Curva de intersección

En geometría , una curva de intersección es una curva que es común a dos objetos geométricos. En el caso más simple, la intersección de dos planos no paralelos en el espacio tridimensional euclidiano es una línea . En general, una curva de intersección consiste en los puntos comunes de dos superficies que se intersecan transversalmente , lo que significa que en cualquier punto común las normales de la superficie no son paralelas. Esta restricción excluye los casos en los que las superficies se tocan o tienen partes de superficie en común.

La determinación analítica de la curva de intersección de dos superficies es fácil sólo en casos simples; por ejemplo: a) la intersección de dos planos, b) la sección plana de una cuádrica (esfera, cilindro, cono, etc.), c) la intersección de dos cuádrica en casos especiales. Para el caso general, la literatura proporciona algoritmos para calcular los puntos de la curva de intersección de dos superficies. ^[1]

Dado: dos planos linealmente independientes , es decir, los planos no son paralelos. ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\quad {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\quad i=1,2,\quad {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}}$

Se busca: una representación paramétrica de la línea de intersección. ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {r}}}$

La dirección de la línea se obtiene del producto vectorial de los vectores normales: . ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}}$

Un punto de la línea de intersección se puede determinar intersectando los planos dados con el plano , que es perpendicular a y . Insertando la representación paramétrica de en las ecuaciones de y se obtienen los parámetros y . ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}}$${\displaystyle \varepsilon _{3}:{\vec {x}}=s_{1}{\vec {n}}_{1}+s_{2}{\vec {n}}_{2}}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{2}}$${\displaystyle \varepsilon _{3}}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{2}}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$

${\displaystyle P:{\vec {p}}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{1}+{\frac {d_{2}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})-d_{1}({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})}{({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1})({\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2})-({\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2})^{2}}}{\vec {n}}_{2}\ .}$

Ejemplo: ${\displaystyle \varepsilon _{1}:\ x+2y+z=1,\quad \varepsilon _{2}:\ 2x-3y+2z=2\ .}$

Los vectores normales son y la dirección de la línea de intersección es . Para el punto , se obtiene de la fórmula anterior Por lo tanto ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}=(1,2,1)^{\top },\ {\vec {n}}_{2}=(2,-3,2)^{\top }}$${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}=(7,0,-7)^{\top }}$${\displaystyle P:{\vec {p}}}$${\displaystyle {\vec {p}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{\top }\ .}$

${\displaystyle {\vec {x}}={\tfrac {1}{2}}(1,0,1)^{\top }+t(7,0,-7)^{\top }}$

es una representación paramétrica de la línea de intersección.

Observaciones:

1. En casos especiales, la determinación de la línea de intersección mediante la eliminación gaussiana puede ser más rápida.
2. Si uno (o ambos) de los planos se da paramétricamente por , se obtiene un vector normal y la ecuación es: .${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {v}}+t{\vec {w}}}$${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}}$${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}={\vec {n}}\cdot {\vec {p}}}$

En cualquier caso, la curva de intersección de un plano y una cuádrica (esfera, cilindro, cono,...) es una sección cónica . Para más detalles, véase. ^[2] Una aplicación importante de las secciones planas de las cuádricas son las curvas de nivel de las cuádricas. En cualquier caso (proyección paralela o central), las curvas de nivel de las cuádricas son secciones cónicas. Véase más abajo y Umrisskonstruktion.

Determinar los puntos de intersección de una recta con una cuádrica (es decir, una recta con una esfera ) es una tarea sencilla; basta con resolver una ecuación de segundo grado. Por tanto, cualquier curva de intersección de un cono o un cilindro (que se generan a partir de rectas) con una cuádrica consta de puntos de intersección de rectas y de la cuádrica (ver imágenes).

Las imágenes muestran las posibilidades que se dan al intersecar un cilindro y una esfera:

1. En el primer caso, sólo existe una curva de intersección.
2. El segundo caso muestra un ejemplo donde la curva de intersección consta de dos partes.
3. En el tercer caso, la esfera y el cilindro se tocan en un punto singular. La curva de intersección se autointersecta.
4. Si el cilindro y la esfera tienen el mismo radio y el punto medio de la esfera está ubicado en el eje del cilindro, entonces la curva de intersección consta únicamente de puntos singulares (un círculo).

