Función homogénea

En matemáticas , una función homogénea es una función de varias variables tal que se cumple lo siguiente: si cada uno de los argumentos de la función se multiplica por el mismo escalar , entonces el valor de la función se multiplica por alguna potencia de este escalar; la potencia se llama grado de homogeneidad , o simplemente grado . Es decir, si $k$ es un entero, una función $f$ de $n$ variables es homogénea de grado $k$ si

f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})

por cada $x_{1},\ldots ,x_{n},$ y $s\neq 0.$ Esto también se conoce como una función homogénea de grado $k$ o de orden $k .$

Por ejemplo, un polinomio homogéneo de grado $k$ define una función homogénea de grado $k$ .

La definición anterior se extiende a funciones cuyo dominio y codominio son espacios vectoriales sobre un cuerpo $F$ : una función $f:V\to W$ entre dos espacios vectoriales $F$ es homogéneo de grado $k$ si

para todos los valores distintos de cero $s\in F$ y $v\in V.$ Esta definición se generaliza a menudo a funciones cuyo dominio no es $V$ , sino un cono en $V$ , es decir, un subconjunto $C$ de $V$ tal que $\mathbf {v} \in C$ implica $s\mathbf {v} \in C$ para cada escalar distinto de cero $s$ .

En el caso de funciones de varias variables reales y espacios vectoriales reales , a menudo se considera una forma de homogeneidad ligeramente más general llamada homogeneidad positiva , que solo requiere que se cumplan las identidades anteriores para $s>0,$ y permitiendo cualquier número real $k$ como grado de homogeneidad. Toda función real homogénea es positivamente homogénea . Lo contrario no es cierto, pero sí lo es localmente en el sentido de que (para grados enteros) los dos tipos de homogeneidad no se pueden distinguir considerando el comportamiento de una función cerca de un punto dado.

Una norma sobre un espacio vectorial real es un ejemplo de función positivamente homogénea que no es homogénea. Un caso especial es el valor absoluto de los números reales. El cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado es un ejemplo de función homogénea de grado cero. Este ejemplo es fundamental en la definición de esquemas proyectivos .

Definiciones

El concepto de función homogénea se introdujo originalmente para funciones de varias variables reales . Con la definición de espacios vectoriales a finales del siglo XIX, el concepto se extendió naturalmente a funciones entre espacios vectoriales, ya que una tupla de valores de variables puede considerarse como un vector de coordenadas . Es este punto de vista más general el que se describe en este artículo.

Hay dos definiciones de uso común. La general funciona para espacios vectoriales sobre campos arbitrarios y está restringida a grados de homogeneidad que son enteros .

La segunda definición supone trabajar sobre el cuerpo de los números reales o, más generalmente, sobre un cuerpo ordenado . Esta definición restringe a valores positivos el factor de escala que aparece en ella, y por lo tanto se denomina homogeneidad positiva , omitándose a menudo el calificativo «positiva» cuando no hay riesgo de confusión. La homogeneidad positiva lleva a considerar más funciones como homogéneas. Por ejemplo, el valor absoluto y todas las normas son funciones homogéneas positivas que, sin embargo, no son homogéneas.

La restricción del factor de escala a valores reales positivos permite considerar también funciones homogéneas cuyo grado de homogeneidad sea cualquier número real.

homogeneidad general

Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre un cuerpo $F.$ Un cono lineal en $V$ es un subconjunto $C$ de $V$ tal que $sx\in C$ a pesar de $x\in C$ y todos distintos de cero $s\in F.$

Una función homogénea $f$ de $V$ a $W$ es una función parcial de $V$ a $W$ que tiene como dominio un cono lineal $C$ y satisface

f(sx)=s^{k}f(x)

para algún entero $k$ , cada $x\in C,$ y cada distinto de cero $s\in F.$ El número entero $k$ se llama grado de homogeneidad , o simplemente grado de $f$ .

