Eje radical

En geometría euclidiana , el eje radical de dos círculos no concéntricos es el conjunto de puntos cuyas potencias con respecto a los círculos son iguales. Por esta razón, el eje radical también se denomina línea de potencia o bisectriz de potencia de los dos círculos. En detalle:

Para dos círculos c ₁ , c ₂ con centros M ₁ , M ₂ y radios r ₁ , r ₂ respectivamente, las potencias de un punto P con respecto a los círculos son

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}.}$

El punto P pertenece al eje radical, si

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P).}$

Si los círculos tienen dos puntos en común, el eje radical es la línea secante común de los círculos. Si el punto P está fuera de los círculos, P tiene la misma distancia tangencial a ambos círculos. Si los radios son iguales, el eje radical es la bisectriz del segmento de línea M ₁ , M ₂ . En cualquier caso, el eje radical es una línea perpendicular a${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}.}$

El término eje radical fue utilizado por el matemático francés M. Chasles como axe radical . ^{[ 1 ]} J.V. Poncelet utilizó el término chorde ideale . ^{[ 2 ]} J. Plücker introdujo el término Chordale . ^{[ 3 ]} J. Steiner llamó al eje radical línea de potencias iguales ( en alemán : Linie der gleichen Potenzen ), lo que dio lugar al término línea de potencia ( Potenzgerade ). ^{[ 4 ]}

El método descrito en la sección anterior para la construcción de un haz de círculos que intersecan ortogonalmente dos círculos dados puede extenderse a la construcción de dos sistemas de círculos que se intersecan ortogonalmente: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Dejar${\displaystyle c_{1},c_{2}}$sean dos círculos separados que yacen (como en la sección anterior),${\displaystyle M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}}$sus centros y radios respectivamente, y dejemos${\displaystyle g_{12}}$ser su eje radical. Ahora, todos los círculos que tienen con${\displaystyle c_{1}}$la línea${\displaystyle g_{12}}$como eje radical se determinará con sus centros en la línea${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$. Si${\displaystyle \gamma _{2}}$es tal círculo, cuyo centro tiene distancia${\displaystyle \delta }$al centro${\displaystyle M_{1}}$y radio${\displaystyle \rho _{2}}$. Del resultado de la sección anterior se obtiene la ecuación

${\displaystyle d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }},\quad }$dónde${\displaystyle d_{1}>r_{1}}$están fijos.

Con${\displaystyle \delta _ {2}=\delta -d_ {1}}$La ecuación se puede reescribir como:

${\displaystyle \delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}$.

Si el radio${\displaystyle \rho _{2}}$Se da, a partir de esta ecuación se halla la distancia${\displaystyle \delta _{2}}$al eje radical (fijo) del nuevo centro. En el diagrama, el color de los nuevos círculos es morado. Cualquier círculo verde tiene su centro en el eje radical e interseca los círculos. ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ortogonalmente y, por lo tanto, también todos los nuevos círculos (los morados). Eligiendo el eje radical (la línea roja) como${\displaystyle y}$-eje y línea${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$como${\displaystyle x}$En el eje -, los dos haces de círculos tienen las siguientes ecuaciones:

púrpura:${\displaystyle \ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$

verde:${\displaystyle \ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

(el punto${\displaystyle \;(0,y_{g})}$es el centro de un círculo verde.)

Propiedades: a) Cualquier par de círculos verdes se intersecan en el${\displaystyle x}$-eje en los puntos${\displaystyle P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}}$, los polos del sistema ortogonal de círculos. Eso significa que el${\displaystyle x}$El eje x es el eje radical de los círculos verdes. b) Los círculos morados no tienen puntos en común. Pero, si se considera el plano real como parte del plano complejo , entonces dos círculos morados cualesquiera se intersecan en el eje y.${\displaystyle y}$-eje (su eje radical común) en los puntos ${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$.

