Interior algebraico

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior .

Supóngase que es un subconjunto de un espacio vectorial El interior algebraico (o núcleo radial ) de con respecto a es el conjunto de todos los puntos en los que es un conjunto radial . Un punto se llama punto interno de ^{[1] [2]} y se dice que es radial en si para cada existe un número real tal que para cada Esta última condición también se puede escribir como donde el conjunto es el segmento de línea (o intervalo cerrado) que comienza en y termina en este segmento de línea es un subconjunto de cuyo es el rayo que emana de en la dirección de (es decir, paralelo a/una traslación de ). Así, geométricamente, un punto interior de un subconjunto es un punto con la propiedad de que en cada dirección posible (vector) contiene algún segmento de línea (no degenerado) que comienza en y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo ). El interior algebraico de (con respecto a ) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado con respecto al cual es puntos radiales del conjunto. ^[3]${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X.}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle a_{0}\en A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$$estilo de visualización a_{0}}$${\displaystyle x\en X}$$estilo de visualización t_{x}>0}$${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$$${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$$$estilo de visualización a_{0}}$$estilo de visualización a_{0}+t_{x}x;}$${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$$estilo de visualización a_{0}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle [0,\infty )x}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle a_{0}\en A}$${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\estilo de visualización A}$$estilo de visualización a_{0}}$${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$

Si es un subespacio lineal de y entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de con respecto a es: ^[4] donde siempre se cumple y si entonces donde es la envoltura afín de (que es igual a ). ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización M}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ para todo }}m\in M,{\text{ existe algún }}t_{m}>0{\text{ tal que }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}$$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (AA),}$${\displaystyle \operatorname {aff} (AA)}$${\estilo de visualización AA}$${\displaystyle \operatorname {intervalo} (AA)}$

Cierre algebraico

Se dice que un punto es${\displaystyle x\en X}$linealmente accesible desde un subconjuntosi existe algunotal que el segmento de líneaestá contenido en^[5] Elcierre algebraico decon respecto a, denotado porconsiste eny todos los puntos enque son linealmente accesibles desde^[5]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle a\en A}$${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)x}$${\estilo de visualización A.}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A.}$

En el caso especial en que el conjunto se llama${\estilo de visualización M:=X,}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$interior algebraico onúcleo de${\estilo de visualización A}$y se denota poro Formalmente, sies un espacio vectorial entonces el interior algebraico dees^[6]${\displaystyle A^{i}}$${\displaystyle \operatorname {núcleo} A.}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ para todo }}x\in X,{\text{ existe algún }}t_{x}>0,{\text{ tal que para todo }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}$$

Si no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu ): ${\estilo de visualización A}$

$${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un conjunto cerrado,}}\\\varnothing &{\text{ en caso contrario}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Si es un espacio de Fréchet , es convexo y está cerrado entonces pero en general es posible tener mientras no esté vacío. ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {aff} A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$${\displaystyle {}^{ib}A}$

Si entonces pero y${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A),}$${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A)).}$

Suponer${\displaystyle A,B\subseteq X.}$

• En general, pero si es un conjunto convexo entonces: ${\displaystyle \operatorname {core} A\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} A).}$${\displaystyle A}$
  • ${\displaystyle \operatorname {core} A=\operatorname {core} (\operatorname {core} A),}$y
  • para todos entonces${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A.}$
• ${\displaystyle A}$es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y sólo si ^[3]${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A).}$
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subseteq \operatorname {core} (A+B)}$^[7]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$Si ^[7]${\displaystyle B=\operatorname {core} B.}$

Tanto el núcleo como el cierre algebraico de un conjunto convexo son nuevamente convexos. ^[5] Si es convexo, entonces el segmento de línea está contenido en ^[5]${\displaystyle C}$${\displaystyle c\in \operatorname {core} C,}$${\displaystyle b\in \operatorname {acl} _{X}C}$${\displaystyle [c,b):=c+[0,1)b}$${\displaystyle \operatorname {core} C.}$

Sea un espacio vectorial topológico , denote el operador interior, y luego: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} }$${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• Si es convexo no vacío y es de dimensión finita, entonces ^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Si es convexo con interior no vacío, entonces ^[8]${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Si es un conjunto convexo cerrado y es un espacio métrico completo , entonces ^[9]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$

Si entonces el conjunto se denota por y se llama interior algebraico relativo de ^[7] Este nombre proviene del hecho de que si y solo si y (donde si y solo si ). ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle a\in A^{i}}$${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$${\displaystyle a\in {}^{i}A}$${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$

Si es un subconjunto de un espacio vectorial topológico , entonces el interior relativo de es el conjunto. Es decir, es el interior topológico de A en el que es el subespacio lineal afín más pequeño de que contiene El siguiente conjunto también es útil: ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$$${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$$${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Si es un subconjunto de un espacio vectorial topológico , entonces el interior cuasi relativo de es el conjunto ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.}$$

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff ,${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$

• Punto límite  : concepto matemático relacionado con los subconjuntos de espacios vectoriales
• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto dado
• Unidad de orden  – Elemento de un espacio vectorial ordenado
• Interior cuasi-relativo  – Generalización del interior algebraico
• Conjunto radial
• Interior relativo  – Generalización del interior topológico
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme

• Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (tercera edición). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7.OCLC 262692874  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – vía Internet Archive .