Un ejemplo típico de función homogénea de grado $k$ es la función definida por un polinomio homogéneo de grado $k$ . La función racional definida por el cociente de dos polinomios homogéneos es una función homogénea; su grado es la diferencia entre los grados del numerador y el denominador; su cono de definición es el cono lineal de los puntos donde el valor del denominador no es cero.

Las funciones homogéneas desempeñan un papel fundamental en la geometría proyectiva, ya que cualquier función homogénea $f$ de $V$ a $W$ define una función bien definida entre las proyecciones de $V$ y $W.$ Las funciones racionales homogéneas de grado cero (aquellas definidas por el cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado) desempeñan un papel esencial en la construcción de esquemas proyectivos mediante Proj .

homogeneidad positiva

Cuando se trabaja con números reales , o más generalmente con un cuerpo ordenado , suele ser conveniente considerar la homogeneidad positiva , cuya definición es exactamente la misma que la de la sección anterior, con " $s$ distinto de cero " reemplazado por " $s > 0$ " en las definiciones de un cono lineal y una función homogénea.

Este cambio permite considerar funciones (positivamente) homogéneas con cualquier número real como sus grados, ya que la exponenciación con una base real positiva está bien definida.

Incluso en el caso de grados enteros, hay muchas funciones útiles que son positivamente homogéneas sin ser homogéneas. Este es, en particular, el caso de la función de valor absoluto y las normas , que son todas positivamente homogéneas de grado $1.$ No son homogéneas ya que $|-x|=|x|\neq -|x|$ si $x\neq 0.$ Esto sigue siendo cierto en el caso complejo , ya que el campo de los números complejos $\mathbb {C}$ y todo espacio vectorial complejo puede considerarse como un espacio vectorial real.

El teorema de la función homogénea de Euler es una caracterización de las funciones diferenciables homogéneas positivas , que puede considerarse como el teorema fundamental sobre funciones homogéneas .

Ejemplos

Una función homogénea no es necesariamente continua , como lo demuestra este ejemplo. Esta es la función $f$ definido por $f(x,y)=x$ si $xy>0$ y $f(x,y)=0$ si $xy\leq 0.$ Esta función es homogénea de grado 1, es decir, $f(sx,sy)=sf(x,y)$ para cualquier número real $s,x,y.$ Es discontinuo en $y=0,x\neq 0.$

{\displaystyle f} — Una función homogénea no es necesariamente continua , como lo demuestra este ejemplo. Esta es la función $f$ definido por $f(x,y)=x$ si $xy>0$ y $f(x,y)=0$ si $xy\leq 0.$ Esta función es homogénea de grado 1, es decir, $f(sx,sy)=sf(x,y)$ para cualquier número real $s,x,y.$ Es discontinuo en $y=0,x\neq 0.$

Ejemplo sencillo

La función $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ es homogéneo de grado 2: $f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).$

Valor absoluto y normas

El valor absoluto de un número real es una función positivamente homogénea de grado $1$ , que no es homogénea, ya que $|sx|=s|x|$ si $s>0,$ y $|sx|=-s|x|$ si $s<0.$

El valor absoluto de un número complejo es una función homogénea positiva del grado $1$ sobre los números reales (es decir, al considerar los números complejos como un espacio vectorial sobre los números reales). No es homogéneo, ni sobre los números reales ni sobre los números complejos.

En términos más generales, toda norma y seminorma es una función positivamente homogénea de grado $1$ que no es una función homogénea. En cuanto al valor absoluto, si la norma o seminorma se define en un espacio vectorial sobre los números complejos, este espacio vectorial debe considerarse como un espacio vectorial sobre los números reales para aplicar la definición de función positivamente homogénea.

