Sistema de coordenadas elípticas

En geometría , el sistema de coordenadas elípticas es un sistema de coordenadas ortogonales bidimensional en el que las líneas de coordenadas son elipses confocales e hipérbolas . Los dos focos${\displaystyle F_{1}}$y${\displaystyle F_{2}}$generalmente se consideran fijos en${\displaystyle -a}$y${\displaystyle +a}$, respectivamente, en el${\displaystyle x}$-eje del sistema de coordenadas cartesianas .

La definición más común de coordenadas elípticas${\displaystyle (\mu ,\nu )}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \mu }$es un número real no negativo y${\displaystyle \nu \en [0,2\pi ].}$

En el plano complejo , una relación equivalente es

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

Estas definiciones corresponden a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

muestra que las curvas de constante${\displaystyle \mu }$forman elipses , mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

muestra que las curvas de constante${\displaystyle \nu }$formar hipérbolas .

Un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas elípticas.${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$a veces se utilizan, donde${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$y${\displaystyle \tau =\cos \nu }$Por lo tanto, las curvas de constante${\displaystyle \sigma }$son elipses, mientras que las curvas de constante${\displaystyle \tau }$son hipérbolas. La coordenada${\displaystyle \tau }$debe pertenecer al intervalo [-1, 1], mientras que el${\displaystyle \sigma }$ La coordenada debe ser mayor o igual que uno.

Las coordenadas${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$tienen una relación simple con las distancias a los focos${\displaystyle F_{1}}$y${\displaystyle F_{2}}$. Para cualquier punto del plano, la suma${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$de sus distancias a los focos es igual a${\displaystyle 2a\sigma }$, mientras que su diferencia${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$igual${\displaystyle 2a\tau }$. Por lo tanto, la distancia a${\displaystyle F_{1}}$es${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, mientras que la distancia a${\displaystyle F_{2}}$es${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$. (Recuerda que${\displaystyle F_{1}}$y${\displaystyle F_{2}}$están ubicados en${\displaystyle x=-a}$y${\displaystyle x=+a}$respectivamente.)

Una desventaja de estas coordenadas es que los puntos con coordenadas cartesianas (x,y) y (x,-y) tienen las mismas coordenadas.${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$, por lo que la conversión a coordenadas cartesianas no es una función, sino una multifuncionalidad .

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

Las coordenadas elípticas forman la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales :

1. Las coordenadas cilíndricas elípticas se producen proyectando en el${\displaystyle z}$-dirección.
2. Las coordenadas esferoidales proladas se producen al rotar las coordenadas elípticas alrededor del${\displaystyle x}$eje, es decir, el eje que conecta los focos, mientras que las coordenadas esferoidales oblatas se producen al rotar las coordenadas elípticas alrededor del${\displaystyle y}$eje -, es decir, el eje que separa los focos.
3. Las coordenadas elipsoidales son una extensión formal de las coordenadas elípticas a tres dimensiones, que se basa en elipsoides confocales e hiperboloides de una y dos hojas.

Tenga en cuenta que el sistema de coordenadas geográficas (elipsoidales) es un concepto diferente al anterior.

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas elípticas constituyen una descripción natural del sistema, permitiendo así la separación de variables en dichas ecuaciones . Algunos ejemplos tradicionales son la resolución de sistemas como la órbita de electrones alrededor de una molécula o las órbitas planetarias con forma elíptica.

Las propiedades geométricas de las coordenadas elípticas también pueden ser útiles. Un ejemplo típico podría implicar una integración sobre todos los pares de vectores.${\displaystyle \mathbf {p} }$y${\displaystyle \mathbf {q} }$ que suman un vector fijo${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$donde el integrando era una función de las longitudes de los vectores.${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$y${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$. (En tal caso, uno se posicionaría${\displaystyle \mathbf {r} }$entre los dos focos y alineado con el${\displaystyle x}$eje -es decir,${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$.) Para mayor concreción, ${\displaystyle \mathbf {r} }$,${\displaystyle \mathbf {p} }$y${\displaystyle \mathbf {q} }$podrían representar los momentos de una partícula y sus productos de descomposición, respectivamente, y el integrando podría involucrar las energías cinéticas de los productos (que son proporcionales a las longitudes al cuadrado de los momentos).

• Coordenadas curvilíneas
• Coordenadas elipsoidales
• Coordenadas generalizadas
• Coordenadas bipolares

• "Coordenadas elípticas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA y Korn TM . (1961) Manual matemático para científicos e ingenieros , McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Coordenadas cilíndricas elípticas". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html