Punto medio

En geometría , el punto medio es el punto medio de un segmento de recta . Equidista de ambos extremos y es el centroide tanto del segmento como de sus extremos. Divide el segmento por la mitad .

Fórmula

El punto medio de un segmento en un espacio n -dimensional cuyos extremos son $A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ y $B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ es dado por

{\frac {A+B}{2}}.

Es decir, la i ^-ésima coordenada del punto medio ( i = 1, 2, ..., n ) es

{\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.

Construcción

Dados dos puntos de interés, encontrar el punto medio del segmento de línea que determinan se puede lograr mediante una regla y un compás . El punto medio de un segmento de línea, inmerso en un plano , se puede localizar construyendo primero una lente con arcos circulares de radio igual (y suficientemente grande) centrados en los dos extremos, y luego uniendo las cúspides de la lente (los dos puntos donde se intersecan los arcos). El punto donde la línea que une las cúspides interseca el segmento es entonces el punto medio del segmento. Es más difícil localizar el punto medio usando solo un compás, pero aún es posible según el teorema de Mohr-Mascheroni . ^{[ 1 ]}

Propiedades geométricas que involucran puntos medios

Círculo

El punto medio de cualquier diámetro de un círculo es el centro del círculo.
Cualquier línea perpendicular a cualquier cuerda de un círculo que pase por su punto medio también pasa por el centro del círculo.
El teorema de la mariposa establece que, si $M$ es el punto medio de una cuerda $PQ$ de un círculo , por el cual se trazan otras dos cuerdas $AB$ y $CD ;$ $AD$ y $BC$ intersecan la cuerda $PQ$ en $X$ e $Y$ respectivamente, entonces $M$ es el punto medio de $XY$ .

Elipse

El punto medio de cualquier segmento que sea la bisectriz del área o del perímetro de una elipse es el centro de la elipse.
El centro de la elipse es también el punto medio de un segmento que conecta los dos focos de la elipse.

Hipérbola

El punto medio del segmento que conecta los vértices de una hipérbola es el centro de la hipérbola.

Triángulo

La mediatriz de un lado de un triángulo es la recta perpendicular a ese lado que pasa por su punto medio. Las tres mediatrices de los tres lados de un triángulo se intersecan en el circuncentro (el centro del círculo que une los tres vértices).
La mediana de un lado de un triángulo pasa tanto por el punto medio del lado como por el vértice opuesto del triángulo . Las tres medianas de un triángulo se intersecan en el centroide del triángulo (el punto sobre el que el triángulo se equilibraría si estuviera hecho de una lámina delgada de metal de densidad uniforme).
El centro de nueve puntos de un triángulo se encuentra en el punto medio entre el circuncentro y el ortocentro . Todos estos puntos están sobre la recta de Euler .
Un segmento medio (o línea media ) de un triángulo es un segmento de línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de dicho lado.
El triángulo medial de un triángulo dado tiene vértices en los puntos medios de sus lados; por lo tanto, sus lados son los tres segmentos medios del triángulo original. Comparte el mismo baricentro y las mismas medianas. El perímetro del triángulo medial es igual al semiperímetro (la mitad del perímetro) del triángulo original, y su área es un cuarto del área del triángulo original. El ortocentro (punto de intersección de las alturas ) del triángulo medial coincide con el circuncentro (centro de la circunferencia que pasa por sus vértices) del triángulo original.
Cada triángulo tiene una elipse inscrita , llamada elipse de Steiner , que es tangente internamente al triángulo en los puntos medios de todos sus lados. Esta elipse está centrada en el baricentro del triángulo y tiene la mayor área de todas las elipses inscritas en él.
En un triángulo rectángulo , el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa .
En un triángulo isósceles , la mediana, la altura y la mediatriz del lado de la base , así como la bisectriz del ángulo del vértice, coinciden con la línea de Euler y el eje de simetría , y estas líneas coincidentes pasan por el punto medio del lado de la base.

Cuadrilátero

Las dos bimedianas de un cuadrilátero convexo son los segmentos de recta que conectan los puntos medios de lados opuestos, bisecando cada una dos lados. Las dos bimedianas y el segmento que une los puntos medios de las diagonales coinciden en un punto llamado "centroide del vértice", que es el punto medio de los tres segmentos. ^[²^]^:^p.125
Las cuatro "maltitudes" de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado que pasan por el punto medio del lado opuesto, bisecando así este último. Si el cuadrilátero es cíclico (está inscrito en un círculo), estas maltitudes convergen en un punto común llamado "anticentro".
El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero cíclico es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares ), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre pasa por el punto medio del lado opuesto.
El teorema de Varignon establece que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman los vértices de un paralelogramo , y si el cuadrilátero no se interseca a sí mismo, entonces el área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero.
La recta de Newton es la línea que une los puntos medios de las dos diagonales de un cuadrilátero convexo que no es un paralelogramo. Los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo se intersecan en un punto que se encuentra sobre la recta de Newton.

