intersección de líneas

En geometría euclidiana , la intersección de dos rectas puede ser el conjunto vacío , un punto o una recta (si coinciden). Distinguir entre estos casos y hallar la intersección tiene aplicaciones, por ejemplo, en gráficos por computadora , planificación de movimiento y detección de colisiones .

En un espacio euclidiano , si dos líneas no son coplanares , no tienen ningún punto de intersección ^{[ 1 ]} y se denominan líneas oblicuas . Sin embargo, si son coplanares, existen tres posibilidades: si coinciden (son la misma línea), tienen todos sus infinitos puntos en común; si son distintas pero tienen la misma dirección, se dice que son paralelas y no tienen puntos en común; de lo contrario, tienen un único punto de intersección, denominado conjunto unitario , por ejemplo $\{A\}$ .

La geometría no euclidiana describe espacios en los que una línea puede no ser paralela a ninguna otra, como una esfera, y espacios donde múltiples líneas que pasan por un mismo punto pueden ser paralelas a otra línea. En geometrías esféricas y elípticas , cada par de líneas se interseca, mientras que en geometría hiperbólica existen infinitas líneas distintas que pasan por un punto dado y que no se intersecan con ninguna otra línea. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} La geometría proyectiva proporciona un marco unificador en el que estos diferentes comportamientos pueden describirse extendiendo la noción de intersección para incluir puntos ideales, de modo que dos líneas distintas cualesquiera se intersecan en un único punto. ^{[ 5 ]}

Fórmulas

Una condición necesaria para que dos líneas se intersequen es que estén en el mismo plano , es decir, que no sean líneas oblicuas. El cumplimiento de esta condición equivale a que el tetraedro con vértices en dos de los puntos de una línea y dos de los puntos de la otra sea degenerado en el sentido de tener volumen cero . Para la forma algebraica de esta condición, véase Líneas oblicuas § Prueba de oblicuidad .

Dados dos puntos en cada línea

Primero consideramos la intersección de dos líneas $L 1$ y $L 2$ en un espacio bidimensional, donde la línea $L 1$ está definida por dos puntos distintos $(x 1, y 1)$ y $(x 2, y 2)$ , y la línea $L 2$ está definida por dos puntos distintos $(x 3, y 3)$ y $(x 4, y 4)$ . ^{[ 6 ]}

La intersección $P$ de las líneas $L 1$ y $L 2$ se puede definir utilizando determinantes .

P_{x}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatri x}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!\qquad P_{y}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmat rix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!

Los determinantes se pueden escribir de la siguiente manera:

{\begin{aligned}P_{x}&={\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}\\[4px]P_{y}&={\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}\end{aligned}}

Cuando las dos líneas son paralelas o coincidentes, el denominador es cero.

Dados dos puntos en cada segmento de línea

El punto de intersección mencionado anteriormente corresponde a las líneas infinitamente largas definidas por los puntos, en lugar de los segmentos de línea entre ellos, y puede generar un punto de intersección que no está contenido en ninguno de los dos segmentos de línea. Para hallar la posición de la intersección con respecto a los segmentos de línea, podemos definir las líneas $L 1$ y $L 2$ en términos de parámetros de Bézier de primer grado :

L_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{bmatrix}},\qquad L_{2}={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{bmatrix}}+u{\begin{bmatrix}x_{4}-x_{3}\\y_{4}-y_{3}\end{bmatrix}}

(donde $t$ y $u$ son números reales). El punto de intersección de las líneas se encuentra con uno de los siguientes valores de $t$ o $u$ , donde

t={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{3}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}={\frac {(x_{1}-x_{3})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{3})(x_{3}-x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}

y

u=-{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{1}-x_{3}\\y_{1}-y_{2}&y_{1}-y_{3}\end{vmatrix}}{\be ginebra{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}=-{\frac {(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{1}-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},

con

(P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{1}+t(x_{2}-x_{1}),\;y_{1}+t(y_{2}-y_{1}){\bigr )}\quad {\text{o}}\quad (P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{3}+u(x_{4}-x_{3}),\;y_{3}+u(y_{4}-y_{3}){\bigr )}

Habrá una intersección si $0 \leq t \leq 1$ y $0 \leq u \leq 1.$ El punto de intersección se encuentra dentro del primer segmento de línea si $0 \leq t \leq 1$ , y dentro del segundo segmento de línea si $0 \leq u \leq 1.$ Estas desigualdades se pueden comprobar sin necesidad de dividir, lo que permite determinar rápidamente la existencia de cualquier intersección de segmentos de línea antes de calcular su punto exacto. ^{[ 7 ]}

