Unidad de pedido

Una unidad de orden es un elemento de un espacio vectorial ordenado que puede usarse para acotar todos los elementos desde arriba. ^{[ 1 ]} De esta manera (como se ve en el primer ejemplo a continuación) la unidad de orden generaliza el elemento unidad en los números reales.

Según HH Schaefer , "la mayoría de los espacios vectoriales ordenados que aparecen en el análisis no tienen unidades de orden". ^{[ 2 ]}

Para el cono de pedido${\displaystyle K\subsetequ X}$en el espacio vectorial${\displaystyle X}$, el elemento${\displaystyle e\in K}$es una unidad de pedido (más precisamente una${\displaystyle K}$-unidad de pedido) si para cada${\displaystyle x\in X}$existe un${\displaystyle \lambda _{x}>0}$de tal manera que${\displaystyle \lambda _{x}ex\in K}$(eso es,${\displaystyle x\leq _{K}\lambda _{x}e}$). ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle X=\mathbb {R} }$sean los números reales y${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\},}$entonces el elemento unitario${\displaystyle 1}$es una unidad de pedido .

Dejar${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x_{i}\in \mathbb {R}$ :{\text{ para todo }}i=1,\ldots ,n:x_{i}\geq 0\right\},} entonces el elemento unidad${\displaystyle {\vec {1}}=(1,\ldots ,1)}$es una unidad de pedido .

Cada punto interior del cono positivo de un espacio vectorial topológico ordenado es una unidad de orden. ^{[ 2 ]}

Cada unidad de orden de un TVS ordenado es interior al cono positivo para la topología de orden. ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle (X,\leq )}$es un espacio vectorial preordenado sobre los números reales con orden unitario${\displaystyle u,}$luego el mapa${\displaystyle p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}}$es un funcional sublineal . ^{[ 4 ]}

Suponer${\displaystyle (X,\leq )}$es un espacio vectorial ordenado sobre los números reales con orden unitario.${\displaystyle u}$cuyo orden es arquimediano y deje${\displaystyle U=[-u,u].}$ Luego, la función de Minkowski${\displaystyle p_{U}}$de${\displaystyle U,}$definido por${\displaystyle p_{U}(x):=\inf\{r>0:x\in r[-u,u]\},}$es una norma llamada lanorma de unidad de orden . Satisface${\displaystyle p_{U}(u)=1}$y la bola de unidad cerrada determinada por${\displaystyle p_{U}}$es igual a${\displaystyle [-u,u];}$eso es,${\displaystyle [-u,u]=\left\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\right\}.}$^{[ 4 ]}

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​