Red vectorial topológica

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y teoría del orden , una red vectorial topológica es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS).${\displaystyle X}$que tiene un orden parcial${\displaystyle \,\leq \,}$convirtiéndolo en una red vectorial que posee una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos sólidos . ^{[ 1 ]} Las redes vectoriales ordenadas tienen aplicaciones importantes en la teoría espectral .

Si${\displaystyle X}$Si se trata de una red vectorial, entonces por operaciones de red vectorial nos referimos a las siguientes aplicaciones:

1. los tres mapas${\displaystyle X}$a sí mismo definido por${\displaystyle x\mapsto |x|}$,${\displaystyle x\mapsto x^{+}}$,${\displaystyle x\mapsto x^{-}}$, y
2. los dos mapas de${\displaystyle X\times X}$en${\displaystyle X}$definido por${\displaystyle (x,y)\mapsto \sup _ {}\{x,y\}}$y${\displaystyle (x,y)\mapsto \inf _ {}\{x,y\}}$.

Si${\displaystyle X}$es un TVS sobre los números reales y una red vectorial, entonces${\displaystyle X}$es localmente sólido si y solo si (1) su cono positivo es un cono normal y (2) las operaciones de la red vectorial son continuas. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle X}$es una red vectorial y un espacio vectorial topológico ordenado que es un espacio de Fréchet en el que el cono positivo es un cono normal , entonces las operaciones de la red son continuas. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico (TVS) y un espacio vectorial ordenado entonces${\displaystyle X}$se denomina sólido local si${\displaystyle X}$posee una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos sólidos . ^{[ 1 ]} Una red vectorial topológica es una TVS de Hausdorff${\displaystyle X}$que tiene un orden parcial${\displaystyle \,\leq \,}$convirtiéndolo en una red vectorial que es localmente sólida. ^{[ 1 ]}

Toda red vectorial topológica tiene un cono positivo cerrado y, por lo tanto, es un espacio vectorial topológico ordenado . ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle {\mathcal {B}}}$denota el conjunto de todos los subconjuntos acotados de una red vectorial topológica con cono positivo.${\displaystyle C}$y para cualquier subconjunto${\displaystyle S}$, dejar${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (SC)}$ser el${\displaystyle C}$-casco saturado de${\displaystyle S}$. Entonces, el cono positivo de la red vectorial topológica${\displaystyle C}$es un estricto${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-cono, ^{[ 1 ]} donde${\displaystyle C}$es un estricto${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-cono significa que${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$es una subfamilia fundamental de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es decir, cada${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$está contenido como un subconjunto de algún elemento de${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$). ^{[ 2 ]}

Si una red vectorial topológica${\displaystyle X}$Si el pedido está completo , entonces cada banda está cerrada.${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

Los espacios L ^p (${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$) son retículos de Banach bajo sus ordenamientos canónicos. Estos espacios son completos en orden para${\displaystyle p<\infty }$.

• Red de Banach : espacio de Banach con una estructura compatible de una red. 
• Retículo complementado : Retículo ligado en el que cada elemento tiene un complemento. 
• Red de Fréchet – Red vectorial topológica 
• Red vectorial localmente convexa
• Retículo normado
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 
• Pseudocomplemento
• Espacio de Riesz : espacio vectorial parcialmente ordenado, organizado como una red. 

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​