Líneas concurrentes

En geometría , las líneas en un plano o espacio de dimensiones superiores son concurrentes si se intersecan en un solo punto .

El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto se llama lápiz , y su intersección común se llama vértice del lápiz.

En cualquier espacio afín (incluido un espacio euclidiano ) el conjunto de líneas paralelas a una línea dada (que comparten la misma dirección ) también se llama lápiz , y el vértice de cada lápiz de líneas paralelas es un punto distinto en el infinito ; incluir estos puntos da como resultado un espacio proyectivo en el que cada par de líneas tiene una intersección.

En un triángulo , cuatro tipos básicos de conjuntos de líneas concurrentes son alturas , bisectrices de ángulos , medianas y bisectrices perpendiculares :

• Las alturas de un triángulo parten de cada vértice y se encuentran con el lado opuesto en un ángulo recto . El punto donde se encuentran las tres alturas es el ortocentro .
• Las bisectrices de los ángulos son rayos que parten de cada vértice del triángulo y bisecan el ángulo asociado . Todos se encuentran en el incentro .
• Las medianas conectan cada vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se encuentran en el baricentro .
• Las bisectrices perpendiculares son líneas que parten de los puntos medios de cada lado de un triángulo en ángulos de 90 grados. Las tres bisectrices perpendiculares se encuentran en el circuncentro .

Otros conjuntos de líneas asociadas a un triángulo también son concurrentes. Por ejemplo:

• Cualquier mediana (que es necesariamente una bisectriz del área del triángulo ) es concurrente con otras dos bisectrices del área, cada una de las cuales es paralela a un lado. ^[1]
• Un segmento de línea que divide en dos el perímetro del triángulo y tiene un extremo en el punto medio de uno de los tres lados. Los tres segmentos coinciden en el centro del círculo de Spieker , que es el círculo inscrito del triángulo medial .
• Un divisor de un triángulo es un segmento de línea que tiene un punto final en uno de los tres vértices del triángulo y divide en dos el perímetro. Los tres divisores concurren en el punto de Nagel del triángulo.
• Cualquier línea que pase por un triángulo y divida tanto el área como el perímetro del triángulo por la mitad pasa por el incentro del triángulo , y cada triángulo tiene una, dos o tres de estas líneas. ^[2] Por lo tanto, si hay tres de ellas, concurren en el incentro.
• El punto de Tarry de un triángulo es el punto de concurrencia de las líneas que pasan por los vértices del triángulo perpendiculares a los lados correspondientes del primer triángulo de Brocard del triángulo .
• El punto de Schiffler de un triángulo es el punto de coincidencia de las líneas de Euler de cuatro triángulos: el triángulo en cuestión y los tres triángulos que comparten cada uno dos vértices con él y tienen su incentro como el otro vértice.
• Los puntos de Napoleón y sus generalizaciones son puntos de concurrencia. Por ejemplo, el primer punto de Napoleón es el punto de concurrencia de las tres líneas que van desde un vértice hasta el centroide del triángulo equilátero dibujado en el exterior del lado opuesto al vértice. Una generalización de esta noción es el punto de Jacobi .
• El punto de Longchamps es el punto de coincidencia de varias rectas con la recta de Euler .
• Tres rectas, cada una formada al trazar un triángulo equilátero externo sobre uno de los lados de un triángulo dado y conectando el nuevo vértice con el vértice opuesto del triángulo original, son concurrentes en un punto llamado primer centro isogonal . En el caso en que el triángulo original no tenga ningún ángulo mayor que 120°, este punto es también el punto de Fermat .
• El punto de Apolonio es el punto de coincidencia de tres líneas, cada una de las cuales conecta un punto de tangencia del círculo al que los excírculos del triángulo son internamente tangentes, con el vértice opuesto del triángulo.