Mapas lineales

Cualquier mapa lineal $f:V\to W$ La relación entre espacios vectoriales sobre un cuerpo $F$ es homogénea de grado 1, por definición de linealidad: $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$ a pesar de $\alpha \in {F}$ y $v\in V.$

De manera similar, cualquier función multilineal $f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W$ es homogéneo de grado $n,$ por definición de multilinealidad: $f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ a pesar de $\alpha \in {F}$ y $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.$

Polinomios homogéneos

Monomios en $n$ Las variables definen funciones homogéneas $f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .$ Por ejemplo, $f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,$ es homogéneo de grado 10 ya que $f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,$ El grado es la suma de los exponentes de las variables; en este ejemplo, $10=5+2+3.$

Un polinomio homogéneo es un polinomio formado por la suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo, $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ es un polinomio homogéneo de grado 5. Los polinomios homogéneos también definen funciones homogéneas.

Dado un polinomio homogéneo de grado $k$ con coeficientes reales que toman solo valores positivos, se obtiene una función positivamente homogénea de grado $k/d$ al elevarlo al poder $1/d.$ Por ejemplo, la siguiente función es positivamente homogénea de grado 1 pero no homogénea: $\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$

Mínimo/máximo

Por cada juego de pesas $w_{1},\dots ,w_{n},$ Las siguientes funciones son homogéneas positivas de grado 1, pero no homogéneas:

$\min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$ ( Servicios públicos de Leontief )
$\max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$

Funciones racionales

Las funciones racionales formadas como la razón de dos polinomios homogéneos son funciones homogéneas en su dominio , es decir, fuera del cono lineal formado por los ceros del denominador. Por lo tanto, si $f$ es homogéneo de grado $m$ y $g$ es homogéneo de grado $n,$ entonces $f/g$ es homogéneo de grado $m-n$ lejos de los ceros de $g.$

No ejemplos

Las funciones reales homogéneas de una sola variable tienen la forma $x\mapsto cx^{k}$ para alguna constante $c$ . Entonces, la función afín $x\mapsto x+5,$ el logaritmo natural $x\mapsto \ln(x),$ y la función exponencial $x\mapsto e^{x}$ no son homogéneos.

Teorema de Euler

En términos generales, el teorema de la función homogénea de Euler afirma que las funciones homogéneas positivas de un grado dado son exactamente la solución de una ecuación diferencial parcial específica . Más precisamente:

Teorema de la función homogénea de Euler : si $f$ es una función (parcial) de $n$ variables reales que es positivamente homogénea de grado $k$ y continuamente diferenciable en algún subconjunto abierto de $\mathbb {R} ^{n},$ entonces satisface en este conjunto abierto la ecuación diferencial parcial $k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Por el contrario, toda solución máxima continuamente diferenciable de esta ecuación parcialmente diferenciable es una función positivamente homogénea de grado $k$ , definida en un cono positivo (aquí, máxima significa que la solución no se puede extender a una función con un dominio mayor).

Prueba

Para tener fórmulas más simples, establecimos $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ La primera parte se obtiene utilizando la regla de la cadena para diferenciar ambos lados de la ecuación. $f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )$ con respecto a $s,$ y tomando el límite del resultado cuando $s$ tiende a $1$ .

Lo contrario se demuestra integrando una ecuación diferencial simple . Sea $\mathbf {x}$ estar en el interior del dominio de $f$ . Para $s$ suficientemente cercano a $1$ , la función ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$ está bien definido. La ecuación diferencial parcial implica que $sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).$ Las soluciones de esta ecuación diferencial lineal tienen la forma $g(s)=g(1)s^{k}.$ Por lo tanto, $f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),$ si $s$ está suficientemente cerca de $1.$ Si esta solución de la ecuación diferencial parcial no estuviera definida para todo $s$ positivo , entonces la ecuación funcional permitiría prolongar la solución, y la ecuación diferencial parcial implica que esta prolongación es única. Por lo tanto, el dominio de una solución máxima de la ecuación diferencial parcial es un cono lineal, y la solución es positivamente homogénea de grado $k$ . $\square$

Como consecuencia, si $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ es continuamente diferenciable y homogéneo de grado $k,$ sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_{i}$ son homogéneos de grado $k-1.$ Esto se obtiene a partir del teorema de Euler al diferenciar la ecuación diferencial parcial con respecto a una variable.

