Espacio vectorial ordenado

En matemáticas , un espacio vectorial ordenado o parcialmente ordenado es un espacio vectorial real dotado de un orden parcial compatible con las operaciones del espacio vectorial.

Dado un espacio vectorial${\displaystyle X}$sobre las cifras reales${\displaystyle \mathbb {R} }$y una reserva anticipada${\displaystyle \,\leq \,}$en el set${\displaystyle X,}$la pareja${\displaystyle (X,\leq )}$se denomina espacio vectorial preordenado y decimos que el preorden${\displaystyle \,\leq \,}$es compatible con la estructura del espacio vectorial de${\displaystyle X}$y llamar${\displaystyle \,\leq \,}$un preorden vectorial en${\displaystyle X}$si para todos${\displaystyle x,y,z\in X}$y${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$con${\displaystyle r\geq 0}$Se cumplen los dos axiomas siguientes.

1. ${\displaystyle x\leq y}$implica${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$implica${\displaystyle ry\leq rx.}$

Si${\displaystyle \,\leq \,}$es un orden parcial compatible con la estructura del espacio vectorial de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle (X,\leq )}$se denomina espacio vectorial ordenado y${\displaystyle \,\leq \,}$se denomina orden parcial vectorial en${\displaystyle X.}$ Los dos axiomas implican que las traslaciones y las homotecias positivas son automorfismos de la estructura de orden y del mapeo.${\displaystyle x\mapsto -x}$es un isomorfismo a la estructura de orden dual . Los espacios vectoriales ordenados son grupos ordenados bajo su operación de adición. Nótese que${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle -y\leq -x.}$

Un subconjunto${\displaystyle C}$de un espacio vectorial${\displaystyle X}$se llama cono si para todos los reales${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle rC\subseteq C}$Un cono se llama puntiagudo si contiene el origen. Un cono${\displaystyle C}$es convexa si y solo si${\displaystyle C+C\subseteq C.}$La intersección de cualquier familia no vacía de conos (o conos convexos) es nuevamente un cono (o cono convexo); lo mismo ocurre con la unión de una familia creciente (bajo la condición de inclusión de conjuntos ) de conos (o conos convexos). Un cono${\displaystyle C}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que está generando si${\displaystyle X=CC.}$^{[ 1 ]}

Dado un espacio vectorial preordenado${\displaystyle X,}$el subconjunto${\displaystyle X^{+}}$de todos los elementos${\displaystyle x}$en${\displaystyle (X,\leq )}$satisfactorio${\displaystyle x\geq 0}$es un cono convexo puntiagudo (es decir, un cono convexo que contiene${\displaystyle 0}$) llamado el cono positivo de${\displaystyle X}$y denotado por${\displaystyle \operatorname {PosCono} X.}$ Los elementos del cono positivo se llaman positivos . Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son elementos de un espacio vectorial preordenado${\displaystyle (X,\leq ),}$entonces${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle yx\in X^{+}.}$El cono positivo se genera si y solo si${\displaystyle X}$es un conjunto dirigido bajo${\displaystyle \,\leq .}$ Dado cualquier cono convexo puntiagudo${\displaystyle C}$uno puede definir un pedido anticipado${\displaystyle \,\leq \,}$en${\displaystyle X}$que sea compatible con la estructura del espacio vectorial de${\displaystyle X}$declarando por todos${\displaystyle x,y\in X,}$eso${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle yx\in C;}$ El cono positivo de este espacio vectorial preordenado resultante es${\displaystyle C.}$ Existe, por lo tanto, una correspondencia biunívoca entre conos convexos puntiagudos y preórdenes vectoriales en${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} Si${\displaystyle X}$Si está preordenado, entonces podemos formar una relación de equivalencia en${\displaystyle X}$definiendo${\displaystyle x}$es equivalente a${\displaystyle y}$si y solo si${\displaystyle x\leq y}$y${\displaystyle y\leq x;}$ si${\displaystyle N}$es la clase de equivalencia que contiene el origen entonces${\displaystyle N}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X}$y${\displaystyle X/N}$es un espacio vectorial ordenado bajo la relación:${\displaystyle A\leq B}$si y solo si existe${\displaystyle a\in A}$y${\displaystyle b\in B}$de tal manera que${\displaystyle a\leq b.}$^{[ 1 ]}

