Centro triangular

En algunos casos, estas funciones no están definidas en todo el ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$Por ejemplo, los trilineales de X _365, que es la entrada número 365 en la Enciclopedia de Centros de Triángulos , son:${\displaystyle a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}}$por lo que a, b, c no pueden ser negativos. Además, para representar los lados de un triángulo deben satisfacer la desigualdad triangular . Así pues, en la práctica, el dominio de cada función está restringido a la región de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$dónde​ $${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.}$$ Esta región T es el dominio de todos los triángulos, y es el dominio predeterminado para todas las funciones basadas en triángulos.

Existen diversos casos en los que puede ser conveniente restringir el análisis a un dominio más pequeño que T. Por ejemplo:

• Los centros X ₃ , X ₄ , X ₂₂ , X ₂₄ , X ₄₀ hacen referencia específica a triángulos agudos , es decir, a esa región de T donde$${\displaystyle a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.}$$
• Al diferenciar entre el punto de Fermat y X _13, es importante el dominio de triángulos con un ángulo mayor que 2π/3; en otras palabras, triángulos para los cuales se cumple alguna de las siguientes condiciones:

$${\displaystyle a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.}$$

• Un dominio de gran valor práctico, ya que es denso en T pero excluye todos los triángulos triviales (es decir, puntos) y triángulos degenerados (es decir, líneas), es el conjunto de todos los triángulos escalenos . Se obtiene eliminando los planos b = c , c = a , a = b de T.

No todo subconjunto D ⊆ T es un dominio viable. Para que se cumpla la prueba de bisimetría, D debe ser simétrico respecto a los planos b = c , c = a , a = b . Para que se cumpla la ciclicidad, también debe ser invariante bajo rotaciones de 2π/3 alrededor de la línea a = b = c . El dominio más simple de todos es la línea ( t , t , t ) , que corresponde al conjunto de todos los triángulos equiláteros .

El punto de concurrencia de las mediatrices de los lados del triángulo △ ABC es el circuncentro. Las coordenadas trilineales del circuncentro son

$${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}$$

Dejar${\displaystyle f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}$Se puede demostrar que f es homogénea: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}}$$ así como bisimétrico: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}}$$ Por lo tanto, f es una función del centro de un triángulo. Dado que el centro del triángulo correspondiente tiene las mismas funciones trilineales que el circuncentro, se deduce que el circuncentro es un centro de triángulo.

Sea △ A'BC el triángulo equilátero con base BC y vértice A' en el lado negativo de BC , y sean △ AB'C y △ ABC' triángulos equiláteros construidos de manera similar a partir de los otros dos lados del triángulo △ ABC . Entonces las rectas AA', BB', CC' son concurrentes y el punto de concurrencia es el primer centro isogonal. Sus coordenadas trilineales son

${\displaystyle \csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).}$

Al expresar estas coordenadas en términos de a, b y c , se puede verificar que, en efecto, satisfacen las propiedades que definen las coordenadas del centro de un triángulo. Por lo tanto, el primer centro isogónico también es el centro de un triángulo.

Dejar

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{si }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{si }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{si }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ o }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{si }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ o }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{en otro caso }}&\iff A,B,C\leq 2\pi /3\end{cases}}}$$

Entonces f es bisimétrica y homogénea, por lo que es una función del centro de un triángulo. Además, el centro del triángulo correspondiente coincide con el vértice de ángulo obtuso siempre que cualquier ángulo del vértice exceda${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}$y con el primer centro isogónico en caso contrario. Por lo tanto, este centro triangular no es otro que el punto de Fermat .

Las coordenadas trilineales del primer punto de Brocard son: $${\displaystyle {\frac {c}{b}}\$$ :\ {\frac {a}{c}}\  :\ {\frac {b}{a}}} Estas coordenadas satisfacen las propiedades de homogeneidad y ciclicidad, pero no de bisimetría. Por lo tanto, el primer punto de Brocard no es (en general) el centro de un triángulo. El segundo punto de Brocard tiene coordenadas trilineales: $${\displaystyle {\frac {b}{c}}\$$ :\ {\frac {c}{a}}\  :\ {\frac {a}{b}}} y observaciones similares se aplican.

Los dos primeros puntos de Brocard son uno de los muchos pares bicéntricos de puntos, ^{[ 6 ]} pares de puntos definidos a partir de un triángulo con la propiedad de que el par (pero no cada punto individual) se conserva bajo las semejanzas del triángulo. Varias operaciones binarias, como el punto medio y el producto trilineal, cuando se aplican a los dos puntos de Brocard, así como a otros pares bicéntricos, producen centros de triángulos.

En la siguiente tabla de centros de triángulos más recientes, no se mencionan notaciones específicas para los distintos puntos. Además, para cada centro solo se especifica la primera coordenada trilineal f(a,b,c). Las demás coordenadas se pueden obtener fácilmente utilizando la propiedad de ciclicidad de las coordenadas trilineales.

En honor a Clark Kimberling, quien creó la enciclopedia en línea de más de 32.000 centros triangulares, los centros triangulares que figuran en la enciclopedia se denominan colectivamente centros de Kimberling . ^{[ 8 ]}

Un centro de triángulo P se denomina centro de triángulo polinomial si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar como polinomios en a, b, c .

