Coordenadas bipolares

Las coordenadas bipolares son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensional basado en los círculos apolíneos . ^{[ 1 ]} También existen otros sistemas, basados ​​en dos polos ( coordenadas biangulares , coordenadas bipolares de dos centros ).

El término «bipolar» se utiliza ocasionalmente para describir otras curvas con dos puntos singulares (focos), como elipses , hipérbolas y óvalos de Cassini . Sin embargo, el término coordenadas bipolares se reserva para las coordenadas descritas aquí y nunca se utiliza para sistemas asociados con esas otras curvas, como las coordenadas elípticas .

El sistema se basa en dos focos F ₁ y F ₂ . Haciendo referencia a la figura de la derecha, la coordenada σ de un punto P es igual al ángulo F ₁ P F ₂ , y la coordenada τ es igual al logaritmo natural de la razón de las distancias d ₁ y d ₂ :  

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

Si, en el sistema cartesiano, se toma que los focos se encuentran en (−a , 0  ) y ( a ,  0), las coordenadas del punto P son

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

La coordenada τ varía desde${\displaystyle -\infty }$(para puntos cercanos a F ₁ ) a${\displaystyle \infty }$(para puntos cercanos a F ₂ ). La coordenada σ solo se define módulo 2π , y es mejor tomarla en el rango de − π a π , tomándola como el negativo del ángulo agudo F ₁ P F ₂ si P está en el semiplano inferior.  

Las ecuaciones para x e y se pueden combinar para dar

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

o

${\displaystyle x+iy=a\coth \left({\frac {\tau -i\sigma }{2}}\right).}$

Esta ecuación muestra que σ y τ son las partes real e imaginaria de una función analítica de x+iy (con puntos de ramificación logarítmicos en los focos), lo que a su vez prueba (apelando a la teoría general del mapeo conforme ) (las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) que estas curvas particulares de σ y τ se intersecan en ángulos rectos, es decir, es un sistema de coordenadas ortogonales .

Las curvas de σ constante corresponden a círculos no concéntricos.

que se intersecan en los dos focos. Los centros de los círculos de σ constante se encuentran en el eje y en${\displaystyle a\cot \sigma }$con radio${\displaystyle {\tfrac {a}{\sin \sigma }}}$Los círculos con σ positiva se centran sobre el eje x , mientras que los de σ negativa se sitúan debajo. A medida que la magnitud | σ | − π /2 disminuye, el radio de los círculos disminuye y el centro se aproxima al origen (0,  0), que se alcanza cuando | σ | = π /2. (Según la geometría elemental, todos los triángulos situados en un círculo con dos vértices en extremos opuestos de un diámetro son triángulos rectángulos).

Las curvas de constante${\displaystyle \tau }$son círculos que no se intersecan y tienen radios diferentes

que rodean los focos pero nuevamente no son concéntricos. Los centros de los círculos de τ constante se encuentran en el eje x en${\displaystyle a\coth \tau }$con radio${\displaystyle {\tfrac {a}{\sinh \tau }}}$Los círculos con τ positivo se sitúan en el lado derecho del plano ( x  >  0), mientras que los círculos con τ negativo se sitúan en el lado izquierdo ( x  <  0). La curva τ  =  0 corresponde al eje y ( x  =  0). A medida que aumenta la magnitud de τ , el radio de los círculos disminuye y sus centros se aproximan a los focos.

El paso de las coordenadas cartesianas a las coordenadas bipolares se puede realizar mediante las siguientes fórmulas:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(xa)^{2}+y^{2}}}}$

y

${\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

Las coordenadas también tienen las siguientes identidades:

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}$

y

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}},}$

que se puede obtener resolviendo las ecuaciones (1) y (2) para${\displaystyle \cot \sigma }$y${\displaystyle \coth \tau }$, respectivamente.

Para obtener los factores de escala para coordenadas bipolares, tomamos la diferencial de la ecuación para${\displaystyle x+iy}$, que da

${\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).}$

Multiplicando esta ecuación por su conjugado complejo se obtiene

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Empleando las identidades trigonométricas para productos de senos y cosenos, obtenemos

${\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,}$

de lo cual se deduce que

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

Por lo tanto, los factores de escala para σ y τ son iguales y vienen dados por

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Muchos resultados se derivan ahora rápidamente de las fórmulas generales para coordenadas ortogonales . Así, el elemento de área infinitesimal es igual a

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau ,}$

y el laplaciano viene dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

Expresiones para${\displaystyle \nabla f}$,${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$, y${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$se puede expresar obteniéndose sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bipolares se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas bipolares permiten la separación de variables . Un ejemplo es el campo eléctrico que rodea a dos conductores cilíndricos paralelos de diámetros diferentes.

Las coordenadas bipolares constituyen la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales .

• Las coordenadas cilíndricas bipolares se obtienen trasladando las coordenadas bipolares a lo largo del eje z , es decir, el eje perpendicular al plano.

• Las coordenadas bisféricas se obtienen al rotar las coordenadas bipolares alrededor del eje x , es decir, el eje que conecta los focos.

• Las coordenadas toroidales se obtienen al rotar las coordenadas bipolares alrededor del eje y, es decir, el eje que separa los focos.

• Sistema de coordenadas elípticas

• Demostración interactiva con Desmos : https://www.desmos.com/calculator/nbvnucu4o5

• "Coordenadas bipolares" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA y Korn TM . (1961) Manual matemático para científicos e ingenieros , McGraw-Hill.