Casos especiales: a) En caso de ${\displaystyle d_{1}=r_{1}}$Los círculos verdes se tocan entre sí en el origen con el${\displaystyle x}$-eje como tangente común y los círculos morados tienen el${\displaystyle y}$-eje como tangente común. Dicho sistema de círculos se denomina círculos parabólicos coaxiales (véase más abajo). b) Contracción${\displaystyle c_{1}}$a su centro${\displaystyle M_{1}}$, es decir${\displaystyle r_{1}=0}$, las ecuaciones toman a su vez una forma más simple y se obtiene ${\displaystyle M_{1}=P_{1}}$.

Conclusión: a) Para cualquier real${\displaystyle w}$el lápiz de círculos

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\$ :}

tiene la propiedad: El${\displaystyle y}$El eje -es el eje radical de${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$.

En caso de${\displaystyle w>0}$los círculos${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$se intersecan en puntos${\displaystyle P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})}$.

En caso de${\displaystyle w<0}$No tienen nada en común.

En caso de${\displaystyle w=0}$se tocan en${\displaystyle (0,0)}$y el${\displaystyle y}$El eje x es su tangente común.

b) Para cualquier real${\displaystyle w}$los dos lápices de círculos

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\ }$

formen un sistema de círculos ortogonales . Eso significa: cualesquiera dos círculos${\displaystyle c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )}$se intersecan ortogonalmente.

c) A partir de las ecuaciones del apartado b), se obtiene una representación sin coordenadas:

Para los puntos dados${\displaystyle P_{1},P_{2}}$su punto medio${\displaystyle O}$y su bisectriz del segmento de línea${\displaystyle g_{12}}$las dos ecuaciones

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\ ,}$

${\displaystyle |XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}}$con${\displaystyle M}$en${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$pero no entre ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$, y${\displaystyle N}$en${\displaystyle g_{12}}$

describir el sistema ortogonal de círculos determinado de forma única por${\displaystyle P_{1},P_{2}}$que son los polos del sistema.

Para${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$uno tiene que prescribir los ejes${\displaystyle a_{1},a_{2}}$del sistema. El sistema es parabólico :

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}\ ,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}}$con${\displaystyle M}$en${\displaystyle a_{1}}$y ${\displaystyle N}$en${\displaystyle a_{2}}$.

Construcción de reglas y compases:

Un sistema de círculos ortogonales está determinado unívocamente por sus polos.${\displaystyle P_{1},P_{2}}$:

1. Los ejes (ejes radicales) son las líneas${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$y la bisectriz del segmento de recta${\displaystyle g_{12}}$de los polos.
2. Los círculos (verdes en el diagrama) a través de ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$tienen sus centros en${\displaystyle g_{12}}$Se pueden dibujar fácilmente. Por un punto${\displaystyle N}$el radio es${\displaystyle \;r_{N}=|NP_{1}|\;}$.
3. Para dibujar un círculo con el segundo lápiz (en el diagrama azul) con centro${\displaystyle M}$en${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$, hay que determinar el radio${\displaystyle r_{M}}$Aplicando el teorema de Pitágoras :${\displaystyle \;r_{M}^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\;}$(Ver diagrama).

En caso de${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$Los ejes deben elegirse adicionalmente. El sistema es parabólico y se puede dibujar fácilmente.

Definición y propiedades:

Dejar${\displaystyle c_{1},c_{2}}$sean dos círculos y${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2}}$sus funciones de potencia. Entonces, para cualquier${\displaystyle \lambda \neq 1}$

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

es la ecuación de un círculo${\displaystyle c(\lambda )}$(véase más abajo). Dicha clase de círculos se denomina sistema de círculos coaxiales generados por los círculos${\displaystyle c_{1},c_{2}}$. (En el caso${\displaystyle \lambda =1}$La ecuación describe el eje radical de${\displaystyle c_{1},c_{2}}$.) ^{[ 7 ] [ 8 ]}

La función de potencia de${\displaystyle c(\lambda )}$es

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$.

