Circunferencia inscrita y circunferencia exscrita

En geometría , el círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande que puede estar contenido en el triángulo; toca (es tangente ) a los tres lados. El centro del círculo inscrito es un centro del triángulo llamado incentro del triángulo . ^[1]

Un círculo extraído o círculo inscrito ^[2] del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las prolongaciones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres círculos extraídos distintos, cada uno tangente a uno de los lados del triángulo. ^[3]

El centro de un círculo inscrito, llamado incentro , se puede encontrar como la intersección de las tres bisectrices internas de los ángulos . ^{[3] [4]} El centro de un círculo excéntrico es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice A , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este círculo excéntrico se llama excentro en relación con el vértice A , o excentro de A. ^[3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro del círculo inscrito junto con los tres centros de los círculos excéntricos forman un sistema ortocéntrico . ^[5]

Supongamos que tiene un incírculo con radio y centro . Sea la longitud de , la longitud de , y la longitud de . Además, sean , , y los puntos de contacto donde el incírculo toca a , , y . ${\displaystyle \triángulo ABC}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$$Estilo de visualización T_{A}}$$Estilo de visualización T_{B}}$$Estilo de visualización T_{C}}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$

El incentro es el punto donde se encuentran las bisectrices de los ángulos internos de . ${\displaystyle \ángulo ABC,\ángulo BCA,{\text{ y }}\ángulo BAC}$

La distancia desde el vértice hasta el incentro es: ^{[ cita requerida ]}${\estilo de visualización A}$${\displaystyle I}$ $${\displaystyle d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

Las coordenadas trilineales de un punto del triángulo son la relación de todas las distancias a los lados del triángulo. Como el incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, las coordenadas trilineales del incentro son ^[6] $${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

Las coordenadas baricéntricas de un punto en un triángulo dan pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas del incentro se dan por $${\displaystyle \ a:b:c}$$

donde , , y son las longitudes de los lados del triángulo, o equivalentemente (usando la ley de los senos ) por ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$

donde , , y son los ángulos en los tres vértices. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices utilizando las longitudes de los lados del triángulo en relación con el perímetro (es decir, utilizando las coordenadas baricéntricas dadas anteriormente, normalizadas para sumar la unidad) como pesos. Los pesos son positivos, por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indicó anteriormente. Si los tres vértices están ubicados en , , y , y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes , , y , entonces el incentro está en ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

El radio interno del círculo inscrito en un triángulo con lados de longitud , , está dado por ^[7]${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ $${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$$

¿Dónde está el semiperímetro? ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Los puntos de tangencia del círculo inscrito dividen los lados en segmentos de longitudes desde , desde , y desde . ^[8]${\displaystyle s-a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s-b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s-c}$${\displaystyle C}$

Véase la fórmula de Heron .

Denotando el incentro de como , las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación ^[9]${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

Además, ^[10] $${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$

donde y son el radio circunscrito y el radio interno del triángulo respectivamente. ${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$

Al conjunto de centros de triángulos se le puede dar la estructura de un grupo bajo la multiplicación de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro forma el elemento identidad . ^[6]

Las distancias desde un vértice a los dos puntos de contacto más cercanos son iguales; por ejemplo: ^[11] $${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}$$

Si las alturas de los lados de longitudes , , y son , , y , entonces el radio interno es un tercio de la media armónica de estas alturas; es decir, ^[12]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h_{a}}$${\displaystyle h_{b}}$${\displaystyle h_{c}}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

El producto del radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito de un triángulo con lados , y es ^[13]${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ $${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

Algunas relaciones entre los lados, el radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito son: ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

Cualquier línea que atraviesa un triángulo y divide tanto el área como el perímetro del triángulo por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia inscrita). Hay uno, dos o tres de estos puntos para cualquier triángulo dado. ^[15]

Denotando el centro del círculo inscrito como , tenemos ^[16]${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1}$$

y ^{[17] : 121, #84} $${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.}$$

El radio de la circunferencia inscrita no es mayor que una novena parte de la suma de las alturas. ^{[18] : 289}

La distancia al cuadrado del incentro al circuncentro está dada por ^{[19] : 232}${\displaystyle I}$${\displaystyle O}$ $${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$

y la distancia desde el incentro al centro del círculo de nueve puntos es ^{[19] : 232}${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados). ^{[19] : 233, Lema 1}

El radio del círculo inscrito está relacionado con el área del triángulo. ^[20] La relación entre el área del círculo inscrito y el área del triángulo es menor o igual a , y la igualdad se cumple solo para triángulos equiláteros . ^[21]${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$

