Coordenadas trilineales

En geometría , las coordenadas trilineales x  : y  : z de un punto con respecto a un triángulo dado describen las distancias relativas dirigidas desde las tres líneas laterales del triángulo. Las coordenadas trilineales son un ejemplo de coordenadas homogéneas . La razón x  : y es la razón de las distancias perpendiculares desde el punto a los lados (extendidos si es necesario) opuestos a los vértices A y B respectivamente; la razón y  : z es la razón de las distancias perpendiculares desde el punto a las líneas laterales opuestas a los vértices B y C respectivamente; y lo mismo para z  : x y los vértices C y A .

En el diagrama de la derecha, las coordenadas trilineales del punto interior indicado son las distancias reales ( a' , b' , c' ), o equivalentemente en forma de proporción, ka' : kb' : kc' para cualquier constante positiva k . Si un punto está en una línea lateral del triángulo de referencia, su coordenada trilineal correspondiente es 0. Si un punto exterior está en el lado opuesto de una línea lateral desde el interior del triángulo, su coordenada trilineal asociada con esa línea lateral es negativa. Es imposible que las tres coordenadas trilineales sean no positivas.

La notación de proporción para coordenadas trilineales se suele utilizar en lugar de la notación triple ordenada , que se reserva para las triples de distancias dirigidas en relación con un triángulo específico. Las coordenadas trilineales se pueden reescalar con cualquier valor arbitrario sin que se vea afectada su proporción. La notación triple separada por comas y entre corchetes puede causar confusión porque, convencionalmente, representa una triple diferente de eg , pero estas proporciones equivalentes representan el mismo punto. ${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle (x,y,z),}$${\displaystyle (a',b',c')}$${\displaystyle x:y:z,}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (2x,2y,2z),}$${\displaystyle x:y:z={}\!}$${\displaystyle 2x:2y:2z}$

Las coordenadas trilineales del incentro de un triángulo △ ABC son 1 : 1 : 1 ; es decir, las distancias (dirigidas) desde el incentro hasta las líneas laterales BC, CA, AB son proporcionales a las distancias reales denotadas por ( r , r , r ) , donde r es el radio interno de △ ABC . Dadas las longitudes de los lados a, b, c tenemos:

Nótese que, en general, el incentro no es lo mismo que el centroide ; el centroide tiene coordenadas baricéntricas 1:1:1 (que son proporcionales a las áreas reales con signo de los triángulos △ BGC , △ CGA , △ AGB , donde G = centroide).

El punto medio de, por ejemplo, el lado BC tiene coordenadas trilineales en distancias laterales reales para el área del triángulo Δ , que en distancias relativas especificadas arbitrariamente se simplifica a 0 : ca  : ab . Las coordenadas en distancias laterales reales del pie de la altitud de A a BC son que en distancias puramente relativas se simplifica a 0 : cos C  : cos B . ^{[1] : p. 96}${\displaystyle (0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})}$${\displaystyle (0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),}$

Las coordenadas trilineales permiten muchos métodos algebraicos en geometría de triángulos. Por ejemplo, tres puntos

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}}$

son colineales si y sólo si el determinante

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}}$

es igual a cero. Por lo tanto, si x  : y  : z es un punto variable, la ecuación de una línea que pasa por los puntos P y U es D = 0 . ^{[1] : p. 23} De esto, toda línea recta tiene una ecuación lineal homogénea en x, y, z . Toda ecuación de la forma en coeficientes reales es una línea recta real de puntos finitos a menos que l  : m  : n sea proporcional a a  : b  : c , las longitudes de los lados, en cuyo caso tenemos el lugar geométrico de los puntos en el infinito. ^{[1] : p. 40}${\displaystyle lx+my+nz=0}$

La dualidad de esta proposición es que las líneas

${\displaystyle {\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}}$

concurren en un punto ( α , β , γ ) si y sólo si D = 0 . ^{[1] : p. 28}

Además, si se utilizan las distancias dirigidas reales al evaluar el determinante de D , entonces el área del triángulo △ PUX es KD , donde (y donde Δ es el área del triángulo △ ABC , como arriba) si el triángulo △ PUX tiene la misma orientación (en sentido horario o antihorario) que △ ABC , y en caso contrario. ${\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}$${\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}$

Dos rectas con ecuaciones trilineales y son paralelas si y sólo si ^{[1] : p. 98, #xi}${\displaystyle lx+my+nz=0}$${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,}$

donde a, b, c son las longitudes de los lados.

Las tangentes de los ángulos entre dos rectas con ecuaciones trilineales y están dadas por ^{[1] : p.50}${\displaystyle lx+my+nz=0}$${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}$

Por lo tanto, dos líneas con ecuaciones trilineales y son perpendiculares si y sólo si ${\displaystyle lx+my+nz=0}$${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}$

La ecuación de la altura desde el vértice A hasta el lado BC es ^{[1] : p.98, #x}

${\displaystyle y\cos B-z\cos C=0.}$

La ecuación de una recta con distancias variables p, q, r desde los vértices A, B, C cuyos lados opuestos son a, b, c es ^{[1] : p. 97, #viii}

${\displaystyle apx+bqy+crz=0.}$

Las trilineales con valores de coordenadas a', b', c' que son las distancias perpendiculares reales a los lados satisfacen ^{[1] : p. 11}

${\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }$

para los lados del triángulo a, b, c y área Δ . Esto se puede ver en la figura en la parte superior de este artículo, con el punto interior P dividiendo el triángulo △ ABC en tres triángulos △ PBC , △ PCA , △ PAB con áreas respectivas${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.}$

La distancia d entre dos puntos con trilineales de distancia real a _i  : b _i  : c _i está dada por ^{[1] : p. 46}

${\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C}$

o de una manera más simétrica

${\displaystyle d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).}$

La distancia d desde un punto a' : b' : c' , en coordenadas trilineales de distancias reales, a una línea recta es ^{[1] : p. 48}${\displaystyle lx+my+nz=0}$

${\displaystyle d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.}$

La ecuación de una sección cónica en el punto trilineal variable x  : y  : z es ^{[1] : p.118}

${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$

No tiene términos lineales ni término constante.