Un centro triangular P se denomina punto triangular regular si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar como polinomios en △, a , b , c , donde △ es el área del triángulo.

Se dice que el centro de un triángulo P es un centro de triángulo mayor si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar de la forma${\displaystyle f(A):f(B):f(C)}$donde​${\displaystyle f(X)}$es una función únicamente del ángulo X y no depende de los otros ángulos ni de las longitudes de los lados. ^{[ 9 ]}

Un centro triangular P se denomina centro triangular trascendental si P no tiene representación trilineal utilizando únicamente funciones algebraicas de a, b, c .

Sea f una función del centro de un triángulo. Si dos lados de un triángulo son iguales (digamos a = b ), entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}}$$ Así, dos componentes del centro del triángulo asociado son siempre iguales. Por lo tanto, todos los centros de un triángulo isósceles deben estar sobre su eje de simetría . En un triángulo equilátero, las tres componentes son iguales, por lo que todos los centros coinciden con el centroide. De este modo, al igual que un círculo, un triángulo equilátero tiene un único centro.

Dejar $${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Se observa fácilmente que esta es una función del centro de un triángulo y (siempre que el triángulo sea escaleno) el centro correspondiente es el excentro opuesto al ángulo mayor del vértice. Los otros dos excentros se pueden determinar mediante funciones similares. Sin embargo, como se indicó anteriormente, solo uno de los excentros de un triángulo isósceles y ninguno de los excentros de un triángulo equilátero pueden ser el centro de un triángulo.

Una función f es biantisimétrica si $${\displaystyle f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.}$$ Si dicha función también es distinta de cero y homogénea, se ve fácilmente que la aplicación $${\displaystyle (a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)}$$ es una función de centro de triángulo. El centro de triángulo correspondiente es $${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).}$$ Debido a esto, la definición de función del centro del triángulo a veces se considera que incluye funciones biantisimétricas homogéneas no nulas.

Cualquier función de centro triangular f puede normalizarse multiplicándola por una función simétrica de a, b, c de modo que n = 0. Una función de centro triangular normalizada tiene el mismo centro triangular que la original, y también la propiedad más fuerte de que $${\displaystyle f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).}$$ Junto con la función cero, las funciones de centro de triángulo normalizadas forman un álgebra bajo la suma, la resta y la multiplicación. Esto proporciona una manera fácil de crear nuevos centros de triángulo. Sin embargo, distintas funciones de centro de triángulo normalizadas a menudo definirán el mismo centro de triángulo, por ejemplo f y${\displaystyle (abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.}$

Supongamos que a, b, c son variables reales y sean α, β, γ tres constantes reales cualesquiera.

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}}$$

Entonces, f es una función que define el centro de un triángulo, y α  : β  : γ es el centro del triángulo correspondiente siempre que los lados del triángulo de referencia estén etiquetados de manera que a < b < c . Por lo tanto, cada punto es potencialmente un centro de triángulo. Sin embargo, la gran mayoría de los centros de triángulos son de poco interés, al igual que la mayoría de las funciones continuas.

Si f es una función de centro de triángulo, entonces también lo es af y el centro de triángulo correspondiente es $${\displaystyle a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).}$$ Dado que estas son precisamente las coordenadas baricéntricas del centro del triángulo correspondiente a f , se deduce que los centros de los triángulos podrían haberse definido igualmente en términos de coordenadas baricéntricas en lugar de trilineales. En la práctica, no es difícil cambiar de un sistema de coordenadas a otro.

Además del punto de Fermat y el primer centro isogónico, existen otros pares de centros. Otro sistema está formado por X ₃ y el incentro del triángulo tangente . Consideremos la función del centro del triángulo dada por:

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$$

Para el centro del triángulo correspondiente existen cuatro posibilidades distintas: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\$$ :\,\cos B\  :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{si }}\measuredangle A{\text{ es obtuso:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{si }}\measuredangle B{\text{ es obtuso:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{si }}\measuredangle C{\text{ es obtuso:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}} Nótese que el primero también es el circuncentro.

Los cálculos rutinarios demuestran que, en todos los casos, estos triángulos representan el incentro del triángulo tangente. Por lo tanto, este punto es un centro triangular muy cercano al circuncentro.

Reflejar un triángulo invierte el orden de sus lados. En la imagen, las coordenadas se refieren al triángulo ( c , b , a ) y (usando "|" como separador) a la reflexión de un punto arbitrario.${\displaystyle \gamma$ :\beta  :\alpha } es${\displaystyle \gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .}$Si f es una función centrada en un triángulo, la reflexión de su centro triangular es${\displaystyle f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),}$que, por bisimetría, es lo mismo que${\displaystyle f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).}$ Dado que este es también el centro del triángulo correspondiente a f con respecto al triángulo ( c , b , a ) , la bisimetría garantiza que todos los centros de los triángulos sean invariantes bajo reflexión. Como las rotaciones y traslaciones pueden considerarse reflexiones dobles, también deben preservar los centros de los triángulos. Estas propiedades de invariancia justifican la definición.

Otros nombres para la dilatación son escalamiento uniforme , escalamiento isotrópico , homotecia y homotecia .