Sistema ortocéntrico

En geometría , un sistema ortocéntrico es un conjunto de cuatro puntos en un plano , uno de los cuales es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres. De manera equivalente, las líneas que pasan por pares disjuntos entre los puntos son perpendiculares , y los cuatro círculos que pasan por tres de los cuatro puntos tienen el mismo radio. ^[1]

Si cuatro puntos forman un sistema ortocéntrico, entonces cada uno de los cuatro puntos es el ortocentro de los otros tres. Estos cuatro posibles triángulos tendrán todos el mismo círculo de nueve puntos . En consecuencia, estos cuatro posibles triángulos deben tener todos circunferencias circunscritas con el mismo radio circunscrito .

El centro de este círculo común de nueve puntos se encuentra en el centroide de los cuatro puntos ortocéntricos. El radio del círculo común de nueve puntos es la distancia desde el centro de nueve puntos hasta el punto medio de cualquiera de los seis conectores que unen cualquier par de puntos ortocéntricos por los que pasa el círculo común de nueve puntos. El círculo común de nueve puntos también pasa por las tres intersecciones ortogonales en los pies de las alturas de los cuatro triángulos posibles.

Este centro común de nueve puntos se encuentra en el punto medio del conector que une cualquier punto ortocéntrico con el circuncentro del triángulo formado por los otros tres puntos ortocéntricos.

El círculo común de nueve puntos es tangente a los 16 círculos inscritos y exscritos de los cuatro triángulos cuyos vértices forman el sistema ortocéntrico. ^[2]

Si los seis conectores que unen cualquier par de puntos ortocéntricos se prolongan hasta seis líneas que se cortan entre sí, se generan siete puntos de intersección. Cuatro de estos puntos son los puntos ortocéntricos originales y los tres puntos adicionales son las intersecciones ortogonales en los pies de las alturas . La unión de estos tres puntos ortogonales en un triángulo genera un triángulo órtico que es común a todos los cuatro triángulos posibles formados a partir de los cuatro puntos ortocéntricos tomados de tres en tres.

El incentro de este triángulo órtico común debe ser uno de los cuatro puntos ortocéntricos originales. Además, los tres puntos restantes se convierten en los excentros de este triángulo órtico común. El punto ortocéntrico que se convierte en el incentro del triángulo órtico es el punto ortocéntrico más cercano al centro común de nueve puntos. Esta relación entre el triángulo órtico y los cuatro puntos ortocéntricos originales conduce directamente al hecho de que el incentro y los excentros de un triángulo de referencia forman un sistema ortocéntrico. ^[3]

Es normal distinguir uno de los puntos ortocéntricos de los demás, en concreto el que es el incentro del triángulo órtico; éste se denota H como el ortocentro de los tres puntos ortocéntricos exteriores que se eligen como triángulo de referencia △ ABC . En esta configuración normalizada, el punto H siempre estará dentro del triángulo △ ABC , y todos los ángulos del triángulo △ ABC serán agudos. Los cuatro triángulos posibles a los que se hace referencia anteriormente son los triángulos △ ABC , △ ABH , △ ACH , △ BCH . Los seis conectores a los que se hace referencia anteriormente son AB , AC , BC , AH , BH , CH . Las siete intersecciones a las que se hace referencia anteriormente son A, B, C, H (los puntos ortocéntricos originales), y H _A , H _B , H _C (los pies de las alturas del triángulo △ ABC y los vértices del triángulo órtico).

El eje órtico asociado a un sistema ortocéntrico normalizado A, B, C, H , donde △ ABC es el triángulo de referencia, es una línea que pasa por tres puntos de intersección formados cuando cada lado del triángulo órtico se encuentra con cada lado del triángulo de referencia. Ahora considere los otros tres triángulos posibles, △ ABH , △ ACH , △ BCH . Cada uno tiene su propio eje órtico.

Sean los vectores a , b , c , h los que determinen la posición de cada uno de los cuatro puntos ortocéntricos y sea n = ( a + b + c + h ) / 4 el vector de posición de N , el centro común de nueve puntos. Unir cada uno de los cuatro puntos ortocéntricos con su centro común de nueve puntos y extenderlos en cuatro líneas. Estas cuatro líneas representan ahora las líneas de Euler de los cuatro triángulos posibles, donde la línea extendida HN es la línea de Euler del triángulo △ ABC y la línea extendida AN es la línea de Euler del triángulo △ BCH, etc. Si se elige un punto P en la línea de Euler HN del triángulo de referencia △ ABC con un vector de posición p tal que p = n + α( h – n ) donde α es una constante pura independiente del posicionamiento de los cuatro puntos ortocéntricos y tres puntos más P _A , P _B , P _C tales que p _a = n + α( a – n ) etc., entonces P, P _A , P _B , P _C forman un sistema ortocéntrico. Este sistema ortocéntrico generado es siempre homotético al sistema original de cuatro puntos con el centro común de nueve puntos como centro homotético y α la razón de similitud.