Un subconjunto de${\displaystyle C}$de un espacio vectorial${\displaystyle X}$se denomina cono propio si es un cono convexo que satisface${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ Explícitamente,${\displaystyle C}$es un cono propio si (1)${\displaystyle C+C\subseteq C,}$(2)${\displaystyle rC\subseteq C}$a pesar de${\displaystyle r>0,}$y (3)${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$^{[ 2 ]} La intersección de cualquier familia no vacía de conos propios es de nuevo un cono propio. Cada cono propio${\displaystyle C}$en un espacio vectorial real induce un orden en el espacio vectorial al definir${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle yx\in C,}$y además, el cono positivo de este espacio vectorial ordenado será${\displaystyle C.}$Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre los conos convexos propios de${\displaystyle X}$y los órdenes parciales vectoriales en${\displaystyle X.}$

Mediante un ordenamiento vectorial total en${\displaystyle X}$nos referimos a un pedido total en${\displaystyle X}$que sea compatible con la estructura del espacio vectorial de${\displaystyle X.}$ La familia de ordenaciones vectoriales totales en un espacio vectorial${\displaystyle X}$está en correspondencia biunívoca con la familia de todos los conos propios que son maximales bajo la inclusión de conjuntos. ^{[ 1 ]} Un ordenamiento vectorial total no puede ser arquimediano si su dimensión , cuando se considera como un espacio vectorial sobre los reales, es mayor que 1. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle R}$y${\displaystyle S}$son dos ordenaciones de un espacio vectorial con conos positivos${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q,}$respectivamente, entonces decimos que${\displaystyle R}$es más fino que${\displaystyle S}$si${\displaystyle P\subseteq Q.}$^{[ 2 ]}

Un intervalo de orden en un espacio vectorial preordenado es un conjunto de la forma $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ o }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$ De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que${\displaystyle x,y\in [a,b]}$y${\displaystyle 0<t<1}$implica${\displaystyle tx+(1-t)y}$pertenece a${\displaystyle [a,b];}$ Por lo tanto, estos intervalos de orden son convexos. Se dice que un subconjunto está acotado por orden si está contenido en algún intervalo de orden. ^{[ 2 ]} En un espacio vectorial real preordenado, si para${\displaystyle x\geq 0}$entonces el intervalo de la forma${\displaystyle [-x,x]}$ está equilibrado . ^{[ 2 ]} Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento${\displaystyle x}$de tal manera que el conjunto${\displaystyle [-x,x]}$es absorbente . ^{[ 2 ]}

El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado${\displaystyle X}$que mapea cada intervalo de orden en un conjunto acotado se llama dual de límite de orden de${\displaystyle X}$y denotado por${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$^{[ 2 ]} Si un espacio está ordenado, entonces su dual de orden límite es un subespacio vectorial de sudual algebraico.

Un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$se denomina orden completo si para cada subconjunto no vacío${\displaystyle B\subsetae}$de tal manera que${\displaystyle B}$es el orden limitado en${\displaystyle A,}$ambos${\displaystyle \sup B}$y${\displaystyle \inf B}$existen y son elementos de${\displaystyle A.}$Decimos que un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$¿ El pedido está completo ?${\displaystyle X}$es un subconjunto completo en orden de${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial preordenado entonces para todo${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$y${\displaystyle y\geq 0}$implicar${\displaystyle x+y\geq 0.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle -y\leq -x.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$y${\displaystyle r<0}$implicar${\displaystyle rx\geq ry.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$si y solo si${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$existe si y solo si${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$existe, en cuyo caso${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$existe si y solo si${\displaystyle \inf\{x,y\}}$existe, en cuyo caso para todos${\displaystyle z\in X,}$^{[ 4 ]}
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$y
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$es una red vectorial si y solo si${\displaystyle \sup\{0,x\}}$existe para todos${\displaystyle x\in X.}$^{[ 4 ]}

