Círculo de nueve puntos

En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Recibe este nombre porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son:

• El punto medio de cada lado del triángulo
• El pie de cada altitud
• Los puntos de Euler : el punto medio del segmento de recta que va desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se cruzan las tres alturas; estos segmentos de recta se encuentran sobre sus respectivas alturas). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El círculo de nueve puntos también se conoce como círculo de Feuerbach (en honor a Karl Wilhelm Feuerbach ), círculo de Euler (en honor a Leonhard Euler ), círculo de Terquem (en honor a Olry Terquem ), círculo de seis puntos , círculo de doce puntos , círculo de n puntos , círculo medioscrito , círculo medio o círculo circunscrito medio . Su centro es el centro de nueve puntos del triángulo. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El diagrama anterior muestra los nueve puntos significativos del círculo de nueve puntos. Los puntos D, E y F son los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los puntos G, H e I son los pies de las alturas del triángulo. Los puntos J, K y L son los puntos medios de los segmentos de línea que unen la intersección de los vértices de cada altura (puntos A, B y C ) con el ortocentro del triángulo (punto S ).

En un triángulo acutángulo , seis de los puntos (los puntos medios y las bases de las alturas) se encuentran sobre el propio triángulo; en un triángulo obtusángulo, dos de las alturas tienen bases fuera del triángulo, pero estas bases siguen perteneciendo al círculo de nueve puntos.

Aunque se le atribuye su descubrimiento, Karl Wilhelm Feuerbach no descubrió completamente el círculo de nueve puntos, sino el de seis, reconociendo la importancia de los puntos medios de los tres lados del triángulo y los pies de las alturas de dicho triángulo. ( Véase la figura 1, puntos D, E, F, G, H, I ). (Poco antes, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían enunciado y demostrado el mismo teorema). Poco después de Feuerbach, el matemático Olry Terquem demostró la existencia del círculo. Fue el primero en reconocer la importancia adicional de los tres puntos medios entre los vértices del triángulo y el ortocentro. ( Véase la figura 1, puntos J, K, L ). Así, Terquem fue el primero en utilizar el nombre de círculo de nueve puntos.

En 1822, Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es tangente externamente a sus tres círculos externos e internamente tangente a su círculo interno ; este resultado se conoce como el teorema de Feuerbach . Demostró que:

... el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo... ^{[ 5 ]}

El centro del triángulo en el que se tocan la circunferencia inscrita y la circunferencia de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .

• El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo es el doble del radio de su círculo de nueve puntos. ^{[ 6 ] : pág. 153} Figura 3
• Un círculo de nueve puntos biseca un segmento de línea que va desde el ortocentro del triángulo correspondiente hasta cualquier punto de su circunferencia circunscrita. Figura 4
• El centro N del círculo de nueve puntos biseca un segmento desde el ortocentro H hasta el circuncentro O (convirtiendo al ortocentro en un centro de dilatación para ambos círculos): ^{[ 6 ] : p.152}$${\displaystyle {\overline {ON}}={\overline {NH}}.}$$
• El centro de nueve puntos N se encuentra a un cuarto de la distancia a lo largo de la línea de Euler desde el centroide G hasta el ortocentro H : ^{[ 6 ] : p.153}$${\displaystyle {\overline {HN}}=3{\overline {NG}}.}$$
• Sea ω el círculo de nueve puntos del triángulo diagonal de un cuadrilátero cíclico . El punto de intersección de las bimedianas del cuadrilátero cíclico pertenece al círculo de nueve puntos. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

  

• El círculo de nueve puntos de un triángulo de referencia es la circunferencia circunscrita tanto al triángulo medial del triángulo de referencia (con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo de referencia) como a su triángulo órtico (con vértices en los pies de las alturas del triángulo de referencia). ^{[ 6 ] : p.153}
• El centro de todas las hipérbolas rectangulares que pasan por los vértices de un triángulo se encuentra sobre su circunferencia de nueve puntos. Ejemplos de ello son las conocidas hipérbolas rectangulares de Keipert , Jeřábek y Feuerbach. Este hecho se conoce como el teorema de la cónica de Feuerbach.

  

