Teorema del trisector de Morley

En geometría plana , el teorema de la trisectriz de Morley establece que en cualquier triángulo , los tres puntos de intersección de las trisectrices de los ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero , llamado primer triángulo de Morley o simplemente triángulo de Morley . El teorema fue descubierto en 1899 por el matemático angloamericano Frank Morley . Tiene varias generalizaciones; en particular, si se intersecan todas las trisectrices, se obtienen otros cuatro triángulos equiláteros.

Hay muchas demostraciones del teorema de Morley, algunas de las cuales son muy técnicas. ^{[ 1 ]} Varias demostraciones tempranas se basaron en delicados cálculos trigonométricos . Las demostraciones recientes incluyen una demostración algebraica de Alain Connes ( 1998 , 2004 ) que extiende el teorema a campos generales distintos de la característica tres, y la demostración de geometría elemental de John Conway . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Esta última comienza con un triángulo equilátero y muestra que se puede construir un triángulo alrededor de él que será similar a cualquier triángulo seleccionado. El teorema de Morley no se cumple en geometría esférica ^{[ 4 ]} e hiperbólica . 

Una demostración utiliza la identidad trigonométrica.

que, mediante el uso de la identidad de la suma de dos ángulos, se puede demostrar que es igual a

${\displaystyle \sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .}$

La última ecuación se puede verificar aplicando la identidad de suma de dos ángulos al lado izquierdo dos veces y eliminando el coseno.

Agujas${\displaystyle D,E,F}$están construidos sobre${\displaystyle {\overline {BC}}}$como se muestra. Tenemos${\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }}$, la suma de los ángulos de cualquier triángulo, por lo tanto${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.}$Por lo tanto, los ángulos del triángulo${\displaystyle XEF}$son${\displaystyle \alpha ,(60^{\circ }+\beta ),}$y${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma ).}$

De la figura

y

También de la figura

${\displaystyle \angle {AYC}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta }$

y

La ley de los senos aplicada a los triángulos${\displaystyle AYC}$y${\displaystyle AZB}$rendimientos

y

Expresar la altura del triángulo${\displaystyle ABC}$de dos maneras

${\displaystyle h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )}$

y

${\displaystyle h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).}$

donde se utilizó la ecuación (1) para reemplazar${\displaystyle \sin(3\beta )}$y${\displaystyle \sin(3\gamma )}$en estas dos ecuaciones. Sustituyendo las ecuaciones (2) y (5) en la${\displaystyle \beta }$ecuación y ecuaciones (3) y (6) en la${\displaystyle \gamma }$La ecuación da

${\displaystyle h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

y

${\displaystyle h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta }$

Dado que los numeradores son iguales

${\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}}$

o

${\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.}$

Dado el ángulo${\displaystyle EXF}$y ángulo${\displaystyle ZAY}$son iguales y los lados que forman estos ángulos están en la misma proporción, triángulos${\displaystyle XEF}$y${\displaystyle AZY}$son similares.

Ángulos semejantes${\displaystyle AYZ}$y${\displaystyle XFE}$igual${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}$y ángulos similares${\displaystyle AZY}$y${\displaystyle XEF}$igual${\displaystyle (60^{\circ }+\beta ).}$Argumentos similares permiten obtener los ángulos de la base de los triángulos.${\displaystyle BXZ}$y${\displaystyle CYX.}$

En particular ángulo${\displaystyle BZX}$se encuentra que${\displaystyle (60^{\circ }+\alpha )}$y de la figura vemos que

${\displaystyle \angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }.}$

Sustituir produce

${\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }}$

donde se utilizó la ecuación (4) para el ángulo${\displaystyle AZB}$y por lo tanto

${\displaystyle \angle {XZY}=60^{\circ }.}$

De manera similar, los otros ángulos del triángulo${\displaystyle XYZ}$se encuentran${\displaystyle 60^{\circ }.}$

El primer triángulo de Morley tiene longitudes de lado ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\,\sin {\tfrac {1}{3}}A\,\sin {\tfrac {1}{3}}B\,\sin {\tfrac {1}{3}}C,}$$

donde R es el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo original y A, B y C son los ángulos del triángulo original. Dado que el área de un triángulo equilátero es${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},}$El área del triángulo de Morley se puede expresar como

$${\displaystyle {\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}A\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}B\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}C.}$$