La ecuación normalizada (los coeficientes de${\displaystyle x^{2},y^{2}}$son${\displaystyle 1}$) de${\displaystyle c(\lambda )}$es${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)=0}$.

Un cálculo sencillo muestra:

• ${\displaystyle c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,}$tienen el mismo eje radical que${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}.}$

Permitir${\displaystyle \lambda }$para moverse al infinito, uno puede ver que${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$son miembros del sistema de círculos coaxiales:${\displaystyle c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )}$.

(E): Si${\displaystyle c_{1},c_{2}}$se intersecan en dos puntos${\displaystyle P_{1},P_{2}}$, entonces${\displaystyle P_{1},P_{2}}$son puntos de cualquier círculo${\displaystyle c(\lambda )}$y la línea${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$es su eje radical común. Dicho sistema se llama elíptico . (P): Si${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$son tangentes en${\displaystyle P}$, entonces cualquier círculo del sistema es tangente a ambos${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$en el punto${\displaystyle P}$. La tangente común es su eje radical común. Dicho sistema se llama parabólico . (H): Si${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$Si no tienen ningún punto en común , entonces lo mismo es cierto para cualquier par de círculos del sistema. El eje radical de cualquier par de círculos es el eje radical de${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$Este sistema se llama hiperbólico .

En detalle:

Introduciendo coordenadas tales que

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$,

entonces el${\displaystyle y}$El eje - es su eje radical (véase más arriba).

Cálculo de la función de potencia${\displaystyle \Pi (\lambda ,x,y)}$da como resultado la ecuación del círculo normado:

${\displaystyle c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

Completar el cuadrado y sustituir${\displaystyle \delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}}$(${\displaystyle x}$-coordenada del centro) produce la forma centrada de la ecuación

${\displaystyle c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$.

Cuando${\displaystyle r_{1}>d_{1}}$los círculos${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$se intersecan en los dos puntos

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}}$

y el sistema de círculos coaxiales es elíptico .

Si ${\displaystyle r_{1}=d_{1}}$, los círculos ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$tener el punto${\displaystyle P_{0}=(0,0)}$en común y el sistema es parabólico .

Si${\displaystyle r_{1}<d_{1},}$los círculos${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$no tienen ningún punto en común y el sistema es hiperbólico .

Ecuaciones alternativas: 1) En la ecuación definitoria de un sistema coaxial de círculos también se pueden usar múltiplos de las funciones potenciales. 2) La ecuación de uno de los círculos se puede reemplazar por la ecuación del eje radical deseado. El eje radical se puede ver como un círculo con un radio infinitamente grande. Por ejemplo:

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}}$,

describe todos los círculos que tienen con el primer círculo la línea${\displaystyle x=x_{2}}$ como eje radical. 3) Para expresar la igualdad de estatus de los dos círculos, se suele utilizar la siguiente forma:

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.}$

Pero en este caso la representación de un círculo por los parámetros${\displaystyle \mu ,\nu }$no es único .

Aplicaciones: a) Las inversiones de círculos y las transformaciones de Möbius conservan los ángulos y los círculos generalizados . Por lo tanto, los sistemas ortogonales de círculos desempeñan un papel esencial en las investigaciones sobre estas transformaciones. ^{[ 9 ] [ 10 ]} b) En electromagnetismo, los círculos coaxiales aparecen como líneas de campo . ^{[ 11 ]}

Para tres círculos${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$, ninguno de los cuales es concéntrico, hay tres ejes radicales${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}.}$Si los centros de estos círculos no son colineales, sus ejes radicales se intersecan en un punto común.${\displaystyle R}$, el centro radical de los tres círculos. El círculo que es ortogonal a dos de los círculos con centro en${\displaystyle R}$es ortogonal al tercer círculo ( círculo radical ).