La ecuación de un círculo de radio r cuyo centro está en las coordenadas de distancia real ( a', b', c' ) es ^{[1] : p.287}

${\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}$

La ecuación en coordenadas trilineales x, y, z de cualquier circuncónica de un triángulo es ^{[1] : p. 192}

${\displaystyle lyz+mzx+nxy=0.}$

Si los parámetros l, m, n son respectivamente iguales a las longitudes de los lados a, b, c (o a los senos de los ángulos opuestos a ellos) entonces la ecuación da el círculo circunscrito . ^{[1] : p. 199}

Cada circuncónica distinta tiene un centro único. La ecuación en coordenadas trilineales de la circuncónica con centro x' : y' : z' es ^{[1] : p. 203}

${\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.}$

Toda sección cónica inscrita en un triángulo tiene una ecuación en coordenadas trilineales: ^{[1] : p. 208}

${\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,}$

con exactamente uno o tres de los signos no especificados siendo negativos.

La ecuación del círculo inscrito se puede simplificar a ^{[1] : p. 210, p. 214}

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,}$

Mientras que la ecuación para, por ejemplo, el excírculo adyacente al segmento lateral opuesto al vértice A se puede escribir como ^{[1] : p. 215}

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.}$

Muchas curvas cúbicas se representan fácilmente utilizando coordenadas trilineales. Por ejemplo, la curva cúbica autoisoconjugada pivote Z ( U, P ) , como el lugar geométrico de un punto X tal que el P -isoconjugado de X está en la línea UX, está dada por la ecuación determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.}$

Entre las cúbicas nombradas Z ( U, P ) están las siguientes:

Cúbica de Thomson : ⁠ ⁠${\displaystyle Z(X(2),X(1))}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle X(2)}$ es el centroide y ⁠ ⁠${\displaystyle X(1)}$ es el incentro

Cúbica de Feuerbach : ⁠ ⁠${\displaystyle Z(X(5),X(1))}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle X(5)}$ es el punto de Feuerbach

Cúbica de Darboux : ⁠ ⁠${\displaystyle Z(X(20),X(1))}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle X(20)}$ es el punto De Longchamps

Cúbica de Neuberg : ⁠ ⁠${\displaystyle Z(X(30),X(1))}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle X(30)}$ es el punto infinito de Euler .

Para cualquier elección de coordenadas trilineales x  : y  : z para localizar un punto, las distancias reales del punto desde las líneas laterales están dadas por a' = kx , b' = ky , c' = kz donde k se puede determinar por la fórmula en la que a, b, c son las respectivas longitudes de los lados BC, CA, AB y ∆ es el área de △ ABC . ${\displaystyle k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}}$

Un punto con coordenadas trilineales x  : y  : z tiene coordenadas baricéntricas ax  : by  : cz donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo. Por el contrario, un punto con coordenadas baricéntricas α  : β  : γ tiene coordenadas trilineales${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.}$

Dado un triángulo de referencia △ ABC , exprese la posición del vértice B en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas y represente esto algebraicamente como un vector ⁠ ⁠${\displaystyle {\vec {B}},}$ usando el vértice C como origen. De manera similar, defina el vector de posición del vértice A como ⁠ ⁠${\displaystyle {\vec {A}}.}$ Entonces cualquier punto P asociado con el triángulo de referencia △ ABC se puede definir en un sistema cartesiano como un vector Si este punto P tiene coordenadas trilineales x  : y  : z entonces la fórmula de conversión de los coeficientes k ₁ y k ₂ en la representación cartesiana a las coordenadas trilineales es, para longitudes de lados a, b, c opuestos a los vértices A, B, C , ${\displaystyle {\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.}$

${\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},}$

y la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales a los coeficientes en la representación cartesiana es

${\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.}$

De manera más general, si se elige un origen arbitrario donde las coordenadas cartesianas de los vértices son conocidas y representadas por los vectores ⁠ ⁠${\displaystyle {\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}}$ y si el punto P tiene coordenadas trilineales x  : y  : z , entonces las coordenadas cartesianas de ⁠ ⁠${\displaystyle {\vec {P}}}$ son el promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de estos vértices usando las coordenadas baricéntricas ax, by, cz como pesos. Por lo tanto, la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales x, y, z al vector de coordenadas cartesianas ⁠ ⁠${\displaystyle {\vec {P}}}$ del punto está dada por

${\displaystyle {\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},}$

donde las longitudes de los lados son

${\displaystyle {\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}|=b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}}$

• Teorema de la trisectriz de Morley#Triángulos de Morley , dando ejemplos de numerosos puntos expresados ​​en coordenadas trilineales
• Trama ternaria
• Teorema de Viviani

• Weisstein, Eric W. "Coordenadas trilineales". MathWorld .
• Enciclopedia de centros de triángulos - ETC de Clark Kimberling; tiene coordenadas trilineales (y baricéntricas) para 64000 centros de triángulos.