• Los dos bimedianos de un cuadrilátero (segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos) y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes y están todos bisectados por su punto de intersección. ^{[3] : p.125}
• En un cuadrilátero tangencial , las cuatro bisectrices de los ángulos concurren en el centro del círculo inscrito . ^[4]
• Aquí se dan otras concurrencias de un cuadrilátero tangencial .
• En un cuadrilátero cíclico , cuatro segmentos de línea, cada uno perpendicular a un lado y que pasa por el punto medio del lado opuesto , son concurrentes. ^{[3] : p.131,   [5]} Estos segmentos de línea se denominan máltitudes , ^[6] que es una abreviatura de altitud del punto medio. Su punto común se denomina anticentro .
• Un cuadrilátero convexo es ex-tangencial si y solo si hay seis bisectrices de ángulos concurrentes: las bisectrices de los ángulos internos en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de los ángulos externos en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de los ángulos externos en los ángulos formados donde se intersecan las extensiones de lados opuestos.

• Si los lados sucesivos de un hexágono cíclico son a , b , c , d , e , f , entonces las tres diagonales principales concurren en un único punto si y sólo si ace = bdf . ^[7]
• Si un hexágono tiene una cónica inscrita , entonces, por el teorema de Brianchon, sus diagonales principales son concurrentes (como en la imagen de arriba).
• Las líneas concurrentes surgen en el dual del teorema del hexágono de Pappus .
• Para cada lado de un hexágono cíclico, se extienden los lados adyacentes hasta su intersección, formando un triángulo exterior al lado dado. Entonces, los segmentos que conectan los circuncentros de los triángulos opuestos son concurrentes. ^[8]

• Si un polígono regular tiene un número par de lados, las diagonales que conectan los vértices opuestos son concurrentes en el centro del polígono.

• Las bisectrices perpendiculares de todas las cuerdas de un círculo son concurrentes en el centro del círculo.
• Las líneas perpendiculares a las tangentes a un círculo en los puntos de tangencia son concurrentes en el centro.
• Todas las bisectrices del área y del perímetro de un círculo son diámetros y son concurrentes en el centro del círculo.

• Todas las bisectrices del área y bisectrices del perímetro de una elipse son concurrentes en el centro de la elipse.

• En una hipérbola son concurrentes: (1) un círculo que pasa por los focos de la hipérbola y tiene como centro el centro de la hipérbola; (2) cualquiera de las líneas que son tangentes a la hipérbola en los vértices; y (3) cualquiera de las asíntotas de la hipérbola.
• También son concurrentes: (1) el círculo que tiene su centro en el centro de la hipérbola y que pasa por los vértices de la hipérbola; (2) cualquiera de las directriz; y (3) cualquiera de las asíntotas.

• En un tetraedro , las cuatro medianas y las tres bimedianas son todas concurrentes en un punto llamado centroide del tetraedro. ^[9]
• Un tetraedro isodinámico es aquel en el que las cevianas que unen los vértices a los incentros de las caras opuestas son concurrentes, y un tetraedro isogónico tiene cevianas concurrentes que unen los vértices a los puntos de contacto de las caras opuestas con la esfera inscrita del tetraedro.
• En un tetraedro ortocéntrico las cuatro alturas son concurrentes.

Según el teorema de Rouché-Capelli , un sistema de ecuaciones es consistente si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada (la matriz de coeficientes aumentada con una columna de términos de intersección), y el sistema tiene una solución única si y solo si ese rango común es igual al número de variables. Por lo tanto, con dos variables, las k líneas en el plano, asociadas con un conjunto de k ecuaciones, son concurrentes si y solo si el rango de la matriz de coeficientes k × 2 y el rango de la matriz aumentada k × 3 son ambos 2. En ese caso, solo dos de las k ecuaciones son independientes , y el punto de concurrencia se puede encontrar resolviendo simultáneamente dos ecuaciones cualesquiera mutuamente independientes para las dos variables.

En geometría proyectiva , en dos dimensiones la concurrencia es el dual de la colinealidad ; en tres dimensiones, la concurrencia es el dual de la coplanaridad .

• Wolfram MathWorld Concurrente, 2010.