Un cono${\displaystyle C}$Se dice que está generando si${\displaystyle C-C}$es igual a todo el espacio vectorial. ^{[ 2 ]} Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle W}$son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con conos positivos respectivos${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q,}$entonces${\displaystyle P}$se está generando en${\displaystyle X}$si y solo si el conjunto${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$es un cono adecuado en${\displaystyle L(X;W),}$que es el espacio de todos los mapas lineales desde${\displaystyle X}$en${\displaystyle W.}$ En este caso, el orden definido por${\displaystyle C}$se denomina ordenación canónica de${\displaystyle L(X;W).}$^{[ 2 ]} De manera más general, si${\displaystyle M}$es cualquier subespacio vectorial de${\displaystyle L(X;W)}$de tal manera que${\displaystyle C\cap M}$es un cono propio, el ordenamiento definido por${\displaystyle C\cap M}$se denomina ordenación canónica de${\displaystyle M.}$^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial ordenado. Decimos que un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$es arquimediano ordenado y que el orden de${\displaystyle X}$es arquimediano si siempre${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$es tal que${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$está mayoritariamente (es decir, existe alguna${\displaystyle y\in X}$de tal manera que${\displaystyle nx\leq y}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) entonces${\displaystyle x\leq 0.}$^{[ 2 ]} Unespacio vectorial topológico(TVS) que es un espacio vectorial ordenado es necesariamente arquimediano si su cono positivo es cerrado. ^{[ 2 ]}

Decimos que un espacio vectorial preordenado${\displaystyle X}$está ordenado regularmente y que su orden es regular si está ordenado arquimediano y${\displaystyle X^{+}}$distingue puntos en${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} Esta propiedad garantiza que existen suficientes formas lineales positivas para poder utilizar con éxito las herramientas de la dualidad para estudiar espacios vectoriales ordenados. ^{[ 2 ]}

Un espacio vectorial ordenado se denomina retículo vectorial si para todos los elementos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y,}$el supremo${\displaystyle \sup(x,y)}$y el ínfimo${\displaystyle \inf(x,y)}$existen. ^{[ 2 ]}

A lo largo de todo deja${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial preordenado con cono positivo${\displaystyle C.}$

Subespacios

Si${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X}$luego el orden canónico en${\displaystyle M}$inducido por${\displaystyle X}$cono positivo${\displaystyle C}$es el orden parcial inducido por el cono convexo puntiagudo${\displaystyle C\cap M,}$donde este cono es apropiado si${\displaystyle C}$es correcto. ^{[ 2 ]}

espacio cociente

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X,}$${\displaystyle \pi :X\to X/M}$sea ​​la proyección canónica, y dejemos que${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ Entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$es un cono en${\displaystyle X/M}$que induce un preordenamiento canónico en el espacio cociente${\displaystyle X/M.}$ Si${\displaystyle {\hat {C}}}$es un cono adecuado en${\displaystyle X/M}$entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$marcas${\displaystyle X/M}$en un espacio vectorial ordenado. ^{[ 2 ]} Si${\displaystyle M}$es${\displaystyle C}$-saturado entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$define el orden canónico de${\displaystyle X/M.}$^{[ 1 ]} Tenga en cuenta que${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado donde${\displaystyle \pi (C)}$no es un cono adecuado.