Polígonos generales

Un polígono regular tiene un círculo inscrito que es tangente a cada lado del polígono en su punto medio.
En un polígono regular con un número par de lados, el punto medio de una diagonal entre vértices opuestos es el centro del polígono.
El polígono de estiramiento del punto medio de un polígono cíclico $P$ (un polígono cuyos vértices caen todos en el mismo círculo) es otro polígono cíclico inscrito en el mismo círculo, el polígono cuyos vértices son los puntos medios de los arcos circulares entre los vértices de P. $[$ ^{3 ] La} iteración de la operación de estiramiento del punto medio sobre un polígono inicial arbitrario da como resultado una secuencia de polígonos cuyas formas convergen a la de un polígono regular . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Generalizaciones

Las fórmulas mencionadas anteriormente para el punto medio de un segmento utilizan implícitamente las longitudes de los segmentos. Sin embargo, en la generalización a la geometría afín , donde las longitudes de los segmentos no están definidas, ^{[ 5 ]} el punto medio aún puede definirse, ya que es un invariante afín . La definición afín sintética del punto medio $M$ de un segmento $AB$ es el conjugado armónico proyectivo del punto en el infinito , $P$ , de la línea $AB$ . Es decir, el punto $M$ tal que $H[A, B; P, M]$ . ^{[ 6 ]} Cuando se pueden introducir coordenadas en una geometría afín, las dos definiciones de punto medio coincidirán. ^{[ 7 ]}

En geometría proyectiva, el punto medio no se define de forma natural, ya que no existe un punto distinguido que cumpla la función del punto en el infinito (cualquier punto dentro de un rango proyectivo puede proyectarse a cualquier otro punto dentro del mismo rango o de otro). Sin embargo, al fijar un punto en el infinito, se define una estructura afín en la recta proyectiva en cuestión, y la definición anterior puede aplicarse.

La definición del punto medio de un segmento puede extenderse a segmentos de curva , como arcos geodésicos en una variedad riemanniana . Cabe destacar que, a diferencia del caso afín, el punto medio entre dos puntos puede no estar determinado de forma única.

Véase también

Referencias

↑ "Wolfram mathworld" . 29 de septiembre de 2010.
↑ Altshiller-Court, Nathan, Geometría universitaria , Dover Publ., 2007.
1 2 Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 de julio de 2003), "Cadenas de Markov y geometría dinámica de polígonos" (PDF) , Álgebra lineal y sus aplicaciones , 367 : 255–270 , doi : 10.1016/S0024-3795(02)00634-1 , consultado el 19 de octubre de 2011.
↑ Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008), "Convergencia de la secuencia de sombras de polígonos inscritos", 18.º Taller de Otoño sobre Geometría Computacional , Artesa, ISBN 978-84-8181-227-5
↑ Fishback, WT (1969), Geometría proyectiva y euclidiana (2.ª ed.), John Wiley & Sons, pág. 214, ISBN 0-471-26053-3
^ Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Conceptos fundamentales de geometría , Dover, p. 156, ISBN 0-486-63415-9
↑ Young, John Wesley (1930), Geometría proyectiva , Carus Mathematical Monographs #4, Mathematical Association of America, pp . 84–85

Enlaces externos

Animación : muestra las características del punto medio de un segmento de línea.
Calculadora de punto medio: calcule con precisión los valores medios entre números, horas y medidas en línea.

[1] "Wolfram mathworld" . 29 de septiembre de 2010.

[Altshiller-Court-2] Altshiller-Court, Nathan, Geometría universitaria , Dover Publ., 2007.

[dhz-3] 1 2 Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 de julio de 2003), "Cadenas de Markov y geometría dinámica de polígonos" (PDF) , Álgebra lineal y sus aplicaciones , 367 : 255–270 , doi : 10.1016/S0024-3795(02)00634-1 , consultado el 19 de octubre de 2011.

[4] Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008), "Convergencia de la secuencia de sombras de polígonos inscritos", 18.º Taller de Otoño sobre Geometría Computacional , Artesa, ISBN 978-84-8181-227-5

[5] Fishback, WT (1969), Geometría proyectiva y euclidiana (2.ª ed.), John Wiley & Sons, pág. 214, ISBN 0-471-26053-3

[6] Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Conceptos fundamentales de geometría , Dover, p. 156, ISBN 0-486-63415-9

[7] Young, John Wesley (1930), Geometría proyectiva , Carus Mathematical Monographs #4, Mathematical Association of America, pp . 84–85

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3 ] La

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