En el caso de una función de una sola variable real ( $n=1$ ), el teorema implica que una función continuamente diferenciable y positivamente homogénea de grado $k$ tiene la forma $f(x)=c_{+}x^{k}$ para $x>0$ y $f(x)=c_{-}x^{k}$ para $x<0.$ Las constantes $c_{+}$ y $c_{-}$ no son necesariamente lo mismo, como ocurre con el valor absoluto .

Aplicación a ecuaciones diferenciales

La sustitución $v=y/x$ convierte la ecuación diferencial ordinaria $I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$ dónde $I$ y $J$ son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable $x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.$

Generalizaciones

Homogeneidad bajo una acción monoide

Las definiciones dadas anteriormente son todos casos especializados de la siguiente noción más general de homogeneidad en la que $X$ puede ser cualquier conjunto (en lugar de un espacio vectorial) y los números reales pueden ser reemplazados por la noción más general de un monoide .

Dejar $M$ ser un monoide con elemento identidad $1\in M,$ dejar $X$ y $Y$ sean conjuntos, y supongamos que en ambos $X$ y $Y$ existen acciones monoides definidas de $M.$ Dejar $k$ Sea un número entero no negativo y sea $f:X\to Y$ Sé un mapa. Entonces $f$ Se dice que es homogéneo de grado $k$ encima $M$ si por cada $x\in X$ y $m\in M,$ $f(mx)=m^{k}f(x).$ Si además hay una función $M\to M,$ denotado por $m\mapsto |m|,$ entonces se le llama valor absoluto $f$ Se dice que es absolutamente homogéneo en cuanto a su grado. $k$ encima $M$ si por cada $x\in X$ y $m\in M,$ $f(mx)=|m|^{k}f(x).$

Una función es homogénea sobre $M$ (resp. absolutamente homogéneo sobre $M$ ) si es homogéneo de grado $1$ encima $M$ (resp. absolutamente homogéneo de grado $1$ encima $M$ ).

De manera más general, es posible que los símbolos $m^{k}$ ser definido para $m\in M$ con $k$ ser algo distinto de un número entero (por ejemplo, si $M$ son los números reales y $k$ es un número real distinto de cero entonces $m^{k}$ se define aunque $k$ no es un número entero). Si este es el caso, entonces $f$ se denominará homogéneo de grado $k$ encima $M$ Si se mantiene la misma igualdad: $f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.$

La noción de ser absolutamente homogéneo en grado $k$ encima $M$ Se generaliza de forma similar.

Distribuciones (funciones generalizadas)

Una función continua $f$ en $\mathbb {R} ^{n}$ es homogéneo de grado $k$ si y solo si $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx$ para todas las funciones de prueba compatibles de forma compacta $\varphi$ ; y real distinto de cero $t.$ De forma equivalente, realizar un cambio de variable $y=tx,$ $f$ es homogéneo de grado $k$ si y solo si $t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy$ a pesar de $t$ y todas las funciones de prueba $\varphi .$ La última visualización permite definir la homogeneidad de las distribuciones . Una distribución $S$ es homogéneo de grado $k$ si $t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle$ para todos los números reales distintos de cero $t$ y todas las funciones de prueba $\varphi .$ Aquí los corchetes angulares denotan el emparejamiento entre distribuciones y funciones de prueba, y $\mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ es la aplicación de la división escalar por el número real $t.$

Glosario de variantes de nombres

Dejar $f:X\to Y$ sea una aplicación entre dos espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb {F}$ (normalmente los números reales) $\mathbb {R}$ o números complejos $\mathbb {C}$ ). Si $S$ es un conjunto de escalares, como por ejemplo $\mathbb {Z} ,$ $[0,\infty ),$ o $\mathbb {R}$ por ejemplo, entonces $f$ Se dice quehomogéneo sobre $S$ si ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ por cada $x\in X$ y escalar $s\in S.$ Por ejemplo, toda aplicación aditiva entre espacios vectoriales eshomogéneo sobre los números racionales $S:=\mathbb {Q}$ aunque podría no serlohomogéneo sobre los números reales $S:=\mathbb {R} .$