• Si se nos da un sistema ortocéntrico de cuatro puntos A, B, C, H , entonces los cuatro triángulos formados por cualquier combinación de tres puntos distintos de ese sistema comparten el mismo círculo de nueve puntos. Esto es consecuencia de la simetría: los lados de un triángulo adyacentes a un vértice que es ortocentro de otro triángulo son segmentos de ese segundo triángulo. Un tercer punto medio se encuentra en su lado común. (Los mismos puntos medios definen círculos de nueve puntos distintos; estos círculos deben ser concurrentes).
• En consecuencia, estos cuatro triángulos tienen circunferencias circunscritas con radios idénticos. Sea N el centro común de nueve puntos y P un punto arbitrario en el plano del sistema ortocéntrico. Entonces$${\displaystyle {\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}+{\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}}$$donde R es el radio circunscrito común ; y si$${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=K^{2},}$$donde K se mantiene constante, entonces el lugar geométrico de P es un círculo centrado en N con un radio${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.}$A medida que P se acerca a N, el lugar geométrico de P para la constante K correspondiente colapsa sobre N, el centro de nueve puntos. Además, el círculo de nueve puntos es el lugar geométrico de P tal que$${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=4R^{2}.}$$
• Los centros de la circunferencia inscrita y exinscrita de un triángulo forman un sistema ortocéntrico. La circunferencia de nueve puntos que se crea para dicho sistema ortocéntrico es la circunferencia circunscrita del triángulo original. Los pies de las alturas en el sistema ortocéntrico son los vértices del triángulo original.
• Si se dan cuatro puntos arbitrarios A, B, C, D que no forman un sistema ortocéntrico, entonces los círculos de nueve puntos de △ ABC , △ BCD , △ CDA , △ DAB coinciden en un punto, el punto Poncelet de A, B, C, D . Los seis puntos de intersección restantes de estos círculos de nueve puntos coinciden cada uno con los puntos medios de los cuatro triángulos. Sorprendentemente, existe una única cónica de nueve puntos, centrada en el centroide de estos cuatro puntos arbitrarios, que pasa por los siete puntos de intersección de estos círculos de nueve puntos. Además, debido al teorema de la cónica de Feuerbach mencionado anteriormente, existe una única cónica rectangular circunscrita , centrada en el punto de intersección común de los cuatro círculos de nueve puntos, que pasa por los cuatro puntos arbitrarios originales, así como por los ortocentros de los cuatro triángulos.
• Si se dan cuatro puntos A, B, C, D que forman un cuadrilátero cíclico , entonces los círculos de nueve puntos de △ ABC , △ BCD , △ CDA , △ DAB concurren en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos son todos congruentes con un radio de la mitad del radio de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. Los círculos de nueve puntos forman un conjunto de cuatro círculos de Johnson . En consecuencia, los cuatro centros de nueve puntos son cíclicos y se encuentran en una circunferencia congruente con los cuatro círculos de nueve puntos que está centrada en el anticentro del cuadrilátero cíclico. Además, el cuadrilátero cíclico formado por los cuatro centros de nueve puntos es homotético al cuadrilátero cíclico de referencia ABCD por un factor de – 1 / 2 y su centro homotético N se encuentra en la línea que conecta el circuncentro O con el anticentro M donde$${\displaystyle {\overline {ON}}=2{\overline {NM}}.}$$
• El ortopolo de las líneas que pasan por el circuncentro se encuentra sobre el círculo de nueve puntos.
• La circunferencia circunscrita de un triángulo, su círculo de nueve puntos, su círculo polar y la circunferencia circunscrita de su triángulo tangente ^{[ 9 ]} son ​​coaxiales . ^{[ 10 ]}
• Las coordenadas trilineales para el centro de la hipérbola de Kiepert son:$${\displaystyle {\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}}$$
• Las coordenadas trilineales para el centro de la hipérbola de Jeřábek son:$${\displaystyle \cos(A)\sin ^{2}(B-C):\cos(B)\sin ^{2}(C-A):\cos(C)\sin ^{2}(A-B)}$$
• Sea x  : y  : z un punto variable en coordenadas trilineales, una ecuación para el círculo de nueve puntos es$${\displaystyle x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0.}$$

El círculo es un ejemplo de sección cónica , y el círculo de nueve puntos es un ejemplo de la cónica general de nueve puntos construida en relación con un triángulo △ ABC y un cuarto punto P , donde el caso particular del círculo de nueve puntos surge cuando P es el ortocentro de △ ABC . Los vértices del triángulo y P determinan un cuadrilátero completo y tres puntos diagonales donde se intersecan los lados opuestos del cuadrilátero. Hay seis lados en el cuadrilátero; la cónica de nueve puntos interseca los puntos medios de estos y también incluye los puntos diagonales. La cónica es una elipse cuando P está en el interior de △ ABC o en una región que comparte ángulos verticales con el triángulo, pero se forma una hipérbola de nueve puntos cuando P está en una de las tres regiones adyacentes, y la hipérbola es rectangular cuando P se encuentra en la circunferencia circunscrita de △ ABC .

• Círculo de Hart , una construcción relacionada para triángulos circulares.
• Teorema de Lester
• Punta Poncelet
• Geometría sintética
• Línea de Euler

• Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª  ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN 52013504 
• Feuerbach, Karl Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (edición monográfica  ), Núremberg: Wiessner.
• Kay, David C. (1969), Geometría universitaria , Nueva York: Holt, Rinehart and Winston , LCCN 69012075 
• Fraivert, David (2019), "Nuevos puntos que pertenecen al círculo de nueve puntos", The Mathematical Gazette , 103 (557): 222– 232, doi : 10.1017/mag.2019.53 , S2CID 213935239 
• Fraivert, David (2018), "Nuevas aplicaciones del método de números complejos en la geometría de cuadriláteros cíclicos" (PDF) , International Journal of Geometry , 7 ( 1): 5–16

• Círculo de nueve puntos : ilustración interactiva del círculo de nueve puntos y algunas de sus propiedades.
• "Una demostración en Javascript del círculo de nueve puntos" en rykap.com
• Enciclopedia de centros de triángulos por Clark Kimberling. El centro de nueve puntos se indexa como X(5), el punto de Feuerbach como X(11), el centro de la hipérbola de Kiepert como X(115) y el centro de la hipérbola de Jeřábek como X(125).
• Historia del círculo de nueve puntas basada en el artículo de JS MacKay de 1892: Historia del círculo de nueve puntas
• Weisstein, Eric W. "Círculo de nueve puntos" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ortopolo" . MathWorld .
• Círculo de nueve puntos en el nudo
• Applet interactivo del círculo de nueve puntos del proyecto de demostraciones de Wolfram.
• Generalización de la cónica de nueve puntos y la línea de Euler en Dynamic Geometry Sketches Generaliza el círculo de nueve puntos a una cónica de nueve puntos con una generalización asociada de la línea de Euler.
• NJ Wildberger. Cromogeometría. Analiza el círculo de nueve puntos en relación con tres formas cuadráticas diferentes (azul, rojo, verde).
• Círculo de Euler , círculo de Euler - centro I , círculo de Euler - centro II , círculo de Euler - radio , línea de Simson - círculo de Euler , líneas de Simson - círculo de Euler en Geometría Interactiva