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Interior relativo

En matemáticas , el interior relativo de un conjunto es un refinamiento del concepto de interior , que suele ser más útil cuando se trata de conjuntos de baja dimensión ubicados...

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En matemáticas , el interior relativo de un conjunto es un refinamiento del concepto de interior , que suele ser más útil cuando se trata de conjuntos de baja dimensión ubicados en espacios de mayor dimensión.

Formalmente, el interior relativo de un conjuntoS{\displaystyle S}(denotadorelinchar⁡(S){\displaystyle \operatorname {relent} (S)}) se define como su interior dentro de la envoltura afín deS.{\displaystyle S.}[ 1 ] En otras palabras, relinchar⁡(S):={incógnita∈S: existe ϵ>0 de tal manera que Bϵ(incógnita)∩af⁡(S)⊆S},{\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ existe }}\epsilon >0{\text{ tal que }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},} dóndeaf⁡(S){\displaystyle \operatorname {aff} (S)}es la envoltura afín deS,{\displaystyle S,}yBϵ(incógnita){\displaystyle B_{\epsilon }(x)}es una bola de radioϵ{\displaystyle \epsilon }centrado enincógnita{\displaystyle x}Cualquier métrica puede utilizarse para la construcción de la bola; todas las métricas definen el mismo conjunto como interior relativo.

Un conjunto es relativamente abierto si y solo si es igual a su interior relativo. Nótese que cuandoaf⁡(S){\displaystyle \operatorname {aff} (S)}es un subespacio cerrado del espacio vectorial completo (siempre es el caso cuando el espacio vectorial completo es de dimensión finita) entonces ser relativamente cerrado es equivalente a ser cerrado.

Para cualquier conjunto convexodo⊆Rnorte{\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}El interior relativo se define de forma equivalente como [ 2 ] [ 3 ]relinchar⁡(do):={incógnita∈do: a pesar de y∈do, existe algo λ>1 de tal manera que λincógnita+(1−λ)y∈do}={incógnita∈do: a pesar de y≠incógnita∈do, existe algo z∈do de tal manera que incógnita∈(y,z)}.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ para todo }}y\in C,{\text{ existe algún }}\lambda >1{\text{ tal que }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ para todo }}y\neq x\in C,{\text{ existe algún }}z\in C{\text{ tal que }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}} dónde incógnita∈(y,z){\displaystyle x\in (y,z)}significa que existe algún0<λ<1{\displaystyle 0<\lambda <1}de tal manera queincógnita=λz+(1−λ)y{\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda )y}.

Comparación con el interior

  • El interior de un punto en un espacio ambiente al menos unidimensional está vacío, pero su interior relativo es el punto mismo.
  • El interior de un segmento de línea en un espacio ambiente al menos bidimensional está vacío, pero su interior relativo es el segmento de línea sin sus extremos.
  • El interior de un disco en un espacio ambiente al menos tridimensional está vacío, pero su interior relativo es el mismo disco sin su borde circular.

Propiedades

Teorema — SiA⊂Rnorte{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}es no vacío y convexo, entonces su interior relativormilinortet(A){\displaystyle \mathrm {relint} (A)}es la unión de una secuencia anidada de subconjuntos convexos compactos no vacíosK1⊂K2⊂K3⊂⋯⊂rmilinortet(A){\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relent} (A)}.

Prueba

Dado que siempre podemos recurrir al intervalo afín deA{\displaystyle A}, WLOG, el interior relativo tiene dimensiónnorte{\displaystyle n}Ahora dejemos...Kj≡[−j,j]norte∩{incógnita∈entero(K):dist(incógnita,(entero(K))do)≥1j}{\displaystyle K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}}.

Teorema [ 4 ] — Aquí "+" denota la suma de Minkowski .

  • rmilinortet(S1)+rmilinortet(S2)⊂rmilinortet(S1+S2){\displaystyle \mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})}para conjuntos generales. Son iguales si ambosS1,S2{\displaystyle S_{1},S_{2}}también son convexos.
  • SiS1,S2{\displaystyle S_{1},S_{2}}son conjuntos convexos y relativamente abiertos, entoncesS1+S2{\displaystyle S_{1}+S_{2}}es convexa y relativamente abierta.

Teorema [ 5 ] — Aquídoonortemi{\displaystyle \mathrm {Cono} }denota el cono positivo . Es decir,doonortemi(S)={rincógnita:incógnita∈S,r>0}{\displaystyle \mathrm {Cono} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}}.

  • doonortemi(rmilinortet(S))⊂rmilinortet(doonortemi(S)){\displaystyle \mathrm {Cono} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cono} (S))}Son iguales siS{\displaystyle S}es convexo.

Véase también

Referencias

  1. ^ Zălinescu 2002 , págs. 2-3.
  2. ↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado originalmente en 1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press . pág.  47. ISBN 978-0-691-01586-6.
  3. ↑ Dimitri Bertsekas (1999). Programación no lineal (2.ª ed.). Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. pág. 697. ISBN   978-1-886529-14-4.
  4. ↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado originalmente en 1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press . Corolario 6.6.2. ISBN 978-0-691-01586-6.
  5. ↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado originalmente en 1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press . Teorema 6.9. ISBN 978-0-691-01586-6.

Lecturas adicionales

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