Pedido de producto

En matemáticas , dados órdenes parciales${\displaystyle \preceq }$y${\displaystyle \sqsubseteq }$en platós${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, respectivamente, el orden del producto ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} (también llamado orden por coordenadas ^{[ 5 ] [ 3 ] [ 6 ]} u orden por componentes ^{[ 2 ] [ 7 ]} ) es un orden parcial${\displaystyle \leq }$en el producto cartesiano${\displaystyle A\times B.}$Dados dos pares${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)}$y${\displaystyle \left(a_{2},b_{2}\right)}$en${\displaystyle A\times B,}$declarar que${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)}$si${\displaystyle a_{1}\preceq a_{2}}$y${\displaystyle b_{1}\sqsubseteq b_{2}.}$

Otro posible orden en${\displaystyle A\times B}$es el orden lexicográfico . Es un orden total si ambos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están totalmente ordenados. Sin embargo, el orden del producto de dos pedidos totales no es en general total; por ejemplo, los pares${\displaystyle (0,1)}$y${\displaystyle (1,0)}$son incomparables en el orden del producto del pedido${\displaystyle 0<1}$consigo mismo. La combinación lexicográfica de dos órdenes totales es una extensión lineal de su orden producto, y por lo tanto el orden producto es una subrelación del orden lexicográfico. ^{[ 3 ]}

El producto cartesiano con el orden del producto es el producto categórico en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados con funciones monótonas . ^{[ 7 ]}

El orden del producto se generaliza a productos cartesianos arbitrarios (posiblemente infinitos). Supongamos que${\displaystyle A\neq \varnothing }$es un conjunto y para cada${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$es un conjunto reservado. Luego elpreordenar producto en${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a}}$se define declarando para cualquier${\displaystyle i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}}$y${\displaystyle j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}}$en${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a},}$eso

${\displaystyle i_{\bullet }\leq j_{\bullet }}$si y solo si${\displaystyle i_{a}\leq j_{a}}$por cada${\displaystyle a\in A.}$

Si cada${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$Si se trata de un pedido parcial, también lo es la preorden del producto.

Además, dado un conjunto${\displaystyle A,}$el orden del producto sobre el producto cartesiano${\displaystyle \prod _{a\in A}\{0,1\}}$puede identificarse con el orden de inclusión de subconjuntos de${\displaystyle A.}$^{[ 4 ]}

La noción se aplica igualmente bien a los pedidos anticipados . El orden del producto es también el producto categórico en varias categorías más ricas, incluyendo retículos y álgebras booleanas . ^{[ 7 ]}

• Producto directo de relaciones binarias
• Ejemplos de órdenes parciales
• Producto estrella , una forma diferente de combinar pedidos parciales
• Órdenes en el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
• Suma ordinal de órdenes parciales
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial