Intersección (geometría)

En geometría , una intersección es un punto, una línea o una curva común a dos o más objetos (como líneas, curvas, planos y superficies). El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección línea-línea entre dos líneas distintas , que es un punto (a veces llamado vértice ) o no existe (si las líneas son paralelas ). Otros tipos de intersección geométrica incluyen:

• Intersección de línea y plano
• Intersección de línea y esfera
• Intersección de un poliedro con una recta
• Intersección de segmentos de línea
• Curva de intersección

La determinación de la intersección de planos – objetos geométricos lineales incrustados en un espacio de dimensiones superiores – es una tarea sencilla de álgebra lineal , es decir, la solución de un sistema de ecuaciones lineales . En general, la determinación de una intersección conduce a ecuaciones no lineales , que pueden resolverse numéricamente , por ejemplo, utilizando la iteración de Newton . Los problemas de intersección entre una línea y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones cuadráticas que pueden resolverse fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas conducen a ecuaciones cuárticas que pueden resolverse algebraicamente .

Para la determinación del punto de intersección de dos rectas no paralelas

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

Se obtienen, a partir de la regla de Cramer o sustituyendo una variable, las coordenadas del punto de intersección  : ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(Si las rectas son paralelas y no se pueden utilizar estas fórmulas porque implican dividir por 0.) ${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$

Para dos segmentos de recta no paralelos no existe necesariamente un punto de intersección (ver diagrama), ya que el punto de intersección de las rectas correspondientes no necesita estar contenido en los segmentos de recta. Para comprobar la situación se utilizan representaciones paramétricas de las rectas: ${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$${\ Displaystyle (x_ {3}, y_ {3}), (x_ {4}, y_ {4})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}$

Los segmentos de recta se cortan sólo en un punto común de las rectas correspondientes si los parámetros correspondientes cumplen la condición . Los parámetros son la solución del sistema lineal ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$$estilo de visualización s_{0},t_{0}}$${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$$estilo de visualización s_{0},t_{0}}$

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

Se puede resolver para s y t utilizando la regla de Cramer (ver arriba). Si se cumple la condición, se inserta o en la representación paramétrica correspondiente y se obtiene el punto de intersección . ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$$estilo de visualización s_{0}$$estilo de visualización t_{0}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Ejemplo: Para los segmentos de línea y se obtiene el sistema lineal ${\displaystyle (1,1),(3,2)}$${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\estilo de visualización s+5t=3}$

y . Esto significa: las líneas se intersecan en el punto . ${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$${\displaystyle ({\frac {17}{11}},{\frac {14}{11}})}$

Observación: Si se consideran líneas, en lugar de segmentos, determinados por pares de puntos, se puede descartar cada condición y el método proporciona el punto de intersección de las líneas (ver arriba). ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$

Para la intersección de

• línea y círculo${\displaystyle ax+by=c}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

Se resuelve la ecuación de la línea para x o y y se sustituye en la ecuación del círculo y se obtiene la solución (usando la fórmula de una ecuación cuadrática) con ${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$

${\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

Si esta condición se cumple con estricta desigualdad, hay dos puntos de intersección; en este caso la línea se llama línea secante del círculo, y el segmento de línea que conecta los puntos de intersección se llama cuerda del círculo. ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\ .}$

Si se cumple, solo existe un punto de intersección y la recta es tangente al círculo. Si la desigualdad débil no se cumple, la recta no interseca al círculo. ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}$

Si el punto medio del círculo no es el origen, véase ^[1] La intersección de una línea y una parábola o hipérbola puede tratarse de forma análoga.

La determinación de los puntos de intersección de dos círculos.

• ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

Se puede reducir al caso anterior de intersección de una recta y un círculo. Restando las dos ecuaciones dadas se obtiene la ecuación de la recta:

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

Esta línea especial es la línea radical de los dos círculos.

Caso especial  :${\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}$
En este caso el origen es el centro del primer círculo y el segundo centro se encuentra en el eje x (véase el diagrama). La ecuación de la recta radical se simplifica a y los puntos de intersección se pueden escribir como con ${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;}$${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .}$

En el caso de que las circunferencias no tengan puntos en común. En el caso de que las circunferencias tengan un punto en común y la recta radical sea una tangente común. ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$
${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$

Cualquier caso general como el escrito arriba puede transformarse mediante un desplazamiento y una rotación en un caso especial.

La intersección de dos discos (los interiores de los dos círculos) forma una figura llamada lente .

El problema de la intersección de una elipse/hipérbola/parábola con otra sección cónica conduce a un sistema de ecuaciones cuadráticas , que se pueden resolver en casos especiales fácilmente mediante la eliminación de una coordenada. Se pueden utilizar propiedades especiales de las secciones cónicas para obtener una solución . En general, los puntos de intersección se pueden determinar resolviendo la ecuación mediante una iteración de Newton. Si a) ambas cónicas están dadas implícitamente (mediante una ecuación), es necesaria una iteración de Newton bidimensional; b) una está dada implícitamente y la otra está dada paramétricamente; es necesaria una iteración de Newton unidimensional. Véase la siguiente sección.

Dos curvas en (espacio bidimensional), que son continuamente diferenciables (es decir, no hay ninguna curva pronunciada), tienen un punto de intersección, si tienen un punto del plano en común y tienen en este punto (ver diagrama): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

a) diferentes rectas tangentes ( intersección transversal , después de la transversalidad ), o

b) la recta tangente en común y se cruzan entre sí ( tocan intersección , después de la tangente ).

Si ambas curvas tienen un punto S y la línea tangente allí en común pero no se cruzan entre sí, solo se tocan en el punto S.

Como las intersecciones en contacto aparecen raramente y son difíciles de manejar, las siguientes consideraciones omiten este caso. En cualquier caso, se presuponen todas las condiciones diferenciales necesarias. La determinación de los puntos de intersección siempre conduce a una o dos ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante iteraciones de Newton. A continuación se presenta una lista de los casos que aparecen:

• Si ambas curvas se dan explícitamente : , al igualarlas se obtiene la ecuación${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)}$

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .}$

• Si ambas curvas se dan paramétricamente:${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).}$

Igualándolos obtenemos dos ecuaciones en dos variables:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .}$

• Si una curva se da paramétricamente y la otra implícitamente :${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.}$

Este es el caso más simple, además del caso explícito. Hay que insertar la representación paramétrica de en la ecuación de la curva y se obtiene la ecuación: ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .}$

• Si ambas curvas se dan implícitamente:${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.}$

Aquí, un punto de intersección es una solución del sistema.

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .}$

Cualquier iteración de Newton necesita valores iniciales convenientes, que pueden derivarse mediante una visualización de ambas curvas. Una curva dada de forma paramétrica o explícita puede visualizarse fácilmente, porque para cualquier parámetro t o x respectivamente es fácil calcular el punto correspondiente. Para curvas dadas implícitamente esta tarea no es tan fácil. En este caso, uno tiene que determinar un punto de curva con ayuda de valores iniciales y una iteración. Véase . ^[2]

Ejemplos:

1: y círculo (ver diagrama). ${\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})}$${\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0}$

La iteración de Newton para la función ${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10}$Hay que hacerlo. Como valores iniciales se pueden elegir −1 y 1,5.

Los puntos de intersección son: (−1,1073, −1,3578), (1,6011, 4,1046)

2:${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,}$

${\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0}$(ver diagrama).

La iteración de Newton

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}}$se debe realizar, donde es la solución del sistema lineal${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$en el punto . Como valores iniciales se pueden elegir (−0,5, 1) y (1, −0,5).${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$

El sistema lineal se puede resolver mediante la regla de Cramer.

Los puntos de intersección son (−0,3686, 0,9953) y (0,9953, −0,3686).

Si se desea determinar los puntos de intersección de dos polígonos , se puede comprobar la intersección de cualquier par de segmentos de línea de los polígonos (véase más arriba). Para polígonos con muchos segmentos, este método consume bastante tiempo. En la práctica, se acelera el algoritmo de intersección utilizando pruebas de ventana . En este caso, se dividen los polígonos en pequeños subpolígonos y se determina la ventana más pequeña (rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas) para cualquier subpolígono. Antes de comenzar la lenta determinación del punto de intersección de dos segmentos de línea, se prueba cualquier par de ventanas para detectar puntos comunes. Véase. ^[3]

En el espacio tridimensional existen puntos de intersección (puntos comunes) entre curvas y superficies. En las siguientes secciones consideraremos únicamente la intersección transversal .

La intersección de una línea y un plano en posición general en tres dimensiones es un punto.

Comúnmente, una línea en el espacio se representa paramétricamente y un plano mediante una ecuación . Al insertar la representación paramétrica en la ecuación, se obtiene la ecuación lineal. ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$${\displaystyle ax+by+cz=d}$

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

para el parámetro del punto de intersección . ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$

Si la ecuación lineal no tiene solución, la recta se encuentra en el plano o es paralela a él.

