Categoría de conjuntos reservados

En matemáticas , la categoría PreOrd tiene conjuntos preordenados como objetos y funciones que preservan el orden como morfismos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esta es una categoría porque la composición de dos funciones que preservan el orden preserva el orden y la aplicación identidad preserva el orden.

Los monomorfismos en PreOrd son las funciones inyectivas que preservan el orden.

El conjunto vacío (considerado como un conjunto preordenado) es el objeto inicial de PreOrd , y los objetos terminales son precisamente los conjuntos preordenados unitarios . Por lo tanto, no hay objetos cero en PreOrd .

El producto categórico en PreOrd viene dado por el orden del producto en el producto cartesiano .

Tenemos un functor olvidadizo PreOrd → Set que asigna a cada conjunto preordenado el conjunto subyacente , y a cada función que preserva el orden la función subyacente . Este functor es fiel y, por lo tanto, PreOrd es una categoría concreta . Este functor tiene un adjunto izquierdo (que envía cada conjunto a ese conjunto equipado con la relación de igualdad) y un adjunto derecho (que envía cada conjunto a ese conjunto equipado con la relación total).

Si bien PreOrd es una categoría con propiedades diferentes, la categoría de grupos preordenados, denotada PreOrdGrp , presenta un panorama más complejo; no obstante, ambas implican conexiones preordenadas. ^{[ 3 ]}

El conjunto de morfismos (funciones que preservan el orden) entre dos preórdenes tiene en realidad más estructura que la de un conjunto. Se puede convertir en un conjunto preordenado mediante la relación puntual:

( f ≤ g ) ⇔ (∀ x f ( x ) ≤ g ( x ))

Este conjunto preordenado puede considerarse a su vez como una categoría, lo que convierte a PreOrd en una 2-categoría (los axiomas adicionales de una 2-categoría se cumplen trivialmente porque cualquier ecuación de morfismos paralelos es verdadera en una categoría posetal ).

Con esta estructura de 2 categorías, un pseudofunctor F de una categoría C a PreOrd viene dado por los mismos datos que un 2-functor, pero tiene las propiedades relajadas:

∀ x ∈ F( A ), F( id _A )( x ) ≃ x ,

∀ x ∈ F( A ), F( g${\displaystyle \circ }$f )( x ) ≃ F( g )(F( f )( x )),

donde x ≃ y significa x ≤ y e y ≤ x .

• FinOrd
• Categoría Simplex

• Eklund, Patrik; Gutiérrez García, Javier; Höhle, Ulrich; Kortelainen, Jari (2018). Semigrupos en celosías completas: cuantos, módulos y temas relacionados . Saltador. ISBN 978-3319789484.