Triángulos agudos y obtusos

Si el ángulo C es obtuso, entonces para los lados a , b y c tenemos ^{[ 4 ] : p.1, #74}

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

donde la desigualdad de la izquierda se aproxima a la igualdad en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se aproxima a 180°, y donde la desigualdad de la derecha se aproxima a la igualdad solo cuando el ángulo obtuso se aproxima a 90°.

Si el triángulo es agudo entonces

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Si C es el ángulo mayor y h _c es la altura desde el vértice C , entonces para un triángulo acutángulo ^{[ 4 ] : p.135, #3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

con la desigualdad opuesta si C es obtuso.

Con el lado más largo c y las medianas m _a y m _b desde los otros lados, ^{[ 4 ] : p.136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

para un triángulo acutángulo, pero con la desigualdad invertida para un triángulo obtusángulo.

La mediana m _c desde el lado más largo es mayor o menor que el radio de la circunferencia circunscrita para un triángulo agudo u obtuso respectivamente: ^{[ 4 ] : p.136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

para triángulos agudos, y lo contrario para triángulos obtusos.

Desigualdad de Ono para el área A ,

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

Esto se cumple para todos los triángulos agudos, pero no para todos los triángulos obtusos.

Para un triángulo acutángulo tenemos, para los ángulos A , B y C , ^{[ 4 ] : p.26, #954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

y la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtusángulo.

Para un triángulo acutángulo con radio de la circunferencia circunscrita R , ^{[ 4 ] : ​​pág. 141, n.° 3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

y ^{[ 4 ] : pág. 155, n.° S25}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Para un triángulo agudo, ^{[ 4 ] : pág. 115, n.° 2874}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo, ^{[ 4 ] : p178, #241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Para cualquier triángulo, la identidad de la triple tangente establece que la suma de las tangentes de los ángulos es igual a su producto. Dado que un ángulo agudo tiene un valor de tangente positivo, mientras que un ángulo obtuso tiene uno negativo, la expresión para el producto de las tangentes muestra que

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

para triángulos acutángulos, mientras que la desigualdad en sentido contrario se aplica a los triángulos obtusángulos.

Tenemos ^{[ 4 ] : pág. 26, n.° 958}

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

para triángulos agudos, y lo contrario para triángulos obtusos.

Para todos los triángulos agudos, ^{[ 4 ] : pág. 40, n.° 1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Para todos los triángulos agudos con radio inscrito r y radio circunscrito R , ^{[ 4 ] : p.53, #1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Para un triángulo acutángulo con área K , ^{[ 4 ] : pág. 103, n.° 2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

En un triángulo acutángulo, la suma del radio de la circunferencia circunscrita R y el radio de la circunferencia inscrita r es menor que la mitad de la suma de los lados más cortos a y b : ^{[ 4 ] : p.105, #2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

mientras que la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtusángulo.

Para un triángulo agudo con medianas m _a , m _b , y m _c y radio circunscrito R , tenemos ^{[ 4 ] : p.26, #954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

mientras que la desigualdad opuesta se cumple para un triángulo obtusángulo.

Además, un triángulo agudo satisface ^{[ 4 ] : p.26, #954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

en términos de los radios de la excírculo r _a , r _b , y r _c , nuevamente con la desigualdad inversa que se cumple para un triángulo obtuso.

Para un triángulo acutángulo con semiperímetro s , ^{[ 4 ] : pág. 115, n.° 2874}

${\displaystyle s-r>2R,}$

y la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtusángulo.

Para un triángulo acutángulo con área K , ^{[ 4 ] : pág. 185, n.º 291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Para un triángulo acutángulo, la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface ^{[ 4 ] : p.26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

mientras que la desigualdad opuesta se cumple para un triángulo obtusángulo.

Para un triángulo acutángulo, la distancia entre el centro del círculo inscrito I y el ortocentro H satisface ^{[ 4 ] : p.26, #954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

donde r es el radio de la circunferencia inscrita , con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Si uno de los cuadrados inscritos de un triángulo acutángulo tiene longitud de lado x _a y otro tiene longitud de lado x _b con x _a < x _b , entonces ^{[ 2 ] : pág. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Si dos triángulos obtusos tienen lados ( a, b, c ) y ( p, q, r ), siendo c y r los lados más largos respectivos, entonces ^{[ 4 ] : ​​pág. 29, n.° 1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

El triángulo de Calabi , que es el único triángulo no equilátero para el cual el cuadrado más grande que cabe en el interior se puede colocar de tres maneras diferentes, es obtuso e isósceles con ángulos de la base de 39,1320261...° y tercer ángulo de 101,7359477...°.

El triángulo equilátero , con tres ángulos de 60°, es agudo.

El triángulo de Morley , formado a partir de cualquier triángulo por la intersección de sus trisectrices de ángulos adyacentes, es equilátero y, por lo tanto, agudo.

El triángulo áureo es el triángulo isósceles en el que la razón entre el lado duplicado y el lado base es igual a la proporción áurea . Es agudo, con ángulos de 36°, 72° y 72°, lo que lo convierte en el único triángulo con ángulos en proporción 1:2:2. ^{[ 5 ]}

El triángulo heptagonal , cuyos lados coinciden con un lado, la diagonal más corta y la diagonal más larga de un heptágono regular , es obtuso, con ángulos${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$y${\displaystyle 4\pi /7.}$

El único triángulo con altura y lados enteros consecutivos es acutángulo, con lados (13,14,15) y altura desde el lado 14 igual a 12.

El triángulo de perímetro más pequeño con lados enteros en progresión aritmética, y el triángulo de perímetro más pequeño con lados enteros y lados distintos, es obtuso: es decir, el que tiene lados (2, 3, 4).

Los únicos triángulos con un ángulo que es el doble de otro y cuyos lados tienen longitud entera en progresión aritmética son los acutángulos: a saber, el triángulo (4,5,6) y sus múltiplos. ^{[ 6 ]}

No hay triángulos agudos de lados enteros con área = perímetro , pero hay tres obtusos, con lados ^{[ 7 ]} (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17).

El triángulo más pequeño de lados enteros con tres medianas racionales es agudo, con lados ^{[ 8 ]} (68, 85, 87).

Los triángulos de Herón tienen lados y área enteros. El triángulo de Herón oblicuo con el perímetro más pequeño es agudo, con lados (6, 5, 5). Los dos triángulos de Herón oblicuos que comparten el área más pequeña son el agudo con lados (6, 5, 5) y el obtuso con lados (8, 5, 5), siendo el área de cada uno 12.