El teorema de Morley implica 18 triángulos equiláteros. El triángulo descrito en el teorema de la trisectriz anterior, llamado primer triángulo de Morley , tiene vértices dados en coordenadas trilineales con respecto a un triángulo ABC de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A&:&1\end{array}}}$$

Otro de los triángulos equiláteros de Morley que también es un triángulo central se llama segundo triángulo de Morley y está dado por estos vértices:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&:&1\end{array}}}$$

El tercero de los 18 triángulos equiláteros de Morley que también es un triángulo central se llama tercer triángulo de Morley y está dado por estos vértices:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vértice}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]B{\text{-vértice}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]C{\text{-vértice}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&:&1\end{array}}}$$

Los triángulos de Morley primero, segundo y tercero son homotéticos por pares . Otro triángulo homotético está formado por los tres puntos X en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC en los que la recta XX ^{− 1} es tangente a la circunferencia circunscrita, donde X ^{− 1} denota el conjugado isogonal de X. Este triángulo equilátero, llamado triángulo circuntangencial , tiene los siguientes vértices:  

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vértice}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(CB)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vértice}}&=&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(AC)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vértice}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(BA)\end{array}}}$$

Un quinto triángulo equilátero, también homotético a los demás, se obtiene al rotar el triángulo circuntangente π /6 alrededor de su centro. Llamado triángulo circunnormal , sus vértices son los siguientes:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vértice}}&=&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(CB)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vértice}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(AC)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vértice}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(BA)\end{array}}}$$

Una operación llamada " extraversión " puede utilizarse para obtener uno de los 18 triángulos de Morley a partir de otro. Cada triángulo puede ser extravertido de tres maneras diferentes; los 18 triángulos de Morley y los 27 pares de triángulos extravertidos forman los 18 vértices y las 27 aristas del grafo de Pappus . ^{[ 6 ]}

El centro de Morley , X (356), centroide del primer triángulo de Morley, se da en coordenadas trilineales por

$${\displaystyle \cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\,\cos {\tfrac {1}{3}}C\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\,\cos {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\,\cos {\tfrac {1}{3}}B}$$

1er centro de Morley–Taylor–Marr , X (357): El primer triángulo de Morley es una perspectiva del triángulo${\displaystyle \triangle ABC}$^{[ 7 ]}  : ^{[ 8 ]} << las líneas que conectan cada vértice del triángulo original con el vértice opuesto del triángulo de Morleycoincidenen el punto

$${\displaystyle \sec {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}B\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}C}$$

• Trisección angular
• Puntos de Hofstadter
• Centros Morley

• Connes, Alain (1998), "Una nueva prueba del teorema de Morley" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , S88 : 43– 46.
• Connes, Alain (diciembre de 2004), "Simetrías" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Europea , 54.
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967), Geometría revisitada , The Mathematical Association of America , LCCN 67-20607 
• Francis, Richard L. (2002), "Hitos matemáticos modernos: El misterio de Morley" (PDF) , Missouri Journal of Mathematical Sciences , 14 (1), doi : 10.35834/2002/1401016.
• Guy, Richard K. (2007), "El teorema del faro, Morley y Malfatti: un presupuesto de paradojas" (PDF) , American Mathematical Monthly , 114 (2): 97–141 , doi : 10.1080/00029890.2007.11920398 , JSTOR 27642143 , MR 2290364 , S2CID 46275242 , archivado del original (PDF) el 1 de abril de 2010   .
• Oakley, CO; Baker, JC (1978), "El teorema del trisector de Morley", American Mathematical Monthly , 85 (9): 737– 745, doi : 10.2307/2321680 , JSTOR 2321680 , S2CID 56066204  .

• Taylor, F. Glanville; Marr, WL (1913–14), "Las seis trisectrices de cada uno de los ángulos de un triángulo", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo , 33 : 119–131 , doi : 10.1017/S0013091500035100.

• El teorema de Morley en MathWorld.
• El teorema de trisección de Morley en MathPages
• El teorema de Morley, por Oleksandr Pavlyk, Proyecto de demostraciones de Wolfram .