Cuando se elige P como el centroide G , entonces α = –⅓ . Cuando se elige P como el circuncentro O , entonces α = –1 y el sistema ortocéntrico generado es congruente con el sistema original, además de ser un reflejo de este sobre el centro de nueve puntos. En esta configuración P _A , P _B , P _C forman un triángulo de Johnson del triángulo de referencia original △ ABC . En consecuencia, los circuncírculos de los cuatro triángulos △ ABC , △ ABH , △ ACH , △ BCH son todos iguales y forman un conjunto de círculos de Johnson como se muestra en el diagrama adyacente.

Las cuatro líneas de Euler de un sistema ortocéntrico son ortogonales a los cuatro ejes órticos de un sistema ortocéntrico.

Los seis conectores que unen cualquier par de los cuatro puntos ortocéntricos originales producirán pares de conectores que son ortogonales entre sí de modo que satisfacen las ecuaciones de distancia.

${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BH}}^{2} ={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}=4R^{2}}$

donde R es el radio circunscrito común de los cuatro triángulos posibles. Estas ecuaciones junto con la ley de los senos dan como resultado la identidad

${\displaystyle {\frac {\overline {BC}}{\sin A}}={\frac {\overline {AC}}{\sin B}}={\frac {\overline {AB}}{\sin C}}={\frac {\overline {HA}}{|\cos A|}}={\frac {\overline {HB}}{|\cos B|}}={\frac {\overline {HC}}{|\cos C|}}=2R.}$

El teorema de Feuerbach establece que el círculo de nueve puntos es tangente al círculo inscrito y a los tres círculos exscritos de un triángulo de referencia. Como el círculo de nueve puntos es común a los cuatro triángulos posibles en un sistema ortocéntrico, es tangente a 16 círculos que comprenden los círculos inscritos y exscritos de los cuatro triángulos posibles.

Cualquier cónica que pase por los cuatro puntos ortocéntricos sólo puede ser una hipérbola rectangular . Esto es resultado del teorema de la cónica de Feuerbach que establece que para todas las circuncónicas de un triángulo de referencia que también pasen por su ortocentro, el lugar geométrico del centro de dichas circuncónicas forma el círculo de nueve puntos y que las circuncónicas sólo pueden ser hipérbolas rectangulares. El lugar geométrico de los perspectores de esta familia de hipérbolas rectangulares siempre estará sobre los cuatro ejes órticos. Por lo tanto, si se dibuja una hipérbola rectangular a través de cuatro puntos ortocéntricos, tendrá un centro fijo en el círculo común de nueve puntos, pero tendrá cuatro perspectores, uno en cada uno de los ejes órticos de los cuatro triángulos posibles. El punto en el círculo de nueve puntos que es el centro de esta hipérbola rectangular tendrá cuatro definiciones diferentes dependiendo de cuál de los cuatro triángulos posibles se use como triángulo de referencia.

Las hipérbolas rectangulares bien documentadas que pasan por cuatro puntos ortocéntricos son las circunhiperbolas de Feuerbach, Jeřábek y Kiepert del triángulo de referencia △ ABC en un sistema normalizado con H como ortocentro.

Los cuatro triángulos posibles tienen un conjunto de cuatro incónicas conocidas como incónicas órticas que comparten ciertas propiedades. Los contactos de estas incónicas con los cuatro triángulos posibles ocurren en los vértices de su triángulo órtico común. En un sistema ortocéntrico normalizado, la incónica órtica que es tangente a los lados del triángulo △ ABC es una inelipse y las incónicas órticas de los otros tres triángulos posibles son hipérbolas. Estas cuatro incónicas órticas también comparten el mismo punto de Brianchon H , el punto ortocéntrico más cercano al centro común de nueve puntos. Los centros de estas incónicas órticas son los puntos simedianos K de los cuatro triángulos posibles.

Existen muchas cúbicas documentadas que pasan por un triángulo de referencia y su ortocentro. La circuncúbica conocida como ortocúbica - K006 es interesante porque pasa por tres sistemas ortocéntricos así como por los tres vértices del triángulo órtico (pero no por el ortocentro del triángulo órtico). Los tres sistemas ortocéntricos son el incentro y los excentros, el triángulo de referencia y su ortocentro y finalmente el ortocentro del triángulo de referencia junto con los otros tres puntos de intersección que tiene esta cúbica con la circunferencia circunscrita del triángulo de referencia.

Dos círculos polares cualesquiera de dos triángulos en un sistema ortocéntrico son ortogonales . ^[4]

• Johnson, Roger A. (1929). Geometría moderna: Un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y del círculo. Houghton Mifflin.Republicado como Advanced Euclidean Geometry . Dover. 1960; 2007. Véase especialmente el Capítulo IX. Tres puntos notables.

• Eric W. Weisstein . "Ortocentro", "Teorema de Feuerbach", "Teorema cónico de Feuerbach", "Hiperbola de Feuerbach", "Hiperbola de Jerabek", "Hiperbola de Kiepert", "Ortica inconónica", "Eje órtico", "Perspector". MathWorld .
• Bernard Gibert Circuncúbica K006
• Clark Kimberling, "Enciclopedia de centros de triángulos". (Enumera unos 5000 puntos interesantes asociados con cualquier triángulo).