .

En segundo lugar, se pueden considerar haces de fibras con estructura extra en sus fibras, y restringir la atención a los mapas de haces que preservan esta estructura. Esto lleva, por ejemplo, a la noción de un homomorfismo de haces (vectoriales) entre haces vectoriales , en el que las fibras son espacios vectoriales, y se requiere que un mapa de haces φ sea un mapa lineal en cada fibra. ^[3] En este caso, un mapa de haces de este tipo φ (que cubre f ) también puede verse como una sección del fibrado vectorial Hom( E , f ^* F ) sobre M , cuya fibra sobre x es el espacio vectorial Hom( E _x , F _{f ( x )} ) (también denotado L ( E _x , F _{f ( x )} )) de mapas lineales de E _x a F _{f ( x )} .