Prueba. El eje radical${\displaystyle g_{ik}}$Contiene todos los puntos que tienen la misma distancia tangencial a los círculos.${\displaystyle c_{i},c_{k}}$El punto de intersección${\displaystyle R}$de${\displaystyle g_{12}}$y${\displaystyle g_{23}}$tiene la misma distancia tangencial a los tres círculos. Por lo tanto,${\displaystyle R}$es un punto en el eje radical${\displaystyle g_{31}}$, también.

Esta propiedad permite construir el eje radical de dos círculos que no se intersecan.${\displaystyle c_{1},c_{2}}$con centros${\displaystyle M_{1},M_{2}}$: Dibuja un tercer círculo${\displaystyle c_{3}}$con centro no colineal a los centros dados que se intersecan${\displaystyle c_{1},c_{2}}$Los ejes radicales${\displaystyle g_{13},g_{23}}$Se pueden dibujar. Su punto de intersección es el centro radical.${\displaystyle R}$de los tres círculos y yace en${\displaystyle g_{12}}$. La línea que atraviesa${\displaystyle R}$que es perpendicular a${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$es el eje radical ${\displaystyle g_{12}}$.

Método de construcción adicional:

Todos los puntos que tienen la misma potencia en un círculo dado${\displaystyle c}$yacen sobre un círculo concéntrico a${\displaystyle c}$Llamémoslo círculo equipower . Esta propiedad puede utilizarse para un método de construcción adicional del eje radical de dos círculos:

Para dos círculos que no se intersecan${\displaystyle c_{1},c_{2}}$, se pueden dibujar dos círculos de equipower${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$, que tienen el mismo poder con respecto a${\displaystyle c_{1},c_{2}}$(véase el diagrama). En detalle:${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$. Si la potencia es lo suficientemente grande, los círculos ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$Tienen dos puntos en común, que se encuentran en el eje radical.${\displaystyle g_{12}}$.

En general, cualesquiera dos círculos disjuntos y no concéntricos pueden alinearse con los círculos de un sistema de coordenadas bipolares . En ese caso, el eje radical es simplemente el${\displaystyle y}$-eje de este sistema de coordenadas. Cada círculo sobre el eje que pasa por los dos focos del sistema de coordenadas interseca los dos círculos ortogonalmente. Una colección máxima de círculos, todos con centros en una línea dada y todos los pares con el mismo eje radical, se conoce como haz de círculos coaxiales .

Si los círculos se representan en coordenadas trilineales de la forma habitual, entonces su centro radical se da convenientemente como un cierto determinante . Específicamente, sea${\displaystyle X=x:y:z}$denota un punto variable en el plano de un triángulo${\displaystyle ABC}$que tiene lados con longitudes${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,}$y representemos los círculos de la siguiente manera:

${\displaystyle (dx+ey+fz)(ax+by+cz)+g(ayz+bzx+cxy)=0,}$

${\displaystyle (hx+iy+jz)(ax+by+cz)+k(ayz+bzx+cxy)=0,}$

${\displaystyle (lx+my+nz)(ax+by+cz)+p(ayz+bzx+cxy)=0.}$

Entonces el centro radical es el punto

${\displaystyle {\begin{vmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{vmatrix}}.}$

El plano radical de dos esferas no concéntricas en tres dimensiones se define de manera similar: es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales las tangentes a las dos esferas tienen la misma longitud. ^{[ 12 ]} El hecho de que este lugar geométrico sea un plano se deduce, mediante una rotación en la tercera dimensión, del hecho de que el eje radical sea una línea recta.

La misma definición puede aplicarse a hiperesferas en el espacio euclidiano de cualquier dimensión, dando como resultado el hiperplano radical de dos hiperesferas no concéntricas.

• RA Johnson (1960). Geometría euclidiana avanzada: Un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin  ed.). Nueva York: Dover Publications. págs. 31-43 . ISBN  978-0-486-46237-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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• Weisstein, Eric W. "Línea radical" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de los acordes" . MathWorld .
• Animación en Cut-the-knot