• 
  Intersección de una esfera y un cilindro: una parte
• 
  Intersección de una esfera y un cilindro: dos partes

• 
  Intersección de una esfera y un cilindro: curva con un punto singular
• 
  Intersección de una esfera y un cilindro: tocándose en una curva singular

En general, no existen características especiales que se puedan aprovechar. Una posibilidad para determinar un polígono de puntos de la curva de intersección de dos superficies es el método de marcha (ver apartado Referencias). Consta de dos partes esenciales:

1. La primera parte es el algoritmo del punto de curva , que determina un punto de partida en la proximidad de las dos superficies, en la curva de intersección. El algoritmo depende esencialmente de la representación de las superficies dadas. La situación más sencilla es aquella en la que ambas superficies están dadas implícitamente por ecuaciones , porque las funciones proporcionan información sobre las distancias a las superficies y muestran a través de los gradientes el camino hacia las superficies. Si una o ambas superficies están dadas paramétricamente, no existen las ventajas del caso implícito. En este caso, el algoritmo del punto de curva utiliza procedimientos que consumen mucho tiempo, como la determinación del punto de apoyo de una perpendicular a una superficie.${\displaystyle f_{1}(x,y,z)=0,\ f_{2}(x,y,z)=0}$
2. La segunda parte del método de marcha comienza con un primer punto en la curva de intersección, determina la dirección de la curva de intersección usando las normales de la superficie, luego da un paso con una longitud de paso dada en la dirección de la línea tangente, para obtener un punto de inicio para un segundo punto de la curva, ... (ver imagen).

Para conocer detalles del algoritmo de marcha, consulte ^{[3] .}

El método de marcha genera para cada punto de partida un polígono en la curva de intersección. Si la curva de intersección consta de dos partes, el algoritmo debe ejecutarse utilizando un segundo punto de partida conveniente. El algoritmo es bastante robusto. Por lo general, los puntos singulares no suponen un problema, porque la probabilidad de encontrar exactamente un punto singular es muy pequeña (véase la imagen: intersección de un cilindro y la superficie ). ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

• 
  Intersección con el cilindro: dos partes${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$
• 
  Intersección con el cilindro: una parte${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$
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  Intersección con el cilindro: un punto singular${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

Un punto de la curva de nivel de una superficie implícita con ecuación y proyección paralela con dirección tiene que cumplir la condición , porque tiene que ser un vector tangente, lo que significa que cualquier punto de curva de nivel es un punto de la curva de intersección de las dos superficies implícitas. ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle g(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}=0}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle f(x,y,z)=0,\ g(x,y,z)=0}$.

Para las cuádricas, es siempre una función lineal. Por lo tanto, la línea de contorno de una cuádrica es siempre una sección plana (es decir, una sección cónica). ${\displaystyle g}$

La línea de contorno de la superficie (ver imagen) se trazó mediante el método de marcha. ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$

Observación: La determinación de un polígono de contorno de una superficie paramétrica requiere trazar una curva implícita en el plano de parámetros. ^[4]${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(s,t)}$

Condición para los puntos de contorno: .${\displaystyle g(s,t)=({\vec {x}}_{s}(s,t)\times {\vec {x}}_{t}(s,t))\cdot {\vec {v}}=0}$

La curva de intersección de dos poliedros es un polígono (véase intersección de tres casas). La representación de una superficie definida paramétricamente se realiza habitualmente mediante la proyección de una red rectangular en un espacio tridimensional. Los cuadrángulos espaciales son casi planos. Por tanto, para la intersección de dos superficies definidas paramétricamente, se puede utilizar el algoritmo para la intersección de dos poliedros. ^[5] Véase la imagen de toros que se cruzan.

• Teoría de la intersección

• C:L: Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch: Trazado de intersecciones de superficies , Comp. Aided Geom. Design 5 (1988), pág. 285-307.
• RE Barnhill, SN Kersey: Un método de marcha para la intersección paramétrica de superficies y superficies , Comp. Aided Geom. Design 7 (1990), pág. 257-280.
• R. Barnhill, G. Farin, M. Jordan, B. Piper: Intersección superficie/superficie , Computer Aided Geometric Design 4 (1987), pág. 3-16.