Distancia entre dos líneas paralelas

La distancia entre dos líneas paralelas en el plano es la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera.

Como las líneas son paralelas, la distancia perpendicular entre ellas es constante, por lo que no importa qué punto se elija para medir la distancia. Dadas las ecuaciones de dos líneas paralelas no verticales

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

La distancia entre las dos líneas es la distancia entre los dos puntos de intersección de estas líneas con la línea perpendicular.

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

Esta distancia se puede encontrar resolviendo primero el sistema de ecuaciones lineales.

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

y

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

para obtener las coordenadas de los puntos de intersección. Las soluciones de los sistemas lineales son los puntos

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

y

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

La distancia entre los puntos es

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

lo cual se reduce a

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Cuando las líneas están dadas por

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

La distancia entre ellos se puede expresar como

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

De manera más general, cuando los coeficientes de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son diferentes, es decir, las líneas paralelas vienen dadas por la${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$y el${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}$ecuaciones donde${\displaystyle (a_{1},b_{1})\ ||\ (a_{2},b_{2})}$, la distancia se puede expresar como

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{2}+(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}}}{|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}|}}}$

• Distancia desde un punto a una línea

• Abstenerse en: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut y FA Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, págs. 17-19 (alemán)
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Geometría analítica y álgebra lineal . Diesterweg, 1988, ISBN 3-425-05301-9pág. 298 (alemán)

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – ¿Wann welche Formel? , págs. 44-59 (alemán)
• AJ Hobson: “SOLO MATEMÁTICAS” - UNIDAD NÚMERO 8.5 - VECTORES 5 (Ecuaciones vectoriales de líneas rectas) , págs. 8-9