En el caso en que los dos segmentos de línea comparten un eje x y $x_{2}=x_{1}+1$ , $t$ y $u$ simplificar a $t=u={\frac {y_{1}-y_{3}}{y_{1}-y_{2}-y_{3}+y_{4}}},$ con $(P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{1}+t,\;y_{1}+t(y_{2}-y_{1}){\bigr )}\quad {\text{or}}\quad (P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{1}+t,\;y_{3}+t(y_{4}-y_{3}){\bigr )}.$

Dadas dos ecuaciones de línea

Las coordenadas $x$ e $y$ del punto de intersección de dos líneas no verticales se pueden encontrar fácilmente utilizando las siguientes sustituciones y reordenamientos.

Supongamos que dos rectas tienen las ecuaciones $y = ax + c$ $e y$ = $bx$ $+$ $d$ $,$ donde $a$ y $b$ son las pendientes de las rectas y $c$ y $d$ son las intersecciones con el eje $y$ . En el punto donde las dos rectas se intersecan (si lo hacen), ambas coordenadas $y$ serán iguales; por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:

ax+c=bx+d.

Podemos reorganizar esta expresión para extraer el valor de $x$ ,

ax-bx=d-c,

y entonces,

x={\frac {d-c}{a-b}}.

Para hallar la coordenada $y$ , lo único que tenemos que hacer es sustituir el valor de $x$ en cualquiera de las dos ecuaciones de la recta, por ejemplo, en la primera:

y=a{\frac {d-c}{a-b}}+c.

Por lo tanto, el punto de intersección es

P=\left({\frac {d-c}{a-b}},a{\frac {d-c}{a-b}}+c\right).

Tenga en cuenta que si $a = b,$ entonces las dos líneas son paralelas y no se intersecan, a menos que $c = d$ también, en cuyo caso las líneas coinciden y se intersecan en cada punto.

Utilizando coordenadas homogéneas

Al usar coordenadas homogéneas , el punto de intersección de dos líneas definidas implícitamente se puede determinar con bastante facilidad. En 2D, cada punto se puede definir como una proyección de un punto 3D, dado como la terna ordenada $(x, y, w)$ . El mapeo de coordenadas 3D a 2D es $(x', y') = (⁠ x / w ⁠, ⁠ y / w ⁠)$ . Podemos convertir puntos 2D a coordenadas homogéneas definiéndolos como $(x, y, 1)$ .

Supongamos que queremos encontrar la intersección de dos líneas infinitas en un espacio bidimensional, definidas como $a 1 x + b 1 y + c 1 = 0$ y $a 2 x + b 2 y + c 2 = 0.$ Podemos representar estas dos líneas en coordenadas de línea como $U 1 = (a 1, b 1, c 1)$ y $U 2 = (a 2, b 2, c 2)$ . La intersección $P'$ de las dos líneas viene dada simplemente por ^{[ 8 ]}

P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}\times U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})

Si $c p = 0$ , las líneas no se intersecan.

Más de dos líneas

La intersección de dos líneas se puede generalizar para involucrar líneas adicionales. La existencia y la expresión para el problema de intersección $de n$ líneas son las siguientes.

En dos dimensiones

En dos dimensiones, es casi seguro que más de dos líneas no se intersecan en un solo punto. Para determinar si lo hacen y, de ser así, para encontrar el punto de intersección, escriba la $i$ -ésima ecuación ( $i = 1, \dots, n$ ) como

{\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=b_{i},

y apilar estas ecuaciones en forma matricial como

\mathbf {A} \mathbf {w} =\mathbf {b} ,

donde la $i$ -ésima fila de la matriz $A de$ $n \times 2$ es $[$ $a$ $i$ $1$ $,$ $a$ $i$ $2$ $]$ , $w$ es el vector de 2 × 1 $[$ $x$ $y$ $]$ , y el $i$ -ésimo elemento del vector columna $b$ es $b$ $i$ . Si $A$ tiene columnas independientes, su rango es 2. Entonces , si y solo si el rango de la matriz aumentada $[$ $A$ $|$ $b$ $]$ también es 2, existe una solución de la ecuación matricial y, por lo tanto, un punto de intersección de las $n$ líneas. El punto de intersección, si existe, viene dado por

\mathbf {w} =\mathbf {A} ^{\mathrm {g} }\mathbf {b} =\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,

donde $A g$ es la inversa generalizada de Moore-Penrose de $A$ (que tiene la forma mostrada porque $A$ tiene rango de columna completo). Alternativamente, la solución se puede encontrar resolviendo conjuntamente dos ecuaciones independientes. Pero si el rango de $A$ es solo 1, entonces si el rango de la matriz aumentada es 2 no hay solución, pero si su rango es 1, entonces todas las líneas coinciden entre sí.