Supongamos que tiene un incírculo con radio y centro . Sea la longitud de , la longitud de , y la longitud de . Ahora, el incírculo es tangente a en algún punto , y por lo tanto es recto. Por lo tanto, el radio es una altura de . Por lo tanto, tiene longitud de base y altura , y por lo tanto tiene área . De manera similar, tiene área y tiene área . Como estos tres triángulos se descomponen , vemos que el área es: y${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \angle AT_{C}I}$${\displaystyle T_{C}I}$${\displaystyle \triangle IAB}$${\displaystyle \triangle IAB}$${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$${\displaystyle \triangle IAC}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$${\displaystyle \triangle IBC}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle \Delta {\text{ of }}\triangle ABC}$$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$        ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

donde es el área de y es su semiperímetro . ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Para una fórmula alternativa, considere . Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a y el otro lado igual a . Lo mismo es cierto para . El triángulo grande está compuesto por seis triángulos de este tipo y el área total es: ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$${\displaystyle \triangle IB'A}$ $${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

El triángulo de Gergonne (de ) está definido por los tres puntos de contacto del círculo inscrito en los tres lados. El punto de contacto opuesto se denota , etc. ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T_{A}}$

Este triángulo de Gergonne, , también se conoce como triángulo de contacto o triángulo en contacto de . Su área es ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$${\displaystyle \triangle ABC}$$${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$

donde , , y son el área, el radio del círculo inscrito y el semiperímetro del triángulo original, y , , y son las longitudes de los lados del triángulo original. Esta es la misma área que la del triángulo extouch . ^[22]${\displaystyle K}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

Las tres líneas , y se intersecan en un único punto llamado punto de Gergonne , denotado como (o centro del triángulo X ₇ ). El punto de Gergonne se encuentra en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro, y puede ser cualquier punto del mismo. ^[23]${\displaystyle AT_{A}}$${\displaystyle BT_{B}}$${\displaystyle CT_{C}}$${\displaystyle G_{e}}$

El punto de Gergonne de un triángulo tiene varias propiedades, incluida la de ser el punto simediano del triángulo de Gergonne. ^[24]

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo intouch se dan por ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}$$

Las coordenadas trilineales para el punto Gergonne se dan por ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

o, equivalentemente, por la Ley de Senos , $${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}$$

Un círculo extraído o círculo inscrito ^[2] del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las prolongaciones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres círculos extraídos distintos, cada uno tangente a uno de los lados del triángulo. ^[3]

El centro de un incírculo es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este incírculo se llama excentro con respecto al vértice , o excentro de . ^[3] Como la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro del incírculo junto con los tres centros del incírculo forman un sistema ortocéntrico . ^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Mientras que el incentro de tiene coordenadas trilineales , los excentros tienen coordenadas trilineales ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle 1:1:1}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

Los radios de los círculos extraídos se llaman exradios .

El radio excéntrico del círculo excéntrico opuesto (que toca , centrado en ) es ^{[25] [26]} donde${\displaystyle A}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle J_{A}}$ $${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}$$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$

Véase la fórmula de Heron .

Fuente: ^[25]

Sea el excírculo en el lado que toca en el lado que se extiende en , y sea el radio de este excírculo y su centro . Entonces tiene una altura de , por lo que tiene área . Por un argumento similar, tiene área y tiene área . Por lo tanto, el área del triángulo es . ${\displaystyle AB}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle J_{c}}$${\displaystyle J_{c}G}$${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \triangle ABC}$$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$$

Entonces, por simetría, denotando como el radio del círculo inscrito, . ${\displaystyle r}$$${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$$

Por la Ley de Cosenos , tenemos $${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

Combinando esto con la identidad , tenemos ${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$$${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

Pero , y así ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$

cual es la fórmula de Herón .

Combinando esto con , tenemos ${\displaystyle sr=\Delta }$$${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

De manera similar, da ${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

De las fórmulas anteriores se desprende que los círculos extraídos son siempre mayores que el círculo inscrito y que el círculo extraído más grande es el tangente al lado más largo y el círculo extraído más pequeño es el tangente al lado más corto. Además, al combinar estas fórmulas se obtiene: ^[27] $${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$

El casco circular de los excírculos es tangente internamente a cada uno de los excírculos y, por lo tanto, es un círculo de Apolonio . ^[28] El radio de este círculo de Apolonio es donde es el radio del incírculo y es el semiperímetro del triángulo. ^[29]${\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

Las siguientes relaciones se cumplen entre los radios del inradio , el circunradio , el semiperímetro y el excírculo , , : ^[14]${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r_{a}}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle r_{c}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}$$

El círculo que pasa por los centros de los tres excírculos tiene radio . ^[14]${\displaystyle 2R}$

Si es el ortocentro de , entonces ^[14]${\displaystyle H}$${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

El triángulo de Nagel o triángulo extoque de se denota por los vértices , , y que son los tres puntos donde los círculos extoque tocan la referencia y donde es opuesto a , etc. Esto también se conoce como el triángulo extoque de . El círculo circunscrito del extoque se llama círculo de Mandart . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$

Los tres segmentos de línea , y se llaman divisores del triángulo; cada uno de ellos biseca el perímetro del triángulo, ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle {\overline {AT_{A}}}}$${\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}$${\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}$ $${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}$$

Los divisores se intersecan en un solo punto, el punto Nagel del triángulo (o centro del triángulo X ₈ ). ${\displaystyle N_{a}}$

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo extouch se dan por ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

Las coordenadas trilineales para el punto Nagel se dan por ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

o, equivalentemente, por la Ley de Senos , $${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}$$

El punto Nagel es el conjugado isotómico del punto Gergonne. ^{[ cita requerida ]}

En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son: ^{[30] [31]}

• El punto medio de cada lado del triángulo.
• El pie de cada altitud
• El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se encuentran las tres alturas; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas alturas).