Los siguientes casos especiales y variaciones comunes de esta definición tienen su propia terminología:

(Estricto )Homogeneidad positiva :^{[ 1 ]} $f(rx)=rf(x)$ $f(rx)=rf(x)$ a pesar de $x\in X$ $x\in X$ y todo positivo real $r>0.$ $r>0.$
- Cuando la función $f$ si se valora en un espacio vectorial o campo, entonces esta propiedad es lógicamente equivalente ^{[ prueba 1 ]} ahomogeneidad no negativa , que por definición significa:^{[ 2 ]} $f(rx)=rf(x)$ a pesar de $x\in X$ y todos los números reales no negativos $r\geq 0.$ Es por esta razón que la homogeneidad positiva a menudo también se denomina homogeneidad no negativa. Sin embargo, para funciones con valores en los números reales extendidos $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ que aparecen en campos como el análisis convexo , la multiplicación $0\cdot f(x)$ será indefinido cuando $f(x)=\pm \infty$ y por lo tanto, estas afirmaciones no son necesariamente siempre intercambiables. ^{[ nota 1 ]}
- Esta propiedad se utiliza en la definición de una función sublineal . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}
- Los funcionales de Minkowski son precisamente aquellas funciones extendidas de valor real no negativas que poseen esta propiedad.
Homogeneidad real : $f(rx)=rf(x)$ $f(rx)=rf(x)$ a pesar de $x\in X$ $x\in X$ y todo real $r.$ $r.$
- Esta propiedad se utiliza en la definición de un funcional lineal real .
Homogeneidad :^{[ 3 ]} $f(sx)=sf(x)$ $f(sx)=sf(x)$ a pesar de $x\in X$ $x\in X$ y todos los escalares $s\in \mathbb {F} .$ $s\in \mathbb {F} .$
- Se enfatiza que esta definición depende del campo escalar. $\mathbb {F}$ subyacente al dominio $X.$
- Esta propiedad se utiliza en la definición de funcionales lineales y aplicaciones lineales . ^{[ 2 ]}
Homogeneidad conjugada :^{[ 4 ]} $f(sx)={\overline {s}}f(x)$ $f(sx)={\overline {s}}f(x)$ a pesar de $x\in X$ $x\in X$ y todos los escalares $s\in \mathbb {F} .$ $s\in \mathbb {F} .$
- Si $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ entonces ${\overline {s}}$ típicamente denota el conjugado complejo de $s$ . Pero, en términos más generales, como ocurre con los mapas semilineales , por ejemplo, ${\overline {s}}$ podría ser la imagen de $s$ bajo algún automorfismo distinguido de $\mathbb {F} .$
- Junto con la aditividad , esta propiedad se asume en la definición de una aplicación antilineal . También se asume que una de las dos coordenadas de una forma sesquilineal posee esta propiedad (como el producto interno de un espacio de Hilbert ).

Todas las definiciones anteriores se pueden generalizar reemplazando la condición. $f(rx)=rf(x)$ con $f(rx)=|r|f(x),$ en cuyo caso esa definición se antepone a la palabra " absoluto " o " absolutamente ". Por ejemplo,

Homogeneidad absoluta :^{[ 2 ]} $f(sx)=|s|f(x)$ $f(sx)=|s|f(x)$ a pesar de $x\in X$ $x\in X$ y todos los escalares $s\in \mathbb {F} .$ $s\in \mathbb {F} .$
- Esta propiedad se utiliza en la definición de una seminorma y una norma .