Si${\displaystyle X}$es también un espacio vectorial topológico (TVS) y si para cada vecindario${\displaystyle V}$del origen en${\displaystyle X}$existe un vecindario${\displaystyle U}$del origen tal que${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$es un cono normal para la topología cociente . ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle X}$es una red vectorial topológica y${\displaystyle M}$es una subred sólida cerrada de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle X/L}$También es una red vectorial topológica. ^{[ 1 ]}

Producto

Si${\displaystyle S}$es cualquier conjunto entonces el espacio${\displaystyle X^{S}}$de todas las funciones de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X}$está ordenado canónicamente por el cono adecuado${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$^{[ 2 ]}

Supongamos que${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$es una familia de espacios vectoriales preordenados y que el cono positivo de${\displaystyle X_{\alpha }}$es${\displaystyle C_{\alpha }.}$ Entonces${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$es un cono convexo puntiagudo en${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$que determina un orden canónico en${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$${\displaystyle C}$es un cono adecuado si todo${\displaystyle C_{\alpha }}$son conos propiamente dichos. ^{[ 2 ]}

Suma directa algebraica

La suma directa algebraica${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$de${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$es un subespacio vectorial de${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ that is given the canonical subspace ordering inherited from ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$^[2] If ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ are ordered vector subspaces of an ordered vector space ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle X}$ is the ordered direct sum of these subspaces if the canonical algebraic isomorphism of ${\displaystyle X}$ onto ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ (with the canonical product order) is an order isomorphism.^[2]

• The real numbers with the usual ordering form a totally ordered vector space. For all integers${\displaystyle n\geq 0,}$ the Euclidean space${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ considered as a vector space over the reals with the lexicographic ordering forms a preordered vector space whose order is Archimedean if and only if ${\displaystyle n=1}$.^[4]
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ is an ordered vector space with the ${\displaystyle \,\leq \,}$ relation defined in any of the following ways (in order of increasing strength, that is, decreasing sets of pairs):
  • Lexicographical order: ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ if and only if ${\displaystyle a<c}$ or ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$ This is a total order. The positive cone is given by ${\displaystyle x>0}$ or ${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$ that is, in polar coordinates, the set of points with the angular coordinate satisfying ${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$ together with the origin.
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ if and only if ${\displaystyle a\leq c}$ and ${\displaystyle b\leq d}$ (the product order of two copies of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with ${\displaystyle \leq }$). This is a partial order. The positive cone is given by ${\displaystyle x\geq 0}$ and ${\displaystyle y\geq 0,}$ that is, in polar coordinates ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$ together with the origin.
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ if and only if ${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$ or ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$ (the reflexive closure of the direct product of two copies of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with "<"). This is also a partial order. The positive cone is given by ${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$ or ${\displaystyle x=y=0),}$ that is, in polar coordinates, ${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$ together with the origin.

Only the second order is, as a subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ closed; see partial orders in topological spaces.

For the third order the two-dimensional "intervals" ${\displaystyle p<x<q}$ are open sets which generate the topology.

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is an ordered vector space with the ${\displaystyle \,\leq \,}$ relation defined similarly. For example, for the second order mentioned above:
  • ${\displaystyle x\leq y}$ if and only if ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ for ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• A Riesz space is an ordered vector space where the order gives rise to a lattice.
• The space of continuous functions on ${\displaystyle [0,1]}$ where ${\displaystyle f\leq g}$ if and only if ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle [0,1].}$
• Let ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$ denote the symmetric ${\displaystyle n\times n}$ matrices with real entries. The Loewner order${\displaystyle \preccurlyeq }$ on two symmetric matrices ${\displaystyle A,B\in {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$is defined by ${\displaystyle A\preccurlyeq B\Leftrightarrow B-A}$ is positive semi-definite. Its positive cone is, by definition, the set of all positive definite matrices. Furthermore, the spectral theorem applied to symmetric matrices establishes that this cone is generating.

• Order topology (functional analysis) – Topology of an ordered vector space
• Ordered field – Algebraic object with an ordered structure
• Ordered group – Group with a compatible partial orderPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ordered ring
• Ordered topological vector space
• Partially ordered space – Partially ordered topological space
• Product order – Construction in order theory
• Riesz space – Partially ordered vector space, ordered as a lattice
• Topological vector lattice
• Vector lattice – Partially ordered vector space, ordered as a latticePages displaying short descriptions of redirect targets

• Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen (2003). Locally solid Riesz spaces with applications to economics (Second ed.). Providence, R. I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3408-8.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.