En 1822, Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es tangente externamente a los tres excírculos de ese triángulo y tangente internamente a su incírculo ; este resultado se conoce como el teorema de Feuerbach . Demostró que: ^[32]

... el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo... (Feuerbach 1822)

El centro del triángulo en el que se tocan el círculo inscrito y el círculo de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .

Los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores de con los segmentos , , y son los vértices del triángulo incentral . Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo incentral se dan mediante ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}}$$

El triángulo excentral de un triángulo de referencia tiene vértices en los centros de los círculos excéntricos del triángulo de referencia. Sus lados están en las bisectrices de los ángulos externos del triángulo de referencia (ver la figura en la parte superior de la página). Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo excentral se dan mediante ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

Sea un punto variable en coordenadas trilineales , y sea , , . Los cuatro círculos descritos anteriormente se dan de manera equivalente mediante cualquiera de las dos ecuaciones dadas: ^{[33] : 210–215}${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}$${\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}$${\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}$

• Incirculo:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle A}$-excírculo:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle B}$-excírculo:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle C}$-excírculo:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$

El teorema de Euler establece que en un triángulo: $${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$$

donde y son el circunradio y el inradio respectivamente, y es la distancia entre el circuncentro y el incentro. ${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$

Para los excírculos la ecuación es similar: $${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}$$

donde es el radio de uno de los excírculos, y es la distancia entre el circuncentro y el centro de ese excírculo. ^{[34] [35] [36]}${\displaystyle r_{\text{ex}}}$${\displaystyle d_{\text{ex}}}$

Algunos cuadriláteros (pero no todos) tienen un círculo inscrito. Se los llama cuadriláteros tangenciales . Entre sus muchas propiedades, quizás la más importante sea que sus dos pares de lados opuestos tienen sumas iguales. Esto se llama teorema de Pitot . ^[37]

De manera más general, un polígono con cualquier número de lados que tiene un círculo inscrito (es decir, uno que es tangente a cada lado) se llama polígono tangencial . ^{[ cita requerida ]}

• Circungono  – Figura geométrica que circunscribe un círculo.
• Circunferencia circunscrita  – Círculo que pasa por los vértices de un triángulo
• Cuadrilátero extangencial  : polígono convexo de 4 lados cuyas líneas laterales son todas tangentes a un círculo exterior.
• Teorema de Harcourt  : Área de un triángulo a partir de sus lados y distancias de vértice a cualquier línea tangente a su círculo inscrito
• Circuncónica e incónica  – Sección cónica que pasa por los vértices de un triángulo o es tangente a sus lados.
• Esfera inscrita  – Esfera tangente a cada cara de un poliedro
• Potencia de un punto  – Distancia relativa de un punto a un círculo
• Elipse inequívoca de Steiner  : elipse única tangente a los tres puntos medios de los lados de un triángulo dado
• Cuadrilátero tangencial  : Polígono cuyos cuatro lados tocan un círculo.
• Triángulo cónico
• Lema del incentro-excentro  : una afirmación sobre las propiedades de los círculos inscritos y circunscritos

• Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Johnson, Roger A. (1929), "X. Círculos inscritos y escriturizados" , Modern Geometry , Houghton Mifflin, págs. 182-194
• Josefsson, Martin (2011), "Más caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65–82, MR  2877281, archivado desde el original (PDF) el 2016-03-04 , consultado el 2023-03-14
• Kay, David C. (1969), Geometría universitaria , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN  69012075
• Kimberling, Clark (1998). "Centros de triángulos y triángulos centrales". Congressus Numerantium (129): i–xxv, 1–295.
• Kiss, Sándor (2006). "Los triángulos órticos de contacto y los triángulos órticos de contacto". Forum Geometricorum (6): 171–177.

• Derivación de la fórmula para el radio del círculo inscrito de un triángulo
• Weisstein, Eric W. "Incírculo". MundoMatemático .

• Incentro de un triángulo Incírculo de un triángulo Incírculo de un polígono regular Con animaciones interactivas
• Construcción del incentro/círculo inscrito de un triángulo con compás y regla Demostración animada interactiva
• Teorema de los círculos inscritos iguales en el corte del nudo
• Teorema de los cinco círculos inscritos en el momento de cortar el nudo
• Pares de incírculos en un cuadrilátero en el punto de corte
• Una aplicación Java interactiva para el centro