espacio Riesz

En matemáticas , un espacio de Riesz , un espacio vectorial reticular ordenado o una red vectorial es un espacio vectorial parcialmente ordenado donde la estructura de orden es una red .

Los espacios de Riesz llevan el nombre de Frigyes Riesz, quien los definió por primera vez en su artículo de 1928 Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires .

Los espacios de Riesz tienen aplicaciones muy diversas. Son importantes en la teoría de la medida , ya que resultados relevantes son casos particulares de resultados para espacios de Riesz. Por ejemplo, el teorema de Radon-Nikodym se deduce como un caso particular del teorema espectral de Freudenthal . Los espacios de Riesz también han encontrado aplicación en la economía matemática gracias al trabajo del economista y matemático greco-estadounidense Charalambos D. Aliprantis .

Los espacios de Riesz de dimensión finita se clasifican completamente por la propiedad arquimediana :

Teorema : ^{[ 5 ]} Supongamos que${\displaystyle X}$es una red vectorial de dimensión finita${\displaystyle n.}$Si${\displaystyle X}$Si es ordenado arquimediano , entonces es (una red vectorial) isomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$bajo su orden canónico. De lo contrario, existe un entero.${\displaystyle k}$satisfactorio${\displaystyle 2\leq k\leq n}$de tal manera que${\displaystyle X}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$dónde${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$tiene su orden canónico,${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}}$es${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$con el orden lexicográfico , y el producto de estos dos espacios tiene el orden de producto canónico.

El mismo resultado no se cumple en dimensiones infinitas. Como ejemplo de Kaplansky , consideremos el espacio vectorial V de funciones en [ 0,1 ] que son continuas excepto en un número finito de puntos, donde tienen un polo de segundo orden. Este espacio está ordenado reticularmente por la comparación puntual usual, pero no puede escribirse como ℝ ^κ para ningún cardinal κ . ^{[ 6 ]} Por otro lado, la epi-monofactorización en la categoría de espacios vectoriales ℝ también se aplica a los espacios de Riesz: todo espacio vectorial ordenado reticularmente inyecta en un cociente de ℝ ^κ un subespacio sólido . ^{[ 7 ]}

Todo espacio de Riesz es un espacio vectorial parcialmente ordenado , pero no todo espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio de Riesz.

Tenga en cuenta que para cualquier subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X,}$${\displaystyle \sup A=-\inf(-A)}$siempre que exista el supremo o el ínfimo (en cuyo caso ambos existen). ^{[ 2 ]} Si${\displaystyle x\geq 0}$y${\displaystyle y\geq 0}$entonces${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y].}$^{[ 2 ]} Para todos${\displaystyle a,b,x,{\text{ and }}y}$en un espacio Riesz${\displaystyle X,}$${\displaystyle a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).}$^{[ 4 ]}

There are a number of meaningful non-equivalent ways to define convergence of sequences or nets with respect to the order structure of a Riesz space. A sequence ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ in a Riesz space ${\displaystyle E}$ is said to converge monotonely if it is a monotone decreasing (resp. increasing) sequence and its infimum (supremum) ${\displaystyle x}$ exists in ${\displaystyle E}$ and denoted ${\displaystyle x_{n}\downarrow x}$ (resp. ${\displaystyle x_{n}\uparrow x}$).

A sequence ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ in a Riesz space ${\displaystyle E}$ is said to converge in order to ${\displaystyle x}$ if there exists a monotone converging sequence ${\displaystyle \left\{p_{n}\right\}}$ in ${\displaystyle E}$ such that ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<p_{n}\downarrow 0.}$

If ${\displaystyle u}$ is a positive element of a Riesz space ${\displaystyle E}$ then a sequence ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ in ${\displaystyle E}$ is said to converge u-uniformly to ${\displaystyle x}$ if for any ${\displaystyle r>0}$ there exists an ${\displaystyle N}$ such that ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<ru}$ for all ${\displaystyle n>N.}$

The extra structure provided by these spaces provide for distinct kinds of Riesz subspaces. The collection of each kind structure in a Riesz space (for example, the collection of all ideals) forms a distributive lattice.

Subredes

Si${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de un espacio vectorial preordenado${\displaystyle X}$luego el orden canónico en${\displaystyle M}$inducido por${\displaystyle X}$cono positivo${\displaystyle C}$es el preorden inducido por el cono convexo puntiagudo${\displaystyle C\cap M,}$donde este cono es apropiado si${\displaystyle C}$es apropiado (es decir, si${\displaystyle C\cap (-C)=\varnothing }$). ^{[ 3 ]}