Si $k$ Si es un número real fijo, entonces las definiciones anteriores se pueden generalizar aún más reemplazando la condición. $f(rx)=rf(x)$ con $f(rx)=r^{k}f(x)$ (y de manera similar, reemplazando $f(rx)=|r|f(x)$ con $f(rx)=|r|^{k}f(x)$ para condiciones que utilizan el valor absoluto, etc.), en cuyo caso se dice que la homogeneidad es " de grado $k$ " (donde en particular, todas las definiciones anteriores son " de grado $1$ " ). Por ejemplo,

Homogeneidad real del grado $k$ : $f(rx)=r^{k}f(x)$ a pesar de $x\in X$ y todo real $r.$
Homogeneidad de grado $k$ : $f(sx)=s^{k}f(x)$ a pesar de $x\in X$ y todos los escalares $s\in \mathbb {F} .$
Homogeneidad real absoluta de grado $k$ : $f(rx)=|r|^{k}f(x)$ a pesar de $x\in X$ y todo real $r.$
Homogeneidad absoluta de grado $k$ : $f(sx)=|s|^{k}f(x)$ a pesar de $x\in X$ y todos los escalares $s\in \mathbb {F} .$

Una función continua no nula que es homogénea de grado $k$ en $\mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace$ se extiende continuamente a $\mathbb {R} ^{n}$ si y solo si $k>0.$

Véase también

Espacio homogéneo
Función del centro de un triángulo : punto en un triángulo que puede considerarse su centro según ciertos criterios. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección.

Notas

↑ Sin embargo, si tal es un $f$ Satisface $f(rx)=rf(x)$ a pesar de $r>0$ y $x\in X,$ entonces necesariamente $f(0)\in \{\pm \infty ,0\}$ y siempre $f(0),f(x)\in \mathbb {R}$ Entonces, ambas son reales. $f(rx)=rf(x)$ se mantendrá para todos $r\geq 0.$

Pruebas

↑ Supongamos que $f$ es estrictamente homogéneo positivo y valorado en un espacio vectorial o un campo. Entonces $f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)$ así que restando $f(0)$ de ambos lados muestra que $f(0)=0.$ Escribiendo $r:=0,$ entonces para cualquier $x\in X,$ $f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),$ lo cual demuestra que $f$ es homogéneo no negativo.

Referencias

^ Schechter 1996 , págs. 313–314.
^ Kubrusly 2011 , pág .200.
↑ Kubrusly 2011 , pág. 55.
↑ Kubrusly 2011 , pág. 310.

Fuentes

Blatter, cristiano (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1". Análisis II (en alemán) (2ª ed.). Springer Verlag. pag. 188.ISBN 3-540-09484-9.
Kubrusly, Carlos S. (2011). Elementos de la teoría de operadores (Segunda edición). Boston: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2OCLC 710154895
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135
Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365

Enlaces externos

"Función homogénea" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Eric Weisstein. "Teorema de la función homogénea de Euler" . MathWorld .

[4] Sin embargo, si tal es un $f$ Satisface $f(rx)=rf(x)$ a pesar de $r>0$ y $x\in X,$ entonces necesariamente $f(0)\in \{\pm \infty ,0\}$ y siempre $f(0),f(x)\in \mathbb {R}$ Entonces, ambas son reales. $f(rx)=rf(x)$ se mantendrá para todos $r\geq 0.$

[posHomEquivToNonnegHom-2] Supongamos que $f$ es estrictamente homogéneo positivo y valorado en un espacio vectorial o un campo. Entonces $f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)$ así que restando $f(0)$ de ambos lados muestra que $f(0)=0.$ Escribiendo $r:=0,$ entonces para cualquier $x\in X,$ $f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),$ lo cual demuestra que $f$ es homogéneo no negativo.

[FOOTNOTESchechter1996313–314-1] Schechter 1996 , págs. 313–314.

[FOOTNOTEKubrusly2011200-3] Kubrusly 2011 , pág .200.

[FOOTNOTEKubrusly201155-5] Kubrusly 2011 , pág. 55.

[FOOTNOTEKubrusly2011310-6] Kubrusly 2011 , pág. 310.

[ 1 ]

[ prueba 1 ]

[ 2 ]

[ nota 1 ]

[ 3 ]

[ 4 ]