hipérbola de nueve puntos

En la geometría euclidiana con el triángulo △ ABC , la hipérbola de nueve puntos es un ejemplo de la cónica de nueve puntos descrita por el matemático estadounidense Maxime Bôcher en 1892. El célebre círculo de nueve puntos es otro ejemplo de la cónica de Bôcher.

Dado un triángulo △ ABC y un punto P en su plano, se puede trazar una cónica que pase por los siguientes nueve puntos:

los puntos medios de los lados de △ ABC ,

los puntos medios de las líneas que unen P con los vértices, y

los puntos donde estas últimas líneas cortan los lados del triángulo.

La cónica es una elipse si P se encuentra en el interior del triángulo ABC o en una de las regiones del plano separadas del interior por dos lados del triángulo; de lo contrario, la cónica es una hipérbola . Bôcher señala que cuando P es el ortocentro , se obtiene el círculo de nueve puntos, y cuando P está en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC , entonces la cónica es una hipérbola equilátera.

En 1941, E.F. Allen ideó un método para calcular la hipérbola de nueve puntos utilizando la geometría analítica de los números complejos divididos. ^{[ 1 ]} Escritura${\displaystyle z=a+bj}$, j ² = 1 , utiliza aritmética de complejos divididos para expresar una hipérbola como

${\displaystyle zz^{*}=a^{2}.}$

Se utiliza como la circunferencia circunscrita del triángulo.${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}.}$Dejar${\displaystyle s=t_{1}+t_{2}+t_{3}.}$Entonces la cónica de nueve puntas es

${\displaystyle \left(z-{\frac {s}{2}}\right)\left(z^{*}-{\frac {s^{*}}{2}}\right)={\frac {a^{2}}{4}}.}$

La descripción que Allen hizo de la hipérbola de nueve puntos fue el resultado del desarrollo del círculo de nueve puntos que Frank Morley y su hijo publicaron en 1933. Utilizaron el círculo unitario en el plano complejo como la circunferencia circunscrita del triángulo dado.

En 1953, Allen extendió su estudio a una cónica de nueve puntos de un triángulo inscrito en cualquier cónica central. ^{[ 2 ]}

Para Yaglom, una hipérbola es un círculo minkowskiano como en el plano de Minkowski . La descripción que Yaglom hace de esta geometría se encuentra en el capítulo «Conclusión» de un libro que inicialmente aborda la geometría galileana. ^{[ 3 ]} Considera un triángulo inscrito en una «circunferencia» que, de hecho, es una hipérbola. En el plano de Minkowski, la hipérbola de nueve puntos también se describe como un círculo:

… los puntos medios de los lados de un triángulo △ ABC y los pies de sus alturas (así como los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro de △ ABC con sus vértices) se encuentran en un círculo [minkowskiano] S cuyo radio es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita del triángulo. Es natural referirse a S como el círculo de seis (nueve) puntos del triángulo (minkowskiano) △ ABC ; si △ ABC tiene una circunferencia inscrita s , entonces el círculo de seis (nueve) puntos S de △ ABC toca su circunferencia inscrita s (Fig. 173).

En 2005, JA Scott ^{[ 4 ]} utilizó la hipérbola unitaria como la circunferencia circunscrita del triángulo ABC y halló condiciones para que incluyera seis centros triangulares: el centroide X(2), el ortocentro X(4), los puntos de Fermat X(13) y X(14), y los puntos de Napoleón X(17) y X(18), tal como se enumeran en la Enciclopedia de Centros Triangulares . La hipérbola de Scott es una hipérbola de Kiepert del triángulo.

Christopher Bath ^{[ 5 ]} describe una hipérbola rectangular de nueve puntos que pasa por estos centros: el incentro X(1), los tres excentros , el centroide X(2), el punto de De Longchamp X(20) y los tres puntos obtenidos al extender las medianas del triángulo al doble de su longitud ceviana .

• Maxime Bôcher (1892) Cónica de nueve puntos , Anales de Matemáticas , enlace desde Jstor .
• Maud A. Minthorn (1912) The Nine Point Conic , tesis de maestría en la Universidad de California, Berkeley , enlace de HathiTrust . Maude Ellen Minthorn, nacida en 1883 en LeMars, Iowa, falleció en 1966 en San Petersburgo, Florida. Hija de Pennington Minthorn, 1856-1939 (hermano de Hulda Minthorn Hoover, madre del presidente Herbert Hoover) y Anna Mary Heald, 1887-1940 (hermana de Franklin Herman Heald, fundador de Lake Elsinore, California (WRH)). Maud Minthorn también enseñó en la escuela secundaria de Fresno, California, de 1935 a 1940.
• Bjørn Felsager (2004) Geometría de Minkowski, Parte 1 , Geometría de Minkowski, Parte 2 ICME-10 Copenhague.