Una subred de una red vectorial${\displaystyle X}$es un subespacio vectorial${\displaystyle M}$de${\displaystyle X}$de tal manera que para todos${\displaystyle x,y\in M,}$${\displaystyle \sup _{}{}_{X}(x,y)}$pertenece a${\displaystyle X}$(es importante señalar que este supremo se toma en${\displaystyle X}$y no en${\displaystyle M}$). ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle X=L^{p}([0,1],\mu )}$con${\displaystyle 0<p<1,}$entonces el subespacio vectorial bidimensional${\displaystyle M}$de${\displaystyle X}$definido por todos los mapas de la forma${\displaystyle t\mapsto at+b}$(dónde${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$) es una red vectorial bajo el orden inducido pero no es una subred de${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]} Esto a pesar de${\displaystyle X}$siendo una red vectorial topológica ordenada arquimediana de orden completo . Además, existe una subred vectorial.${\displaystyle N}$de este espacio${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle N\cap C}$tiene interior vacío en${\displaystyle X}$pero no hay funcional lineal positivo en${\displaystyle N}$puede extenderse a un funcional lineal positivo en${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

Retículos de cocientes

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$tener cono positivo${\displaystyle C,}$dejar${\displaystyle \pi :X\to X/M}$sea ​​la proyección canónica, y dejemos que${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ Entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$es un cono en${\displaystyle X/M}$que induce un preordenamiento canónico en el espacio cociente${\displaystyle X/M.}$ Si${\displaystyle {\hat {C}}}$es un cono adecuado en${\displaystyle X/M}$entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$marcas${\displaystyle X/M}$en un espacio vectorial ordenado. ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle M}$es${\displaystyle C}$-saturado entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$define el orden canónico de${\displaystyle X/M.}$^{[ 5 ]} Tenga en cuenta que${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado donde${\displaystyle \pi (C)}$no es un cono adecuado.

Si${\displaystyle X}$es una red vectorial y${\displaystyle N}$es un subespacio vectorial sólido de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle {\hat {C}}}$define el orden canónico de${\displaystyle X/M}$bajo el cual${\displaystyle L/M}$es una red vectorial y el mapa canónico${\displaystyle \pi :X\to X/M}$es un homomorfismo de retículo vectorial. Además, si${\displaystyle X}$¿El pedido está completo ?${\displaystyle M}$es una banda en${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle X/M}$es isomorfo con${\displaystyle M^{\bot }.}$^{[ 5 ]} Además, si${\displaystyle M}$es sólido entonces la topología de orden de${\displaystyle X/M}$es el cociente de la topología de orden en${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle X}$es una red vectorial topológica y${\displaystyle M}$es una subred sólida cerrada de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle X/L}$También es una red vectorial topológica. ^{[ 5 ]}

Producto

Si${\displaystyle S}$es cualquier conjunto entonces el espacio${\displaystyle X^{S}}$de todas las funciones de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X}$está ordenado canónicamente por el cono adecuado${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$^{[ 3 ]}

Supongamos que${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$es una familia de espacios vectoriales preordenados y que el cono positivo de${\displaystyle X_{\alpha }}$es${\displaystyle C_{\alpha }.}$ Entonces${\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$es un cono convexo puntiagudo en${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$que determina un orden canónico en${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$; ${\displaystyle C}$es un cono adecuado si todo${\displaystyle C_{\alpha }}$son conos propiamente dichos. ^{[ 3 ]}

Suma directa algebraica

La suma directa algebraica${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$de${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$que se da el ordenamiento de subespacio canónico heredado de${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$^{[ 3 ]} Si${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$son subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle X}$es la suma directa ordenada de estos subespacios si el isomorfismo algebraico canónico de${\displaystyle X}$sobre${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$(con el orden de producto canónico) es un isomorfismo de orden . ^{[ 3 ]}

Un cono${\displaystyle C}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que está generando si${\displaystyle C-C}$es igual a todo el espacio vectorial. ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle W}$son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con conos positivos respectivos${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q,}$entonces${\displaystyle P}$se está generando en${\displaystyle X}$si y solo si el conjunto${\displaystyle C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}}$es un cono adecuado en${\displaystyle \operatorname {L} (X;W),}$que es el espacio de todos los mapas lineales desde${\displaystyle X}$en${\displaystyle W.}$ En este caso el orden definido por${\displaystyle C}$se denomina ordenación canónica de${\displaystyle \operatorname {L} (X;W).}$^{[ 3 ]} De manera más general, si${\displaystyle M}$es cualquier subespacio vectorial de${\displaystyle \operatorname {L} (X;W)}$de tal manera que${\displaystyle C\cap M}$es un cono propio, el ordenamiento definido por${\displaystyle C\cap M}$se denomina ordenación canónica de${\displaystyle M.}$^{[ 3 ]}

Un mapa lineal${\displaystyle u:X\to Y}$entre dos espacios vectoriales preordenados${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$con conos positivos respectivos${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$se llama positivo si${\displaystyle u(C)\subseteq D.}$ Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son retículos vectoriales con${\displaystyle Y}$pedido completo y si${\displaystyle H}$es el conjunto de todas las aplicaciones lineales positivas de${\displaystyle X}$en${\displaystyle Y}$entonces el subespacio${\displaystyle M:=H-H}$de${\displaystyle \operatorname {L} (X;Y)}$es una red vectorial completa en orden bajo su orden canónico; además,${\displaystyle M}$contiene exactamente aquellos mapas lineales que mapean intervalos de orden de${\displaystyle X}$en intervalos de orden de${\displaystyle Y.}$^{[ 5 ]}