En tres dimensiones

El enfoque anterior se puede extender fácilmente a tres dimensiones. En tres o más dimensiones, incluso dos líneas casi con certeza no se intersecan; los pares de líneas no paralelas que no se intersecan se denominan líneas oblicuas . Pero si existe una intersección, se puede encontrar de la siguiente manera.

En tres dimensiones, una línea se representa mediante la intersección de dos planos, cada uno de los cuales tiene una ecuación de la forma

{\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=b_{i}.

Así, un conjunto de $n$ líneas puede representarse mediante $2 n$ ecuaciones en el vector de coordenadas tridimensional $w$ :

\mathbf {A} \mathbf {w} =\mathbf {b}

donde ahora $A$ es $2 n \times 3$ y $b$ es $2 n \times 1$ . Como antes, hay un único punto de intersección si y solo si $A$ tiene rango de columna completo y la matriz aumentada $[A | b]$ no lo tiene, y la intersección única, si existe, viene dada por

\mathbf {w} =\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} .

Puntos más cercanos a líneas oblicuas

En dos o más dimensiones, normalmente podemos encontrar un punto que, en el sentido de mínimos cuadrados , sea mutuamente el más cercano a dos o más líneas.

En dos dimensiones

En el caso bidimensional, primero, representemos la línea $i$ como un punto $p i$ en la línea y un vector normal unitario $n̂$ $i$ , perpendicular a esa línea. Es decir, si $x$ $1$ y $x$ $2$ son puntos en la línea 1, entonces sea $p$ $1$ $=$ $x$ $1$ y sea

\mathbf {\hat {n}} _{1}:={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\frac {\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}}{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|}}

que es el vector unitario a lo largo de la línea, rotado un ángulo recto.

La distancia desde un punto $x$ a la línea $(p, n̂)$ viene dada por

d{\bigl (}\mathbf {x} ,(\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ){\bigr )}={\bigl |}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr |}=\left|(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right|=\left|\mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\right|={\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )}}.

Y así, la distancia al cuadrado desde un punto $x$ a una línea es

d{\bigl (}\mathbf {x} ,(\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ){\bigr )}^{2}=(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {\hat {n}} \mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {p} ).

La suma de las distancias al cuadrado a muchas líneas es la función de coste :

E(\mathbf {x} )=\sum _{i}(\mathbf {x} -\mathbf {p} _{i})^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {p} _{i}).

Esto se puede reorganizar:

{\begin{aligned}E(\mathbf {x} )&=\sum _{i}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\\&=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} -2\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right)+\sum _{i}\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}

Para hallar el mínimo, derivamos con respecto a $x$ e igualamos el resultado al vector cero:

{\frac {\partial E(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}={\boldsymbol {0}}=2\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} -2\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right)

entonces

\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}

y entonces

\mathbf {x} =\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right).

En más de dos dimensiones

Si bien $n̂ i$ no está bien definido en más de dos dimensiones, esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones al observar que $n̂ i n̂ i T$ es simplemente la matriz simétrica con todos los autovalores iguales a la unidad, excepto por un autovalor cero en la dirección a lo largo de la línea que proporciona una seminorma en la distancia entre $p i$ y otro punto que da la distancia a la línea. En cualquier número de dimensiones, si $v̂ i$ es un vector unitario a lo largo de la $i-$ ésima línea, entonces

\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}

se convierte

\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}

donde $I$ es la matriz identidad , y por lo tanto ^{[ 9 ]}

x=\left(\sum _{i}\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}\left(\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {p} _{i}\right).

Derivación general

Para hallar el punto de intersección de un conjunto de líneas, calculamos el punto con la distancia mínima a ellas. Cada línea se define por un origen $a i$ y un vector unitario de dirección $n̂ i$ . El cuadrado de la distancia desde un punto $p$ a una de las líneas viene dado por el teorema de Pitágoras:

d_{i}^{2}=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right\|^{2}-\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}=\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}

donde $(p - a i) T n̂ i$ es la proyección de $p - a i$ sobre la línea $i$ . La suma de las distancias al cuadrado a todas las líneas es

\sum _{i}d_{i}^{2}=\sum _{i}\left({\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-{\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}}\right)

Para minimizar esta expresión, la diferenciamos con respecto a $p$ .