Si una línea está definida por dos planos que se intersectan y debe ser intersectada por un tercer plano , se debe evaluar el punto de intersección común de los tres planos. ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2}$${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}$

Tres planos con vectores normales lineales independientes tienen como punto de intersección ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

Para la demostración se debe establecer utilizando las reglas del triple producto escalar . Si el triple producto escalar es igual a 0, entonces los planos no tienen la triple intersección o es una línea (o un plano, si los tres planos son iguales). ${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$

De manera análoga al caso del plano, los casos siguientes conducen a sistemas no lineales, que pueden resolverse utilizando una iteración de Newton unidimensional o tridimensional. ^[4]

• curva paramétrica y${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

superficie paramétrica${\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• curva paramétrica y${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

superficie implícita${\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .}$

Ejemplo:

curva paramétrica y${\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})}$

superficie implícita (véase imagen).${\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$

Los puntos de intersección son: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

La intersección de una línea y una esfera es un caso especial simple.

Al igual que en el caso de una línea y un plano, la intersección de una curva y una superficie en posición general consta de puntos discretos, pero una curva puede estar parcial o totalmente contenida en una superficie.

Dos superficies que se cortan transversalmente dan una curva de intersección . El caso más simple es la línea de intersección de dos planos no paralelos.

Cuando la intersección de una esfera y un plano no es un punto vacío o único, se trata de un círculo. Esto se puede ver de la siguiente manera:

Sea S una esfera con centro O , P un plano que interseca a S . Dibuje OE perpendicular a P y que corte a P en E . Sean A y B dos puntos diferentes en la intersección. Entonces AOE y BOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y las hipotenusas AO y BO iguales. Por lo tanto, los lados restantes AE y BE son iguales. Esto demuestra que todos los puntos en la intersección están a la misma distancia del punto E en el plano P , en otras palabras, todos los puntos en la intersección se encuentran en un círculo C con centro E . ^[5] Esto demuestra que la intersección de P y S está contenida en C . Nótese que OE es el eje del círculo.

Consideremos ahora un punto D del círculo C . Como C se encuentra en P , también lo está D . Por otra parte, los triángulos AOE y DOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y los catetos EA y ED son iguales. Por lo tanto, las hipotenusas AO y DO son iguales, e iguales al radio de S , de modo que D se encuentra en S . Esto demuestra que C está contenido en la intersección de P y S .

Como corolario, en una esfera hay exactamente un círculo que puede trazarse a través de tres puntos dados. ^[6]

La prueba puede ampliarse para mostrar que los puntos de un círculo están todos a una distancia angular común desde uno de sus polos. ^[7]

Compárense también las secciones cónicas , que pueden producir óvalos .

Para demostrar que una intersección no trivial de dos esferas es un círculo, supongamos (sin pérdida de generalidad) que una esfera (con radio ) está centrada en el origen. Los puntos de esta esfera satisfacen ${\displaystyle R}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

También sin pérdida de generalidad, supongamos que la segunda esfera, con radio , está centrada en un punto del eje x positivo, a una distancia del origen. Sus puntos satisfacen ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

La intersección de las esferas es el conjunto de puntos que satisfacen ambas ecuaciones. Restando las ecuaciones se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

En el caso singular , las esferas son concéntricas. Hay dos posibilidades: si , las esferas coinciden y la intersección es la esfera entera; si , las esferas están disjuntas y la intersección está vacía. Cuando a es distinto de cero, la intersección se encuentra en un plano vertical con esta coordenada x, que puede intersecar ambas esferas, ser tangente a ambas esferas o exterior a ambas esferas. El resultado se desprende de la prueba anterior para intersecciones de esferas y planos. ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle R=r}$${\displaystyle R\not =r}$

• Intersección de línea y plano
• Intersección de línea y esfera
• Intersección de cilindros y líneas
• Geometría analítica#Intersecciones
• Geometría computacional
• Ecuación de una recta
• Intersección (teoría de conjuntos)
• Teoría de la intersección

• Hobbs, CA (1921). Geometría sólida. GH Kent. págs. 397 y siguientes.

• Haines, Eric (6 de junio de 2021). "Intersecciones (página de recursos de trazado de rayos)". Representación en tiempo real . Consultado el 14 de diciembre de 2023. una cuadrícula de rutinas de intersección para varios objetos populares, que apunta a recursos en libros y en la web.
• Nicholas M. Patrikalakis y Takashi Maekawa, Interrogación de formas para diseño y fabricación asistidos por ordenador , Springer, 2002, ISBN 3540424547 , 9783540424543, págs. 408. [1] 
• Sykes, M.; Comstock, CE (1922). Geometría sólida. Rand McNally. pp. 81 y siguientes.