Supongamos que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son retículos vectoriales preordenados con conos positivos${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$y dejar${\displaystyle u:X\to Y}$Sé un mapa. Entonces${\displaystyle u}$es un homomorfismo de retículo vectorial preordenado si${\displaystyle u}$es lineal y si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 9 ] [ 5 ]}

1. ${\displaystyle u}$conserva las operaciones de la red
2. ${\displaystyle u(\sup\{x,y\})=\sup\{u(x),u(y)\}}$a pesar de${\displaystyle x,y\in X.}$
3. ${\displaystyle u(\inf\{x,y\})=\inf\{u(x),u(y)\}}$a pesar de${\displaystyle x,y\in X.}$
4. ${\displaystyle u(|x|)=\sup \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$
5. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle u(C)=D}$y${\displaystyle u^{-1}(0)}$es un subconjunto sólido de${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

Un homomorfismo de retículos vectoriales preordenado que es biyectivo es un isomorfismo de retículos vectoriales preordenado .

Un homomorfismo de retículos vectoriales preordenado entre dos espacios de Riesz se llama homomorfismo de retículos vectoriales ; si además es biyectivo, entonces se llama isomorfismo de retículos vectoriales .

Si${\displaystyle u}$es un funcional lineal no nulo en una red vectorial${\displaystyle X}$con cono positivo${\displaystyle C}$Entonces, los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$es un homomorfismo de retículo vectorial sobreyectivo.
2. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle u\geq 0}$y${\displaystyle u^{-1}(0)}$es un hiperplano sólido en${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle u'}$genera un rayo extremo del cono${\displaystyle X^{*}}$en${\displaystyle X^{*}.}$

Un rayo extremo del cono${\displaystyle C}$es un conjunto${\displaystyle \{rx:r\geq 0\}}$dónde${\displaystyle x\in C,}$${\displaystyle x}$es distinto de cero, y si${\displaystyle y\in C}$es tal que${\displaystyle x-y\in C}$entonces${\displaystyle y=sx}$para algunos${\displaystyle s}$de tal manera que${\displaystyle 0\leq s\leq 1.}$^{[ 9 ]}

Un homomorfismo de retículo vectorial de${\displaystyle X}$en${\displaystyle Y}$es un homomorfismo topológico cuando${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$se les dan sus respectivas topologías de orden . ^{[ 5 ]}

Los espacios de Riesz pueden tener numerosas propiedades de proyección. Se dice que un espacio de Riesz tiene la propiedad de proyección (principal) si cada banda (principal) es una banda de proyección.

El llamado teorema de inclusión principal relaciona las siguientes propiedades adicionales con la propiedad de proyección (principal): ^{[ 10 ]} Un espacio de Riesz es...

• Dedekind Completo (DC) si todo conjunto no vacío, acotado superiormente, tiene un supremo ;
• Super Dedekind Completo (SDC) si todo conjunto no vacío, acotado superiormente, tiene un subconjunto contable con supremo idéntico;
• Dedekind${\displaystyle \sigma }$-completa si todo conjunto numerable no vacío, acotado superiormente, tiene un supremo; y
• Propiedad arquimediana si, para cada par de elementos positivos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, siempre que la desigualdad${\displaystyle nx\leq y}$Se cumple para todos los números enteros.${\displaystyle n}$,${\displaystyle x=0}$.

Entonces, estas propiedades se relacionan de la siguiente manera. SDC implica DC; DC implica ambos Dedekind${\displaystyle \sigma }$-completitud y la propiedad de proyección; Ambos Dedekind${\displaystyle \sigma }$-la completitud y la propiedad de proyección implican por separado la propiedad de proyección principal; y la propiedad de proyección principal implica la propiedad arquimediana .

Ninguna de las implicaciones inversas se sostiene, pero Dedekind${\displaystyle \sigma }$-La completitud y la propiedad de proyección implican conjuntamente DC.

• El espacio de funciones continuas de valor real con soporte compacto en un espacio topológico${\displaystyle X}$con el orden parcial puntual definido por${\displaystyle f\leq g}$cuando${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X,}$es un espacio de Riesz. Es arquimediano, pero generalmente no tiene la propiedad de proyección principal a menos que${\displaystyle X}$satisface condiciones adicionales (por ejemplo, ser extremadamente desconectado ).
• Cualquier${\displaystyle L^{p}}$El espacio con el orden parcial puntual ( casi en todas partes ) es un espacio de Riesz completo de Dedekind.
• El espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$con el orden lexicográfico es un espacio de Riesz no arquimediano.

• Los espacios de Riesz son grupos ordenados en red.
• Todo espacio de Riesz es un retículo distributivo.

• Cono convexo : conjunto matemático cerrado bajo combinaciones lineales positivas. 
• Ínfimo y supremo : límite inferior máximo y límite superior mínimo. 
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 
• Espacio parcialmente ordenado – Espacio topológico parcialmente ordenado 

• Bourbaki, Nicolas ; Elementos de matemáticas: Integración. Capítulos 1–6 ; ISBN 3-540-41129-1
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
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• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
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• Espacio Riesz en la Enciclopedia de Matemáticas