\sum _{i}\left(2\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-2\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)={\boldsymbol {0}}

\sum _{i}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)

lo cual resulta en

\left(\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\right)\mathbf {p} =\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {a} _{i}

donde $I$ es la matriz identidad . Esta es una matriz $Sp = C$ , con solución $p = S + C$ , donde S $+ es$ la pseudoinversa de $S.$

Geometría no euclidiana

En geometría esférica , las líneas se representan mediante círculos máximos, ^{[ 10 ]} definidos como las intersecciones de una esfera. $S^{2}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}:\|x\|=R\}$ con planos que pasan por el origen. ^{[ 2 ]}

Dos círculos máximos situados en planos con vectores normales unitarios. $\mathbf {\hat {n}} _{1}$ y $\mathbf {\hat {n}} _{2}$ se intersecan en dos puntos antipodales , que (salvo normalización) pueden expresarse mediante ^{[ 11 ]}^{[ 12 ].}

$\mathbf {x} =\pm {\frac {\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}}{\|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\|}}$

Cada par de líneas se interseca en dos puntos antipodales, por lo que no hay líneas paralelas en la geometría esférica. ^{[ 13 ]}

En geometría elíptica , el espacio puede considerarse como un cociente de geometría esférica en la que se identifican puntos antipodales. Las líneas en esta geometría corresponden a círculos máximos con puntos antipodales considerados equivalentes, de modo que cada par de líneas se interseca en un único punto. ^{[ 2 ]} A diferencia de la geometría esférica, esta identificación elimina la distinción entre los dos puntos de intersección, produciendo un espacio finito pero ilimitado sin líneas paralelas. ^{[ 4 ]}

En geometría hiperbólica , el comportamiento de intersección de líneas difiere del de las geometrías euclidianas y de curvatura positiva. ^{[ 2 ]} Dada una línea $\ell$ y un punto $P\not \in \ell$ , existen infinitas líneas distintas a través de $P$ que no se cruzan $\ell$ . ^{[ 10 ]} Dos líneas pueden intersecarse en un único punto, ser asintóticamente paralelas o ser ultraparalelas (disjuntas con una perpendicular común). Este comportamiento refleja la curvatura gaussiana negativa constante. $K<0$ del espacio hiperbólico y el fallo del postulado de las paralelas euclidianas. Por lo tanto, la intersección línea-línea no está garantizada y depende de las relaciones de incidencia de la geometría más que de la distancia métrica únicamente. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

En geometría proyectiva , dos líneas cualesquiera distintas se intersecan en un único punto por construcción. Esto se logra mediante la contigüidad de puntos ideales (puntos en el infinito), de modo que las líneas paralelas en geometría euclidiana se encuentran en un único punto proyectivo. ^{[ 4 ]} Las líneas se modelan como subespacios proyectivos unidimensionales, y las relaciones de incidencia son fundamentales, mientras que las nociones de distancia, ángulo y curvatura no lo son. La geometría proyectiva proporciona así un marco unificador en el que las geometrías euclidiana, elíptica e hiperbólica pueden estudiarse mediante modelos proyectivos apropiados. ^{[ 16 ]}

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

Distancia entre líneas y segmentos con su punto de aproximación más cercano. Archivado el 27/02/2012 en Wayback Machine , aplicable a dos, tres o más dimensiones.

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[14] Anderson, James W. (1999). "Geometría hiperbólica" . Springer Undergraduate Mathematics Series . doi : 10.1007/978-1-4471-3987-4 . ISSN 1615-2085 .

[15] B. O'Neill , Geometría semiriemanniana , §4

[16] Hughes, DR, Piper, FC Planos proyectivos (2.ª ed.). Springer. {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

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Fórmulas

Dados dos puntos en cada línea

Dados dos puntos en cada segmento de línea

Dadas dos ecuaciones de línea

Utilizando coordenadas homogéneas

Más de dos líneas

En dos dimensiones

En tres dimensiones

Puntos más cercanos a líneas oblicuas

En dos dimensiones

En más de dos dimensiones

Derivación general

Geometría no euclidiana

Véase también

Referencias

Enlaces externos

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